達人專欄意想不到的神秘的角度問題
本文在討論上圖這個角度問題
最先是有人詢問我，本以為是稍難的角度問題，給我幾分鐘便可解決，沒想到一做下去，不得了，確實是難題。還比常見的角度難題更複雜(經典的20度問題) 便激起我的興致。
大家不妨嘗試看看，下面就要開始解說囉，不想看答案的趕快自己想，不要下拉
準備好了嗎？
大部分人可以很快發現此大三角形三角分別為48°-66°-66°
因此必為等腰三角形，然而關於所求的x還是不知。原本想說用正弦定理，但列出的式子醜到不行，基本上無能力解，而純幾何的作法更是想不透，只能亂猜測角度，最後使用軟體測量出角度，確定真相。
(所求為上圖的角BCP)
使用GGB做出此三角形，直接量測角度，所求角度是42度，那麼是否有合理的解釋呢？又不借用電腦軟體的幫助，又如何自己得知呢？
以下將分享自己找到的四種做法：(有些是自己想到，有些是別人提供，都會註明)
1.輔助線法：
此方法為在FB的數學社團所看到，由厲害的高手-「鍾昭旭老師」所分享，(已徵得對方同意)
此做法非常厲害，值得好好欣賞
做輔助線：
(1)做正三角形∆ABD，如下圖藍色三角形
(2)做等腰三角形∆ABE，如下圖橘色三角形
(3) 以 𝐴點為圓心， 𝐴𝐵̅̅為半徑畫圓
(4) 連接 𝐸𝐷̅ ,𝐸𝐵
(5) 以E點為圓心，(EA) ̅為半徑畫圓，並以E點為中心點做正五邊形ABFGH
確實做出來了，非常厲害的輔助線法
實在是難以想到，佩服想到這招的高手
2. 三角關係式
學過高中數學，可使用正弦定理(或是其他方法) 列出許多關係式，然而由於角度的關係，基本上是難以解下去的
在此提供一個較為簡單的做法：
接著嘗試解看看此方程式
基本上要解此三角函數方程式是非常困難的，雖然這些正弦值有辦法以根式表示，但會非常複雜，複雜到難以化簡，更別說解出來了
使用特別的化簡方法，必須利用：
實際上還有一個解：𝒙=𝟒𝟐°+𝟏𝟖𝟎°=𝟐𝟐𝟐°，以及這些同位角都符合
不過這不符題意因此不考慮
3. 過外心法
先說這算是比較投機的作法，如果並非這題的特殊狀況，可能不適用
也是我自己想到的做法
如下圖所示，必須去驗證：延伸 𝐶𝐷̅是否也會過之外心 𝑂，如果是，這題將非常簡單
4.應用定理
此方法為巴友 (風吹翊影)所提供，在日本網站上找到的做法
在此推薦：おおせきの部屋 http://azuki2018.html.xdomain.jp/kakudo.html
此網站收錄了一系列類似的困難角度問題，有興趣不妨參考看看
也將做法詳細附上，值得好好欣賞
直接分享網站上的檔案，(如有問題還請告知，這邊僅作為分享作法之用)
以下作為解說
網站上收錄的題目，圖非常的簡單漂亮
必須先引用此定理 限定在圓內接六邊形才可使用，且對角線皆過一點P
此定理的證明過程如下，其實就是利用相似形的概念，並不難
可以算是西瓦定理的推廣
接著就可以開始做了：
此做法非常高明，再此解說一下
先做三角形的外接圓，並構造一個圓內接六邊形AFBDCE
接著利用定理證明三條對角線交於P點，即得到所求角度
中間那一長串的計算結果，就是再利用定理去做驗證
最終得出 
才可以說三線交於P點，(由它的定理) 才可以算出角度
(過程用到積化和差、三倍角公式、 sin18°等 )
此作法相當厲害，看完理解完實在覺得漂亮且奇特到不行，甚至是根本想不到(為何選用這個定理？為何知道要這樣構造？背後是想了多少？下了多少功夫才想到的？)，很厲害的活用了此定理。佩服這樣的巧思，想到這招的人必定是個高手！
四個做法中，只有第一個做法算是純幾何的，其餘皆有使用三角關係式(或是說三角函數)，二與三作法則是自己想到的，作法四則是讓我認識到許多厲害作法。我相信應該有其他做法的，數學之路條條大路接通！不限定任何作法，這才是數學的自由
還有人有什麼其他做法也都可提供出來討論！
你看懂了嗎？
之前寫的數學文章也歡迎看看：
