主題 達人專欄

知道與不知道,你知道了嗎? 經典的數學邏輯問題!

霧島悠樹 | 2022-05-16 01:25:02 | 巴幣 1552 | 人氣 1690


今天來看看、想想這個數學邏輯問題,動動大腦吧!
來吧!


A、B兩男士好奇地詢問C女士的年齡,C女士列出11 個可能的答案 :

35、36、38、42、45、46、51、55、57、61、62

接著C女士將她年齡的十位數告訴A男士,將她年齡的個位數告訴B男士。
A男士說 : 「我不知道C的年齡,但我想B也不知道。」
B男士說 : 「我原本也不知道C的年齡,但現在知道了。」
A男士說 : 「哦,那現在我也知道了。」

請問C女士的年齡是 ________ 歲。
(出自104年台南二中教師甄試)

想要靠自己的力量來解的,不妨停下來思考一下
不然下面我就要開始解說了



一開始看到這題,大概會覺得一頭霧水,覺得莫名其妙,明明兩位男士一開始都不知道C女士的年齡,只分別知道十位數與個位數,然而卻經由短短兩三句關於「知道與不知道」的對話,讓彼此確定了C女士的年齡,而甚至身為第三者的我們,也能夠知道!?

在這兩三句話內,究竟發生了什麼事情?這需要好好釐清!
不妨試著想想看兩人的對話,
為什麼B男聽了A男的說詞後,他就知道了?
而為什麼A男最後說我也知道了?

如果還是沒想法,不妨試想自己就是當事人,會聽到怎樣的數字,自己又能夠怎麼推論?


以下正式解說:
首先A男只會知道十位數、B男只會知道個位數
不妨先就兩人的觀點中將數字做分類

A男視角:數字由十位數做分類:有3、4、5、6這四類
3:35、36、38
4:42、45、46
5:51、55、57
6:61、62

B男視角:數字由個位數做分類:有1、2、5、6、7、8 這六類
1:51、61
2:42、62
5:35、45、55
6:36、46
7:57
8:38

很明顯的,不論C女幾歲,A男得到的十位數,都讓他無法確定C女的年齡
而B男這邊,如果是7,便可確定就是57歲,如果是8,便可確定是38歲
這個認知是沒問題的

接下來就是妙的地方了,必須照著他們對話順序來思考
A男:「我不知道C的年齡,但我想B也不知道。」
這句話前半段「我不知道C的年齡」一定是正確的
然而後半段的「但我想B也不知道」就是值得思索的點,為何A會說B也不知道?
B無法確定C的年齡,代表什麼?代表B知道的個位數不是7與8,因為是7便可確定就是57歲,是8便可確定是38歲,也就代表了A得知的十位數不是5和3

這邊我們可以把A男視角中不可能的數字刪掉,寫下剩下的:
3
4:42、45、46
5
6:61、62

B男視角也改一下:
1:___、61
2:42、62
5:___、45、___
6:___、46
7
8

接著,B男說 : 「我原本也不知道C的年齡,但現在知道了。」
「我原本也不知道C的年齡」這句話完全沒問題,但後面的「但現在知道了」這句話透露了「B男現在已經能夠確定了C女的年齡」

在上面的數字中,能夠確定C女的年齡代表「同一類中剩下一個數的可能」也就是「61、45、46」其中一個,光這點就可以把42、62 刪掉
此時,再看回A男的視角:
3
445、46
5
661


現在A男說了:「哦,那現在我也知道了。」
代表著A男已經確定C的年齡,其中唯一的可能便是61
所以C女士真正的年齡是61歲!

不過知道答案後,不禁讓我想吐槽一下是C女士保養得太好嗎?  
再講出來之前,有些選項應該可以先刪掉才對,知道真正年齡後,AB男士會不會就沒興趣了XD

注意,這些完全都是兩人還有第三者可以知道的資訊,並不是什麼上帝視角、或是當事人才能夠推論的,這也是此題妙的地方。還有佩服AB兩位,居然透過短短的對話,便能夠釐清C女真正的年齡,他們邏輯真的很好,而身為第三者的我們,更不用猜,完全沒有運氣成分,只需要好好的推理兩人對話所透露的訊息,便能夠知道C女年齡!這就是數學的厲害!


有沒有覺得很厲害呢?


以後遇到類似的情境,說不定靜下心來,好好想想就能夠推論了,就算無法知道答案,也應該可以把不可能的選項刪掉。

此題算很有名,網路上也有許多討論
當年考完此題變成為一個經典了

然而就我查到的資訊,這題其實是源自2015年的
「新加坡暨亞洲學校數學奧林匹克競賽」(Singapore and Asian SchoolMathOlympiads,  SASMO)
的題目,題目是這樣的:

男孩艾柏特(Albert)和柏納(Bernard)最近和女孩雪瑞兒(Cheryl)成為朋友,他們想知道她的生日。
(示意圖,圖非當是男女)

雪瑞兒告訴他們,我的生日在
5月15日、5月16日、5月19日、6月17日、6月18日、7月14日、7月16日、8月14日、8月15日和8月17日等10個日子之一

她接著分別告訴艾柏特和柏納自己生日的月份和日期。

艾伯特此時說:「我不知道雪瑞兒的生日,但我可以確認柏納也不知道。」
柏納接著說:「我起先不知道,但現在我知道了。」
艾伯特表示:「那我也知道了。」

請問雪瑞兒的生日究竟是哪一天?

解題的思路與上題相近,我就不多說了,大家不妨自己想想看吧,答案我放在最下面
比起上一題,這題的情境合理一點,更像是生活會出現的題目,說不定是那位女孩要考驗兩位男孩的邏輯強不強XD

可以想成原本給的這些生日或是年齡的數字為一個集合,兩個人分別用不同的方式將此集合做分割,像此題生日的,就是用月與日做出不同的分割,再來討論,類似的想法,我們應該能依樣畫葫蘆做出類似的題目才對。

這題雖然不知道是給哪個年級做的,但實屬好題目,我也找不太到SASMO的歷屆題目 (似乎不會公布歷屆),若有人知道的話還希望跟我講一下

此題沒用到什麼高等的數學、高深的數學定理、技巧,甚至完全沒有計算,完全就是單純數學邏輯的推演,很漂亮的一題!值得好好欣賞,這也是數學有趣的地方。


好吧,如果這次只是單純分享題目就太沒意思了
我自己想了一題稍微進階一點的變化題,有興趣的不妨挑戰看看
情境就用《間諜家家酒》中的面試來改編好了

面試官心中的數字

現在,佛傑、約兒、阿尼亞 一家三人來到伊甸學園進行面試
面試官亨利,出了一道題想來測試三人的數學邏輯好不好

面試官:我心中想了一個三位數是這幾個三位數中的其中一個:
100、123、158、203、250、273、286、298、420、429
477、488、608、651、684、696、921、954、976、999

接著面試官將此三位數的百位數告訴佛傑、十位數告訴約兒、個位數告訴安妮亞。
並告訴他們:「你們不能說自己聽到的數字,只能用我與他人『知道』與『不知道』數字來當作線索,用此討論出真正的答案。請大家好好合作,讓我好好看看你們能否找出我心中的數字吧!」

安妮亞覺得這個問題實在太難,嚇哭了,約兒小姐趕緊安撫她
佛傑:約兒小姐,冷靜一點,我們好好面對問題,想想怎麼解決問題比較實際。

三人決定合作,不藏隱瞞彼此。只用『知道』與『不知道』溝通。

對話順序分別如下: (安妮亞沒有用讀心術喔,雖然此情境就算用了,也不影響)
1.佛傑說:「我不知道,但我想約兒跟安妮亞也不知道。」
2.約兒說:「我也不知道,但我能確定剛剛跟現在安妮亞都不知道。」
3.佛傑說:「順帶一提,剛剛我也確定安妮亞是不知道的。」
4.安妮亞說:「原本我不知道,聽了你們的話後我知道囉。」
5.佛傑說:「可是我還是不知道。」
6.約兒說:「我剛剛還不知道,可是聽了佛傑的話後我知道了。」
7.佛傑說:「這可真是好消息,我也知道了。」


面試官:「討論完了嗎?  那麼告訴我,我心中的數字是什麼吧?」

那麼,我們大家來想想看吧!
我把答案放在最下面,大家不妨想想看



此題還可以做各種改動,將三人對話中的「知道」、「不知道」的順序改變一下就能玩出其他花樣,像是這樣改:前提和其餘與題目無關部分就不提了,我們擷取重點,直接跳到三人對話的部分。

面試官心中的數字—二

面試官:我心中想了一個三位數是這幾個三位數中的其中一個:

100、123、158、203、250、273、286、298、420、429
477、488、608、651、684、696、921、954、976、999

接著面試官將此三位數的百位數告訴佛傑、十位數告訴約兒、個位數告訴安妮亞。

1.佛傑說:「我不知道,但我想約兒跟安妮亞也不知道。」
2.約兒說:「我也不知道,但我能確定剛剛跟現在安妮亞都不知道。」
3.佛傑說:「順帶一提,剛剛我也確定安妮亞是不知道的。」
4.安妮亞說:「可是我還是不知道耶。」
5.佛傑說:「我也還是不知道,但我想約兒也不知道。」
6.約兒說:「那我知道了。」
7.安妮亞說:「那我現在也知道囉。」
8.佛傑說:「好吧,看來只有我不知道」


請問:面試官心裡想的三位數可能是多少?  
為何約兒、安妮亞會說我知道,而佛傑還不知道?



也可還改這樣,只允許用自己能夠猜對的機率來溝通

面試官心中的數字—三

面試官:我心中想了一個三位數是這幾個三位數中的其中一個:
100、123、158、203、250、273、286、298、420、429
477、488、608、651、684、696、921、954、976、999

接著面試官將此三位數的百位數告訴佛傑、十位數告訴約兒、個位數告訴安妮亞。

1.佛傑說:「我能夠猜對的機率是1/4。」
2.約兒說:「我原本能夠猜對的機率是1/4,但我現在能夠猜對的機率是1/2。」
3.安妮亞說:「我原本能夠猜對的機率是1/2,但我現在已經確定,現在不用猜囉。」
4.佛傑說:「聽了你們的話後,我想我也不用猜了,我能夠確定數字了。」
5.約兒說:「怎麼辦,我猜對的機率還是1/2耶。」
6.此時溫柔的佛傑為了讓約兒也知道真正的數字,打算告訴她一個線索,
說:「如果是妳先說『我猜對的機率是1/4』的話,那我猜對的機率將會是從1/4變成1/2」
7.約兒恍然大悟,說道:「謝謝老公!我也知道了」

請問:面試官心裡想的三位數可能是多少?  
最後那段話發生什麼事情?為何佛傑說了那句話後,約兒就知道真正的數字了?

答案我一樣放在下面。

更廣義的來說,針對元素的特性做分類,依此情況可以做出更多變化
但此類題目妙點在於第三者只需要好好根據邏輯推理,便能夠知曉真相,或是刪去許多不可能的選項。


答案:
生日問題:
雪瑞兒的生日為7月16日

面試官心中的數字:
一,684

二,可能為203或250,因為約兒和安妮亞,知道其十位數與個位數,他們能夠真正確定數字,而佛傑只知道百位數,只知道是百位數是2,無法推理出到底是哪個。

三,954,若是約兒先說我猜對的機率是1/4,可推得佛傑剩下的數字只有420、429、651、921、954,這些,猜對的機率為1/2,代表 只有「420、429」、「921、954」這兩組而已,而在約兒的視角中,她當時只剩下「954、651」這兩個數字,這樣便可確定就是954,或是由她繼續說出我猜對數字的機率1/2,也可推得就是954

(答案若有錯請告知,有任何問題都歡迎討論)

此題特別在於對話的先後順序改變,會影響彼此之間的認知。佛傑也是察覺這點才這樣說的,藉此讓約兒發現真相。

怎麼樣,數學很有趣吧?
靜下心來想想,好好推理,就能窺見隱藏於背後的真相!



創作回應

雪中一絲雨
我高中的時候忘記在哪裡翻到一本19xx年匈牙利數學競賽的書,裡面就有類似的題目
2022-05-17 01:26:17
霧島悠樹
哪本啊? 跪求! 是原文書還是翻譯的?
2022-05-17 03:00:30
雪中一絲雨
好像是在同學家看到的,他爸是高中數學老師,買了不少數學書,那就是其中一本。印象中好像是簡體字的書,應該是大陸出版的,你可以查查看
2022-05-17 13:42:35
霧島悠樹
這麼厲害,不過有啥關鍵字,好找嗎...
2022-05-17 18:21:09
鳥魔
其實呢 我數學曾經不差 但是我一直都是國文奇差 ...每次這類問題 我就會爆炸 因為完全看不懂題目
2022-05-17 19:45:16
霧島悠樹
慢慢看,搞不好就懂了
2022-05-18 00:06:32
夜凜
之前看到有人利用數學直接算出約兒的胸圍,真的笑死XDD可不可以不要把才能用在這種地方?XDD
2022-05-19 08:04:11
霧島悠樹
哈,真假? 類似的我大概看過,用各種動畫中的截圖跟比例去推算,約兒的我沒看過就是了
2022-05-19 12:26:05
夜凜
684那題我卡在651跟684,估計應該是哪裡有看錯
2022-05-19 14:01:19
霧島悠樹
再想想看~ 最後幾步應該有出錯
2022-05-20 02:48:07

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