主題 達人專欄

因式分解!《笨蛋,測驗,召喚獸》中的數學

霧島悠樹 | 2022-02-28 23:57:26 | 巴幣 3844 | 人氣 5453


因式分解!《笨蛋,測驗,召喚獸》中的數學

最近我在動畫瘋上看《笨蛋,測驗,召喚獸》,這部是我在國中時期在電視上看到的動畫,當年的我懵懵懂懂,看著搞笑的橋段,誇張的表現手法而入迷,加上各具特色的角色們、以學科作為連結的召喚獸,確實吸引了當年的我,可以說是帶我入坑ACG的作品之一,時過多年,最近在複習這部作品,雖然其中笑點難以讓我開懷地笑,卻感到一絲回憶的加成。


放張秀吉作為本文章的可愛看板娘



在看的過程看到劇中出現的數學,身為喜愛數學的我,不得不發文來談談
首先,動畫分為兩季,而只有第一季出現較多的數學畫面,(二季僅有一兩個畫面有跟數學有關)
在第一季出現了大量的「因式分解」,量之多讓我有些驚訝,以下就來做點簡單分析

首先,先簡單複習一下何謂因式分解:

將一個多項式,寫成兩個或多個式子相乘的過程,就是因式分解
好比:
此一過程就是因式分解
(實際上更精確一點的說法,分解後要是不可約多項式Irreducible polynomial,怎樣不可約,要視所處的環或體決定,一般國高中都以整數系、有理數系做討論)

在台灣學校,學生會在國中二年級的時候學到,相信有好好學的人應該多少有些印象。

最先出現的在第一話中,美波在寫考卷所出現的畫面


上面的第一大題,沒意外就是要我們將式子展開的題型,而8,9題很明顯就是用立方差之分解
             
                                
第10,11題也是,不過兩題稍微包裝了一下,解法如下

不用真的展開,而是利用乘法公式,可以很快的解出來。

而下面第二大題很明顯只是一般的根式計算。

這個第三大題,由於美波日文不好,看不懂題目就沒寫了。

我也不懂日文,但沒意外是考判別式、根與係數吧
有點離題了,這與主題因式分解無太大的關係,就不談。


再來是這個,同樣第一季第1話,姬路瑞希在寫這幾題因式分解的畫面,這邊的難度就較高了


瑞希以超快的速度寫完,只能說是鬼神般的神速…真不愧是瑞希啊
有興趣的人不妨自己解解看,我得說很多國高中生可能是解不出來的…
很明顯好幾題瑞希的做法都是先將式子整理成以x或a的多項式,把整個式子重新整理成以另一字母的多項式,再進行分解的步驟。此為主次分清。

而還沒作答的第9題,高達五次方的分解,實際上是用分組的概念,作法如下:

值得一題的是第4題,關於因式分解:這是許多老師的最愛,因為學生往往不知道怎麼辦,會死於這題。實際上必須用(x+y+z) 去除,然而這是個很湊巧的情況。數字改一下可能就無法分解了。

曾經有一個題目是這樣的:
已知道有一個三角形的三邊長分別是x,y.z,發現符合之關係
請問這個三角形是什麼三角形?

解法如下:

有x-y=y-z=z-x=0,也就是x=y=z                                
所以此三角形為正三角形

仔細想想這個題目根本是為了考試而設計的,一個量出三角形三邊長的人,居然沒有發現這個就是正三角形,還要帶到式子經過一連串的整理才會發現原來三邊長等長,所以這個三角形就是正三角形,是一個非常不合理的情境。

在厲害一點的解法中,會用a=-(b+c)帶入檢驗,會發現有(a+b+c)之因式,這邊要不真的去除,不然就是用二次齊次輪換式,可更快求得,但這太技巧,就不多談。

而在第一季中最後的一話:吉井明久與霧島翔子之戰
也出現了因式分解的題目,這邊依序貼上所有的數學題

不,人家沒錯
(此題問圓面積的公式,吉井很天真的以為人家寫錯了...)

此題用到換元法,解法如下:

(老實說主角明久能答對已經不簡單了...  

在第二季 的第8話中,美波正是使用這樣的技巧解題  (就算到了二季,還是在用因式分解啊)
(聰明的你一定能解出來吧)


很基本的因式分解

然而,這題的解法是錯的!
你發現了嗎?

同樣的問題也出在同一話瑞希在寫考卷時出現的題目。
實際上應該這樣解才對:也是個分組分解的作法
動畫中給的答案是(ab-1)(a-b-c) 在正負號上錯了。
不知道動畫組有無發現這個失誤...

在最後一題為很普通的展開


從第一話到最後一話,所有跟數學有關的部分幾乎都是因式分解,(不是展開就是分解) 莫非製作組對於因式分解情有獨鍾嗎?明明日本高中數學也有許多內容的,實在是有趣。



好吧,談回數學,其實因式分解這個單元從過去到現在已經被大大弱化了許多
看到108數學課綱,其中學習內容提到:
A-8-4因式分解:
因式的意義(限制在二次多項式的一次因式);二次多項式的因式分解意義。
A-8-5因式分解的方法:
提公因式法;利用乘法公式與十字交乘法因式分解。

備註:只處理整係數ax^2+bx+c 的因式分解或與乘法公式直接相關者,不處理一般二元齊次或二元非齊次式但有一次介入者。

說穿了,國中學因式分解就是為了之後解一元二次方程式,所以在本文中上述那些題目大多基本上都不會出現在國中,而綜觀近年來的國中會考,因式分解的題目可說是少之又少,了不起就考個一題,還是很基本的類型。而在高中,因式分解很明顯不是個太大的重點,頂多算是個知識點。

這弱化也算合理的,不然往往會出現一堆「特別」的題目來嚇人,沒有限制的因式分解是很可怕的

像是將以下式子做因式分解:

大家有興趣可以做做看~

很多人可能會問,做這些因式分解有什麼用?把式子做分解要幹嘛?
除了個人覺得好玩與有趣之外,還有許多重要的應用

像是在做分式的分解、式子的變形、方程式的求解 等,就算在學的當下用不到,到了以後還是很有機會用到的,像是大學的微積分,要將有理函數之分式分解積分,這下不得不用因式分解了吧
好比以下幾題不定積分:


實際上到了代數學,會更詳盡的討論關於多項式的分解、多項式環、不可約多項式Irreducible polynomial、多項式方程式的解等等...
也會提到許多重要的定理:Unique Factorization Theorem(唯一分解定理)

會發現,國中學的因式分解看似簡單,實際上背後牽涉許多深奧的理論。
數學就是這樣,學得當下可能不太會發現,後來才會發現許多都是連貫的,一個因式分解,實際上連通了中學與大學之橋梁。更甚至許多定理都與它有關呢。


最後來欣賞幾個題目:

因式分解的變化萬千,靈活多樣,有助於培養觀察能力、運算能力和創造能力!
因式分解;看似簡單,實則深奧。體會式子的運算之美!

有興趣不妨參考:
數學奧林匹亞小叢書 初中卷2 因式分解技巧
代數學相關書籍



感謝閱讀
此篇可以輕鬆看~基本上算是個科普數學文吧(?
《笨蛋,測驗,召喚獸》也是不錯好笑的動畫,說真的,裡面的性別價值觀在當時可說是蠻前衛的,各種屬性皆有,有秀吉性別、病嬌、傲嬌、BL、GL、 (但放在現在,可能會被投訴吧XD)


最後再放個可愛秀吉作為結尾!
(如果是秀吉,我一定會好好教你的數學的~


不時發數學文~ 也希望用這方式讓大眾更能接觸數學



創作回應

楓夜喵
對呀~~所以我選擇當普通上班族~至少壓力沒這麼大
2022-03-01 23:37:34
霧島悠樹
喔喔,原來只是修教程而已? 並非要走這行的?
2022-03-02 02:05:06
雪中一絲雨
寫的好棒,尤其是「數學就是這樣,學得當下可能不太會發現,後來才會發現許多都是連貫的」這句話很有共鳴
2022-03-01 23:53:29
霧島悠樹
對,越是探索越會發現數學是一體的,不同領域、不同時間學到的數學其實在很多地方都是連貫的,整個知識都是串再一起的
2022-03-02 02:07:52
雪中一絲雨
順帶一提,你文章中三角形三邊長滿足a³+b³+c³-3abc=0那題,其實也可以用算幾,然後取等號成立便有a=b=c,感覺比因式分解的做法直觀一點,雖然那題本來就是人工感很重的拉基
2022-03-02 00:00:26
霧島悠樹
對耶,也可以用算幾,不過那題只是想說有些「為考而考」、「硬要」,實際上非常不合現實情境的題目,與其這樣硬要包裝,還不如直接問怎麼因式分解就好
2022-03-02 02:10:09
雪中一絲雨
講到題目包裝,突然回想起以前看過的一本大陸數學教授寫的書,內容是一些中學數學題的剖析,裡面有一小段是關於他如何評價一道難題的好壞,他說:「課綱內的數學考題,其難度越高通常代表考的觀念越多,但有時候這些觀念是彼此無關的,只是為了讓題目變得複雜而強加進去,缺乏了必然的內在聯繫(這句話我覺得講的超好),這時的難便是一種沒有意義的難,數學並不是如此賣弄技巧的學問,而是人們嘗試用精確的語言去描述抽象的事物,這個過程應是很自然的。」
2022-03-02 10:32:11
霧島悠樹
兩岸的題目好像就喜歡沒意義的難,我是覺得要放在一起無所謂,但硬要用奇怪的情境包裝才讓人搖頭
2022-03-04 17:03:00
PIKACHA
如果不考慮什麼"整數分解成虛數是不唯一的",費瑪最後定理很難嗎?有人回我"你只要能用同餘證出來就行"。我還真的證明了,僅限將整數分解的範圍。有沒有相關資料可查?說不定我想的方法早就有人做了。
2022-03-03 14:21:12
霧島悠樹
費馬最後定理當然很難,困擾數學界300多年的難題耶
然後你說的到底是什麼意思? 什麼整數分解的範圍?
2022-03-04 17:04:06

相關創作

更多創作