主題 達人專欄

霧島簡評111學測數學A

霧島悠樹 | 2022-01-29 23:13:58 | 巴幣 7208 | 人氣 1370


霧島簡評111學測數學A

上周(1/21),一年一度的學測數學(學科能力測驗數學科)終於又來了!
這次是108課綱上路以來的第一屆學測,數學科也分成數學A和數學B,會怎麼出,沒有人知道,而作為108課綱首次的學測數學,可說是有相當的指標性,在新課綱的調整之下,可說是備受關注。

考完沒意外的又掀起討論,「史上最難」之論調又來了,這點還真的跟我在去年試辦考試的文章所預言的差不多…
『雖然這是試辦考試只是參考用,但我想如果明年就真的這樣考,肯定會引起不小的話題,先猜標題:「108新課綱,學測數學A超難!」  之類的吧...』


許多人(不管是新聞媒體、補教業的名師、學生等)都說本次111年度的學測數學A是『史上最難』、『缺乏鑑別度!偏離108課綱精神!』...

那到底是多難呢?真的有那麼誇張嗎?
我認為還是該好好審視,好好欣賞題目才是,數學可不是用難跟簡單來概括的,其中的細節與數學的美、以及為何而難?這些才是該好好思考的。

不論是本屆考生,還是未來要應考的高中生、已經高中畢業的大學生、甚至出社會的人們都可以看看,都應該多少了解一下本次的學測數學A,了解一下簡單在哪、難在哪、考了什麼,希望不要只是聽聞他人的討論結果而人云亦云的相信了。

本人非專業人士,有問題都可以說,有更好的解法歡迎提出。而本文只討論數學A。

文中有些「衍生思考」為個人覺得可以多想想的部分,有些可以當作複習其他觀念,或是假想如果真的這樣考呢?再說數學可不是只有解題,也不是考完就沒事了,如何真正應用以及體會數學之美更是重要。

歡迎光臨!就讓我們好好欣賞數學吧!


題目在這,點開來看看吧

第壹部分:選擇題
一、單選題

(4)


冰淇淋多少種口味?最多人討論的第一題,其實非常簡單,多少人就是沒看到,或是把重複口味也算再一開始的門檻,被稱為小陷阱的第一題,敘述的方式確實讓人有所誤解…
撇開敘述與文意理解不談,算基本題。


(1)

單純對數計算的題目,列式計算即可,感覺大概是想配合108課綱的計算機教學,才這樣出,但其實有無計算機對這題的認知都沒差,算基本題,選項也沒有陷阱。

(5) 很特別的一題,考了不少觀念
要讓投影後的數據之變異數最小,變異數代表的是數據的離散程度,要最小代表數據之間必須最靠近。那麼就簡單了,這些數據分佈明顯趨於一直線(y=2x),如果將這些數據投影到垂直於這直線的直線,不就是數據最靠近的情況。所以選擇垂直於「直線y=2x」的直線。根據兩垂直線斜率相乘為-1,選擇(5)

個人覺得這份考題中頗漂亮的一題,結合了二維數據、變異數、直線方程式、兩直線垂直斜率相乘為-1   等觀念 ,沒用到什麼特別的技巧,但卻結合了許多觀念,實為好題。不太會可能就代表這幾個觀念其中幾個不太熟。


(3)

對數與數列一起出的一題,其實就是考等差數列、對數律的性質以及代數計算
有點小計算,屬於中間的一題。


(2)

畫個樹狀圖分析一下,這邊用顏色區分,紅色代表真正的染病者,黑色代表被誤判的染病者

敘述長,需要好好理解,考條件機率、貝氏定裡的一題,屬中間。
(我相信平常段考、模考絕對有做過類似、甚至更難的都有...

(5)



甚至可以用軟體畫出來:藍紫為題目的兩直線,紅色為角平分線、綠色為所求之直線

應該算是單選最難的一題吧,屬難,坦白說出得蠻漂亮的。將直線方程式、斜率、角平分線、初等幾何觀念綜合在這一題,發現兩直線垂直那邊真的有漂亮之感。

衍生思考:上圖的藍色與紫色直線方程式如何求得?  (也就是求題目的L1,L2直線)

單選看下來其實還好,除了第三可以直接用觀念判斷的以外,每一題都有計算成分在,又以第5機率那題計算量最大,其中第6最為特別,第3、6出得漂亮。這兩題說是經典都沒問題。



二、多選題 (7~12)
(2) (4)

難度中間,絕對值不等式的一題,這題就很數學了,每個敘述都很正常直接,沒有任何的隱藏
較難的選項為(2)



沒什麼包裝,很單純的題目,基本上就是考三角的各種重要觀念;正弦定理、餘弦定理等,算中規中矩的一題,有點小計算,難度中間,若跟同樣三角相關的多選題來比,去年110學測數學的多選10比起來真的是簡單。


(3)(4)


個人覺得偏難,畢竟考蠻多向量觀念的,也都是以未知數表示,需要考慮的不少,可用這題來複習向量,很多觀念,讚。


(1)(2)

選項(5)的衍生思考:
(1)試求這條近似直線的方程式
(2)學完微積分的你,用微分的方式做做看吧          
                     
108課綱首次加入的三次多項式函數終於來了!                                             
首次考新加入的三次函數,不是基本題,而是這類過往學測也會出現的多項式函數多選題型。有點狠,況且考的點也不少,三次函數的圖形、根的判斷、對稱中心、近似直線、綜合除法等觀念都有考到,要完全做對還真的不簡單。
(3)(4)(5)這幾個選項應該蠻多人會錯的,尤其選項(5)考很細,此題大概會成為往後的經典題,可以想像得到未來的書中必定會有這題考古題,還有完整解完會發現此題出的非常漂亮。                


(2)(3)(4)

考空間概念、三角比,基本上觀念不難,可能就(3)(4)(5)的驗證上較煩而已,但屬於中間偏易,肯算就有分。


(1)(2)

考多項式函數、多項式不等式,這題真的難,不好想,要好好分析,真的是很不簡單,討論完各個多項式的次數後,還必須考慮頂點,很多人可能就卡在這裡了…              
我認為整張考卷最難的就是這題無誤。而且又難又漂亮!

衍生思考:不妨想想看y=f(x)的圖形與x軸交1,2,3,4點的情況時,此時y=g(x)圖形頂點分別又會有什麼變化?請討論。
這或許值得想想。


多選,整體而言較難。其中以9 ,10,12為難題。10,12兩題多項式函數的最難,出得也非常的厲害,可感受到出題者素養之高啊,竟然能靠這樣少少的條件,推展出這麼多的變化。漂亮!

其餘還好,但也不算太簡單,至少沒有看過去就知道答案的送分題,都要花時間思考、算一下。        

三、選填題(13~17)
4.2

果然出了期望值,這也是108課綱新加入的,以前是選修數學的部分,要注意此題再算的是期望值,而非機率。以過去期望值的題目來說,此題顯得蠻單純的。

衍生思考:想一下自己愛玩的遊戲抽卡的期望值怎麼算。



考有無了解高斯消去法、增廣矩陣,都了解其實就是純計算的一題,歸類在簡單

192
解完高再代回即可求解,自己算吧                                           
說實在這題就在考文意理解,和轉化為數學式子了,放在國中數學其實也可以的,考量到文意理解,個人覺得屬中間偏易,沒有這樣包裝就是屬於簡單,算是我覺得這張最無聊的一題
(扯上徵收、協商...是要談居住正義?跟公民科跨領域嗎?)



藉由直線在平面的投影,衍生出兩平面垂直的想法,包裝的不錯,算出得漂亮的一題。屬中間偏難吧。



出得很棒,將平行六面體體積公式、距離公式、柯西不等式做結合,非常有想法,柯西不等式終於考了(印象近年來學測都沒考柯西不等式)
非常漂亮,絕對是經典好題。屬於又漂亮又難的一題。   
感覺很多人不是忘了平行六面體體積不然就是柯西不等式了...

衍生思考:平行六面體體積有最大值時,此時點D(x,y,0) 在哪裡?  
這也要會算才對喔。除了會求極值,而在哪裡發生極值,也是很重要的!      

選填這五題整體而言都屬中間,最有意思的是16,17,兩者都出得很棒,16繞個彎、換個方式問,17將不同觀念結合起來,展現數學之美與之應用。


第貳部分、混合題或非選擇題




有趣的掃描棒,看下來或許會覺得題目敘述又臭又長,就不想算了,但其實好好看,根本沒什麼,願意做願意寫就有分,但多數考生可能被前面的題目磨光耐心跟鬥志了…
甚至這題將敘述改一下,(去掉圓方程式、極座標等),就可以變成國中的考題。對比試辦考試的混合題(考矩陣、線性變換)或是過往指考數甲的手寫題,這題真的不難,甚至是簡單了。

衍生思考:終點若不是B'(-2.0) 而是其他點的話,如何算其掃過的面積?




總結:
確實是不簡單,考得非常靈活,在考場當下的學生們更是感到壓力與緊張,容易出錯與粗心都是在所難免,更別說在每題都貴的情況下,多錯一題就差了5分,差距是很大的,但,到底有多難?這就有點因人而異了。

實際上分析看來,也非如此困難就是了,並非每一題都很難,簡單正常的題目依然存在,而且也佔多數,平時做過的題目也有,就那幾題比較難而已,說是『史上最難』是有點超過了。當然可以說是108課綱以來的最難...(但同時也可以說是最簡單XD  畢竟現在這個集合只有一元素),說實在,這也沒用到什麼艱深的解題技巧,哪一題的觀念真的有超出課綱?但卻考得很活,真的很靈活,出題與敘述的方式,還有問的點,明明許多題都是平常會算的基本題,但為何這樣包裝就無法順利做對了?這該好好想想。
一旦出了就是個標的,一定會被拿來參考與比較的。可能出題者認為學生已有能力面對這樣的考題,也或許這就是要告訴我們,往後的學測數學A就是要這樣考,不是光練題目、題型就好,更重要的是融會貫通與活用知識,整體風格確實有點像110學測數學、去年的試辦學測數學A,同樣都相當考驗學生扎實的數學觀念。懂與不懂、會與不會分得一清二楚,對前段學生的鑑別度蠻高的,當然中後段的學生可能就死一片了」

當然還是很多人批判難度,我得說既然都分數學A ,B了,數學A考難我覺得可以,但細節可以再討論。可以在調整。或許大家更該想想:「怎樣的學測數學A考卷,才是理想的?」

值得反思的是:難道像過去聯考的題目就比較好?幾乎每一題都是數學式的敘述,不用應用題包裝,不跟你拐彎抹角,難道就是更好的考卷?而學生就更能夠考好?(未來我或許挖幾題過去的精采好題來分享)


不過我是覺得去年的110學測數學更難就是了,有興趣可以看看之前發的文:

我認為,用一張考卷就認定學生的數學能力也是有所偏頗也或許在現行考試制度下就難以鑑別吧。時間因素、分數的分配、多選題的計分方式,如果制度改變呢?是否更能夠檢測出大家的數學能力?

所以考不好也別太介意,表現不好不代表數學不好,數學不好不代表就要放棄數學,不要放棄數學,數學不會背叛你,數學之路永無止境。

然而說好的計算機教學,真的有多少在做?學測都不考,很多學校老師是當然不教的,結果出了單選2有點硬要套入計算機的題目,(但有無計算機都沒差) 很不夠意思...
108數學課綱的理念之一:「數學教學應培養學生正確使用工具的素養」 其中也有計算機
既然素養強調生活經驗,而我們日常生活經驗難道少得了計算與資訊工具嗎?如果不能,素養的教學就應該使用工具,既然素養強調在未來生活中解決實際問題,未來的日子難道不用計算機來解決問題嗎?既然不能,那麼素養的教學就應該使用工具。而課本有許多要用計算機的例子,大考也該開放使用。當然勢必會有許多風波,可是這樣才更接近108數學課綱的理念才對。


批判完,來欣賞一下...
老實說,我覺得這次的題目也很精彩,像是單選3、6,多選10、12,選填17,單選3將二維數據與直線方程式做結合,而多選10、12的多項式函數真的讓我難忘,同樣是多項式函數的去年110多選13,當時考了「勘根定理、虛根成對、有理根判別」等觀念,然而108課綱多了三次多項式,這次也相應出了漂亮的多選10,還有多選12將多項式函數、多項式不等式昇華到另一層次。實在厲害,果然過去的題目功成身退,而新的環境也會有新的光芒與風采還有選填17,將好久不見的柯西不等式重出江湖且與平行六面體做結合,這彷彿就是告訴人們:「柯西不等式是很重要而且有用的!」 相當感動。

完整寫完也會發現,這幾題真的出得太漂亮了!這些都是美麗的數學!我充分感受到數學之美,讚嘆這些題目之漂亮,不禁佩服背後出題者的數學素養之高啊。我還是很期待未來的分科測驗以及未來的學測數學A。

加油吧!每日都要學習數學!也必須欣賞數學之美,而非受媒體起舞,被「史上最難」之標題所煽動,我是很不以為意的,數學又不是只有難與簡單,這張考卷有多少的細節與巧思都值得好好討論。其中有多少數學定理的應用之漂亮,怎麼不好好欣賞呢?學數學就是要理性思考、講求證據與理性,不應該因為報導說是怎樣就相信是怎樣,靠自己的力量去判斷,靠自己去思考吧!

最後感謝你的閱讀。


拖了很久才打好,畢竟有時蠻忙的,又再想是否有更好的做法跟想法,就拖了過一周才發文...
也改成用打好再截圖的方式發,之前慢慢截圖太累了

在打的過程真的感受到滿滿的數學之美XD
勉勵自己至少每個月生一篇數學文,(至少有點料的那種,可以掛達人專欄的)

有什麼問題都歡迎指教。有什麼意見都說,有誤的地方請大聲斥責。還請多多關照。

希望對社會大眾能有點幫助;想要數學更強的人、喜歡數學的人、學不好數學的人、對學校中的數學沒興趣的人、覺得數學沒用的人、覺得數學無聊的人...  都可看看。

數學是很有趣的。數學是很偉大的!數學就是純粹的美!

招待不周!

之前寫的數學文章也歡迎看看:


創作回應

雞塊
我真的覺得我的代數與幾何的能力差距好大@@
多項式那兩題多選我寫起來沒什麼壓力 可是多選那個切成兩個四面體的我在考場裡怎麼想就是想不出來
2022-02-18 02:07:04
霧島悠樹
代表你代數能力比較強,不過切成兩個四面體那題應該不難看出來才對,可實際操作物體看看
2022-02-18 03:27:35
oVo巴爾坦星人
我以前算能應付代數題 旦問題在我討厭寫考卷/被強迫做題目... 我以前國三每天都有考試 覺得很厭煩所以都亂寫
2022-04-03 23:34:54
霧島悠樹
真假,你代數很強嗎? 寫考卷有時間限制比較討厭,但數學應該多思考,不單純只是考試而已,很多問題值得好好想,而不是變成考題來折磨人
2022-04-04 01:53:50
oVo巴爾坦星人
不敢說強 也真的算不強... 只是算有概念和累積一些經驗... 旦過那麼多年沒做題目 早就忘很多了
2022-04-04 01:56:30
霧島悠樹
不錯,你可以回來看看
2022-04-04 11:40:54
oVo巴爾坦星人
個人比較反感單純的做純數學題目... 比較有興趣解比較實用的問題或接觸比較實用的數理(EX:工程數學/工程問題/電機系統設計)
https://truth.bahamut.com.tw/s01/202105/fd015c8b0f9d0ff8aecc1bb9efaed4bc.JPG https://truth.bahamut.com.tw/s01/202105/7de2e571e83997635116aa627824b9d4.JPG https://truth.bahamut.com.tw/s01/202105/ec6490fe70a262bb0579adc4452051cd.JPG
2022-04-10 23:10:29
霧島悠樹
了解,不過這些要閒聊 還是建議我們私下聊就好,畢竟這邊還是我的文章,討論以主題為主
2022-04-11 00:26:15
冷海凜凜(麻糬模式)
這份的難度一直都是在文字閱讀上阿(?
2022-04-17 10:30:27

更多創作