主題 達人專欄

對數微分法:微分技巧的綜合體

解凍豬腳 | 2020-11-06 10:15:02

 
  在微分的基本技巧當中,對數微分法可以算是一系列方法裡的最後一種。其實關於微分的應用還有很多東西可以講(譬如全微分、線性近似),不過並不是每個科系的學生都會需要用到,等講完對數微分法以後就直接講積分吧,剩下的東西之後再說。

  上次說明對數(log、ln)的時候,我們提到過:凡是不好處理的指數,只要使用對數函數就可以把指數提到函數外面,成為係數:


  在處理複雜的微分問題的時候,我們一樣可以利用對數來簡化它。上次介紹過「e」這個常數的特殊性質,所以在微積分領域當中,最好用的應該會是 ln 而不是 log。

  可以想像,既然今天使用對數來簡化算式裡的項目,那麼總會有很大的機率遇上「需要把 ln x 對 x 微分」的情況。為了先準備好未來可能會用到的工具,我們試著求求看 吧!



。ln x 的微分

  學到對數函數微分的時候,我們會很常需要用到這兩個公式:

(上次講對數函數的時候提過)


  ln x 算是一個比較特殊的函數。我們想證明 ,要是直接套用定義的話:


  你會發現最後出來的東西很複雜。雖然繼續做下去確實可以直接利用 e 的定義來得到結果,但我相信你不會想這麼做的。

  我們可以利用 ln 函數的本質 拐個角來嘗試:


  成功了!這就是利用微分連鎖律來證明 的過程。使用微分連鎖律的時候一定要注意分母標示的微分對象是誰,不然你會看不懂這個過程怎麼來的,這個當時再三強調過,千萬不可以搞混。



。有了這樣的工具,就能用來應付複雜的函數

  假設今天有一個函數:


  直接利用除法律和乘法律的話,雖然也不是無法達成目的,但肯定比較麻煩。我們直接利用對數可以「化指數為乘法、化乘除為加減」的特性,把它拆下來,然後經過微分連鎖律拆成該拆的項目,再移項一下就可以得到結果:


  這個看起來稍微複雜一點。實際上,我們只是把先前曾經提過的各種規律混合起來做而已,遇到什麼就使用什麼:

log(AB) = log A + log B




  看不懂過程的話,我們拿 對 x 的微分過程來分解動作,可以注意到我們只不過是運用了上面的幾種規律而已,其他都是比照辦理:


  ln y 對 x 微分也同理,因為我們知道 ln y 對 y 微分的結果是 ,套用到微分連鎖律就可以得到:


  它的主要原理就是因為使用對數、套用連鎖律的時候恰好會多一個 出來,所以我們只要經過整理,就可以得到我們想要的 ,同時又具備把指數化簡運算的功能。



。x 的 x 次方,怎麼微分?

  這也是個經典題。我們剛開始在學微分的時候學過最基本的規律:


  但這僅限於指數是常數的情況下。你可以想像一下,當 x 在變動的時候, 無論是底數還是指數都在跟著移動,想當然爾,這就跟 (C 為常數)完全不可比擬。即使直接使用微分的基本定義(令 Δx → 0)來求取導函數,你也不會得到 這樣的結果。

  簡單來說:如果你認為 的話,那你就太天真了,因為這樣的想法從根本上來看就已經有問題,自然不能通用。

  這種情況下,我們一樣使用對數微分法來處理:


  還是一樣老概念,遇到嵌套兩層的項,就使用連鎖律;遇到相乘的組合項,就使用乘法律,只要整理一下把 整理到一邊,就得到我們想要的了。

  我們甚至可以在「知道 」的前提下,利用對數微分法推出


  因為「常數」的英文是 constant,所以習慣上我們會用它的字首 C 來表示一個常數。

  當然,只要想法是對的,無論你是用正規的做法還是對數微分法,得到的結論都會是相同的,只是我們使用了不同的方法去達成目的而已。總而言之,只要遇到麻煩的指數問題,用對數就可以去解決它。

  如果還要嚴謹一點的話,可以把 ln 裡面的真數加上絕對值(比如把 ln x 記為 ln |x|),規避真數小於 0 而導致 ln 無意義的情況。

  對數微分法大概就是這樣了,接下來的期中考就請大家好好加油吧。
 
1644 巴幣: 5366
jim
移項一下的變成y=(x)^(1/3)
2020-11-06 11:35:30
解凍豬腳
筆誤。調整的時候忘記改到了,感謝
2020-11-06 14:31:51
gihann
THX U, It help me a lot
2020-11-06 20:18:42
嘎文文
感謝豬腳~
2020-11-07 18:17:40
澳洲麵
log也同樣適用嗎?
2020-11-11 00:25:04
解凍豬腳
不太一樣,(d/dx) log x = 1 / (x ln a)
2020-11-11 00:31:24
澳洲麵
所以常數項不能用lnX/lnC這樣的方式?
2020-12-07 18:28:39

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