主題 達人專欄

一篇文弄懂三角函數!其實它真的不可怕

解凍豬腳 | 2020-12-16 09:30:01

 
  如果要說大學生的共同惡夢是微積分,那麼中學生的共同惡夢大概就是三角函數了吧。

  這篇文章專門針對「已經準備把學測數學的考試時間拿來睡覺」,或者是自認為還沒有進入狀況的人——其實你可以不用這麼早放手的。趁著學測倒數還沒有進入最後 30 天,今天來帶大家快速複習三角函數吧。



。從相似形開始

  過去三角函數一直被認為是個恐怖又複雜的東西。實際上,在台灣的舊課綱裡,三角函數曾經被作為國中(中學三年級)數學課綱裡的一部分——也就是說,你現在完全可以把三角函數當成國中數學來看待就好!這樣應該看起來不會那麼恐怖了。

  在正式進入三角函數的環節以前,先來瞭解三角函數的意義。

  我們都知道,如果把一個三角形的每條邊等比放大或縮小,那麼無論是這三條邊的比例或三個角的角度,都不會因此而改變:



  既然如此,我們便不需要去在意三角形的實際三邊長是多少,畢竟只需要用角度就可以知道這是一個什麼樣的三角形了。

  然而,三角形的種類何其多,即使把每一種類型的三角形都定義出來了也不見得都能派上用場。因此,數學家也就只把最有代表性的直角三角形拿來使用了,三角函數的定義也就建立在直角三角形上面。

  實際拿個直角三角形來看看吧!我們首先把目標角設在左下、直角設在右下:


  在三角函數的定義裡,分為斜邊、對邊、鄰邊。斜邊顧名思義就是直角三角形的斜邊;在目標角對面的那一條邊,就稱為對邊;剩下那條和對邊相鄰的邊,就稱為鄰邊。

  如果你的國中數學還沒有通通還給老師,你應該會記得三個內角為 30-60-90 的三角形邊長比是 。也就是說,如果目標角是 30° 的話,這個三角形的 a:c 會等於 1:2。

  我們再換個例子:


  要是今天目標角為 45°,我們知道這種 45-45-90 的等腰直角三角形邊長比會是 ,也就是說這個三角形的 a:c 會等於

  再來看看第三個例子:


  要是今天目標角為 60°,我們知道這個三角形的 a:c 會等於

  三角函數就是為了快速表達這樣的關係而生。既然已經知道只要目標角不變的話,三條邊的比例也都會一樣,那麼我們就有了以下幾種定義:

  正弦函數(sin,全稱為 sine):對邊 a 和斜邊 c 的比值

  餘弦函數(cos,全稱為 cosine):鄰邊 b 和斜邊 c 的比值

  正切函數(tan,全稱為 tangent):對邊 a 和鄰邊 b 的比值

  中文名稱不太重要,因為我們只要學會如何使用這個符號就好了,除非你認為搭配中文名稱會讓你比較容易記住。綜合上面所講的,如果一個直角三角形的目標角角度為 θ、對邊為 a、鄰邊為 b、斜邊為 c,那我們在數學上可以這樣表示:




  所以,剛才提到的 a:c 這個比值,就是 sin θ 了。可以說:




  把剛才舉的三角形通通列出來,就會更清楚 sin, cos, tan 到底是怎麼得出:




  所以說,三角函數不過就是個用來表示三角形特定邊長比值的符號罷了,千萬不要因為看到了英文字母和希臘字母就覺得這一定是個很困難的東西。

  以台灣的數學課綱來說,在常見的領域裡只需要知道 sin、cos、tan 這三種符號就好了,除此之外也有 cot(cotengent)、sec(secant)、csc(cosecant) 三種,但其實一點都不難記:只要看到名稱是 c 開頭的(co-,餘),那就是把對邊和鄰邊交換,例如 sin 是對邊除以斜邊,那麼 cos 就是鄰邊除以斜邊;tan 是對邊除以鄰邊,那麼 cot 就是鄰邊除以對邊;sec 是斜邊除以鄰邊;那麼 csc 就是斜邊除以對邊。

  老樣子,多用就會了。你只要多用幾次 sin、cos、tan 函數,熟悉了就會自然記起來,不要總是依賴三角函數的定義表。



。三角恆等式

  提到了直角三角形,畢氏定理就成了可以拿來利用的工具。如果我們想要在不同的三角函數之間轉換,那麼我們就可以使用三角恆等式來達成目標:


  我們知道 a² + b² = c²,只要把等式兩邊同時除以 c²,就會得到 sin²θ + cos²θ = 1。

  千萬不要小看這個式子,我們可以把其中一項移到另一邊,然後再開根號,就可以直接得到 sinθ 和 cosθ 的關係了,我們甚至能夠兩邊同時除以 cos²θ 得到 tan²θ + 1 = sec²θ……諸如此類,就看你如何按需求去代換它而已。



。三角函數的用途

  三角函數既然生於幾何,那當然也會用於幾何。

  比如說,現在有一顆球以 4.9 m/s 的初始速度、仰角 30° 斜斜地朝著天空飛去。如果我們想知道這顆球在過了幾秒以後會達到最高點,那麼我們就會需要知道這顆球在垂直方向的速度為多少。

  就像前面所說的,sin 函數是對邊除以斜邊,既然如此,只要用斜邊乘以 sin 函數,就會得到對邊的長度了。也就是說,仰角 30°、速度 4.9 m/s 的球,如果不看它飛多遠、只看它飛多高的話,它就相當於在垂直方向用 2.45 m/s 的速度往上拋:



  既然知道這顆球是用 2.45 m/s 的速度往上拋,那麼依照重力加速度 g = 9.8 m/s²,我們可以知道經過了 0.25 秒以後,這顆球的速度就會被地心引力減到 0(接著速度繼續往下扣,球就會從往上拋變成往下掉),我們便得知了:「經過了 0.25 秒,這顆球就會來到最高點。」

  有的時候,或許我們不確定仰角是多少,那麼代數的優點就在這時候顯現出來了:我們可以直接利用 c‧sinθ 從 c 得到對邊 a,之後再按照需求填入已知的變數就好了。把剛才的情境稍微簡化一下,這樣你就得到了高中二年級(中學五年級)物理科目,用來求「斜拋運動達到最高點所花時間」的公式:


  看吧,又美又簡單(偷偷說:其實我高中二年級的物理課都在睡覺)。

  當然三角函數的應用裡面,這算是最好懂的一種,其他稍微複雜一點的就會出現在複平面分析、傅立葉轉換之類的地方了,總而言之三角函數就是一個描述斜向、垂直、水平之間的關係所用的工具。



。廣義的三角函數、如何簡化

  到目前為止,我們探討的都是 0° < θ < 90° 的情況。如果三角函數只能用在這種銳角的直角三角形上面,那能做的事情就會少很多。數學家最喜歡做的事情,就是想辦法把定義擴大到適用於所有情況,於是有了廣義的三角函數。

  廣義的三角函數,就是探討目標角 θ 超過 90° 以後的情況,這個時候主要會有下面幾種情形:

  第一種情況,0° < θ < 90°。這種情況當然沒有什麼好懷疑的,就跟我們前面所理解的內容一模一樣,在目標角對面的邊就是對邊、斜邊就是斜邊、鄰邊就是剩下的那一邊:


  第二種情況,90° < θ < 180°。相對於前面所學的來說,這個情況比較特殊。雖然我們定義的 θ 是斜邊(圓半徑)逆時針所繞的角度,但對邊的定義仍然是要以內角為主:


  要注意的是,上圖的鄰邊長度是負數!上圖的鄰邊長度是負數!上圖的鄰邊長度是負數!因為很重要所以說三次。這個東西既然拿到了座標平面上,那麼這個長度也就要遵循座標平面的方向了:鄰邊在左半面的時候,它的長度值就應該要是負的。

  更準確地來說,廣義的三角函數,它的鄰邊和對邊是分別以這個圓周上的點的 x 座標和 y 座標來決定,既然它的 x 座標是負的,那麼當我們想計算它的 cos 函數的時候,鄰邊自然就要是負數了。

  同理,我們探討第三種情況:180° < θ < 270°。這裡既然鄰邊在左半邊、對邊在下半面,那麼鄰邊跟對邊的數值都應該要是負的:


  最後一種情況,270° < θ < 360°。接下來你也應該可以想像得到,基本道理其實全都一樣。我們就可以得到它應該要這樣求出(鄰邊是正的、對邊是負的):


  既然弄懂了這樣的規則,那麼鄰邊、對邊到底何時是正的、何時是負的,這個當然就不需要浪費時間或力氣去記,畢竟只要自己在紙上打個十字畫一圈再把斜邊畫出來,馬上就可以得到答案了(注意:斜邊永遠是正的)。

  廣義的三角函數就是如此。由於這個目標角 θ 是依照「從正 x 軸開始逆時針所繞的角度」來定義,所以如果 θ 每繞 360° 就等於繞了剛好一圈,也因此當你要求 sin 390° 的時候,也就等於在求 sin 30°。




。三角函數的函數圖形

  上面一段提到,我們每繞 360° 就相當於繞了一圈,那麼你應該可以感受得到這個角度要多大就可以有多大,而且三角函數的值 sinθ、cosθ、tanθ、cotθ、secθ、cscθ 會隨著角度往上加而不斷地循環。

  既然三角函數本身是函數,那當然也可以畫成函數圖形。不過,一般而言三角函數並不會直接用我們平常慣用的角度(degree),而是使用「弧度」(radian)來表示。

  我們知道,如果一個圓的半徑 r 乘上 2π,剛好就會得到整個圓的圓周長度。所以,在弧度的表示法上,一個 π 就相當於 180°,我們也就可以把 sin 30° 這樣表示:


  習慣上,我們要畫函數圖形的時候,目標角的單位都會以弧度為主,像 y = sin x 的圖形就會是這樣:


  仔細看的話不難注意到每 2π 為一個週期。下面這是 y = cos x 的圖形:


  y = tan x 就長得更奇怪了,因為在趨近於 90° 或 180° 的時候,作為分母的鄰邊長度幾乎是 0,也就造成了函數值出現趨近於無限的情況:




。反三角函數(選讀)

  到目前為止,上面這些基本概念已經足以讓你弄懂三角函數的本質,並且開始準備該章節的題目了。

  不過,既然都講到了三角函數,就連同反三角函數也稍微帶過一下吧,這個在微積分的領域就有機會遇到了(特別是積分)。

  反三角函數的概念很簡單:既然三角函數是從角度求得指定邊長的比例,那麼反三角函數就是從指定邊長的比例求得角度。

  比如剛才說的,既然有:


  那我們反過來可以用反三角函數 arcsin 從對邊和鄰邊的比例求回目標角:


  你也可以用上標 -1 來表示反函數(不建議使用,這很容易和 混淆):


  sin 的反函數是 arcsin,而 cos 的反函數是 arccos,其他的四種取名的規則也一樣是以此類推。

  好,三角函數就這樣說完了。餘弦定理什麼的,都已經算是裡面的細節,畢竟它實際做起來只是利用公式來計算,沒有什麼好說的,有做題目的話應該不需要太頭痛才是。

  ——對了,你開始準備學測了嗎?
 
2788 巴幣: 8162
peacexlove
附註一下,這裡的定義是方便學初等數學用的,高等數學上會用分析學方法去構建或證明三角函數,這時候三角函數就不一定和三角形有關係,反而跟圓比較有關係
2020-12-16 21:31:30
談笑出刀
我還想說不是原本是國中學的嗎 原來是後續才拿到高中....寫的很易懂xdd
2020-12-17 09:29:19
小p
進來前還以為是正弦之參
2020-12-18 00:29:39
無害的路人(迷惘狀態)
作為一名高中生覺得很有用
2020-12-27 09:30:43
Shihiro
都大學畢業了 突然想到跑回來複習 實用~~~讚
2021-02-23 17:21:11

相關創作

更多創作