主題 達人專欄

部分分式積分法:通通拆掉就對了

解凍豬腳 | 2020-11-30 10:15:01 | 巴幣 1884 | 人氣 3781

 
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  在這篇結束以後,基礎微積分系列總算可以告一段落了。

  其實部分分式積分法的範圍很廣,可以很簡單也可以很複雜,複雜的那部分我們老樣子姑且不講,畢竟這系列我還是想著重在核心觀念,能夠讓你不要明年再來才是首要目的,我們就把這個範圍簡單地看過吧。



。關於分式

  部分分式積分法裡所謂的分式(代數分式),顧名思義就是由多項式以分數形式組成的項目。分式常常用來指長得像這樣的積分式:



  顯然這些式子通常不太容易直接使用代換積分法來處理,因為其中有些分母微分的結果無法在可積分的限制範圍裡湊出分子。

  我一再強調過:和微分比起來,積分是困難的。因此,多數的積分題目,我們都可以先從「是不是可以拆成更簡單的形式?」這樣的問題來下手。



。讓我們來回顧小學數學:通分

  我們都知道,如果有兩個分母不一樣的分數想要相加或相減,那是絕對不能直接做的。比如我們想計算 ,那麼要是直接把這兩個分數的 3 和 1 直接加起來,得出來的結果一定有問題,就好像你無法直接計算「 3 杯小杯的西瓜汁和 1 杯大杯的西瓜汁加起來有多少杯」一樣,我們必須用更小(而且共通)的單位來處理它。

  於是,我們有了「通分」的技巧——把兩項的分子、分母放大到共通的比例,再行加減:


  這件事情反過來說,倘若我們今天已知有一個分數 ,那依照 14 = 2×7,我們可以預想得到它可以被分解成 ,那也就可以藉由通分後相加,得到「只要符合 7A + 2B = 13 的關係,那麼 就可以被分解成 」的結論。

  當然這只是前備知識之一,我們繼續看下去吧。



。把多項式變得更簡單:因式分解

  同樣一件事情我們把它擴展到多項式上面。

  對於一個多項式 x²-x-2,我們可以分解成 x+1 和 x-2 相乘,那麼如果今天遇到了一個積分式子長這樣:


  我們同樣也可以拆成兩項:


  這時候再用通分的結論,得到 A(x-2) + B(x+1) = 2x+5:

Ax - 2A + Bx + B = 2x+5

  整理一下,得到兩組關係:

A+B = 2
-2A+B = 5

  如果我們想要得到「同時符合 A+B = 2 和 -2A+B = 5 這兩個條件」的情況,我們只要利用二元一次聯立方程式就好了。得出 (A, B) = (-1, 3) ,也就藉此得知了:


  然後再用上次已經說過的代換積分法來處理分子,let u = x+1, du = dx,把式子替換成對 u 積分,積完以後再換回來,另外一項也比照辦理……答案就出來了:




。如果分子比分母更「大」?

  那就把多出來的份通通獨立出來另外處理。比如說:


  我們就可以利用多項式的除法得知:


  也就得到:



  接著再照著你已經會的那些技巧(還有前面所講的)來做就好了:




。部分分式積分法的技巧

  開頭說過了,部分分式積分法其實可以很簡單也可以很複雜,因為它涉及的範圍、方法非常廣泛,我只能夠淺淺地帶過。如果要把部分分式積分法的各種技巧詳細講完,那這篇的篇幅就會變成論文等級了。

  只要記得掌握它的核心觀念:「拆掉就對了。」

  剩下來的,就是你的事情了。和「幾乎都能用公式解決的微分」不同,積分的題目很像益智題,因為遇到不同的情況都會有各種不同的做法,也不一定只有唯一的路徑可以求得解答。

  在你掌握了核心觀念之後,帶著你的自信去把習題一個一個解決掉吧,在這裡先祝福每一個造訪我小屋的巴友年初的微積分期末考可以順利通過囉。
 
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留言

創作回應

シオシシオ(汐鹿生)
我一般都是用overleaf 但他產出是PDF檔 我再用Acrobat是產生白底黑字的png圖檔
2021-05-30 02:39:48
シオシシオ(汐鹿生)
但沒辦法像豬腳大大產生白字再加上黑邊與透明背景的文字效果
2021-05-30 02:41:15
解凍豬腳
這個我是用 Photoshop 來弄,裡面的筆畫功能可以解決這個問題
2021-06-06 00:43:21
fixhd
請問最後一個例子倒數第二行為何是-3/5?我算出來是3/5是正的,是否我哪裡搞錯了。
2021-11-15 11:29:22
解凍豬腳
耶!真的是我當時算錯了
你的結果應該是沒問題的喔~~我會找時間再更正,感謝
2021-11-15 12:47:11
fixhd
請問看到題目時,如何快速決定要用代換積分、分部積分、部分分式積分哪種方式來解題呢?感謝!
2021-11-16 16:58:10
解凍豬腳
這很難有 SOP,只能用一個大概的通則,像是代換積分通常你要觀察是不是有什麼複雜的地方微分後剛好也有出現的

比如說 ∫ (3x²+7)(x³+7x)² dx 好了,你會注意到 x³+7x 微分以後會變成 3x²+7,剛好有得換,那你就會知道你可以令 u = x³+7x, du = (3x²+7)dx,則原式就會成為 u²du,這種感覺

那像是分部積分,也許就是兩個相對單純、沒那麼複雜的東西相乘的時候可以這麼做,比如 ∫ x(sin x) dx 這種,可以明顯觀察到是兩個比較簡單的函數相乘,看到的時候就可以嘗試從分部積分做做看

部分分式的話顧名思義就是針對分式,就是這種分子有多項式的

以上這些是初步的通則,有些情況下不見得一定是這樣,仍然要憑經驗來判斷
2021-11-16 17:11:51
fixhd
多謝版大的解答啊!
2021-11-16 17:43:30

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