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欸，這麼多篇微積分的文章，我都不知道要怎麼寫開場白了，直接切入正題吧。
。隱函數是什麼？
一般我們對於函數的認知都是 y = f(x)，我們可以看到諸如：「y = x³sin x + 2 log 2x」、「y = 7x² + 3」、「y = 2x² + x」的型態，很明顯可以一眼看懂 y 變數是如何被 x 組成的。
但有些方程式裡，x 和 y 的關係不見得都是這麼簡單。
比如，我們知道一個半徑為 5 的圓方程式是 x² + y² = 5²，這條方程式因為沒有達到「輸入一個自變數 x 只能得出一個應變數 y」這項原則（例如 x = 2 的時候，y 會有 
和 
兩種可能），所以我們不能說它是我們認知裡那種正常的函數。
和 兩種可能），所以我們不能說它是我們認知裡那種正常的函數。 不過，我們可以透過觀察發現 x² + y² = 25 可以把上半部和下半部拆開，變成兩個函數：
這種變數關係相對比較不明顯的、藏在方程式裡的函數，就是所謂的隱函數。
以這個圓方程式來說，一般如果我們想要求得它的 
，那就變成要把上面拆出來的兩個函數分別微分：
，那就變成要把上面拆出來的兩個函數分別微分：
（然後另一個做相同步驟得到 
）
） 這樣微分的結果就會有兩種，表達起來非常麻煩。而且，這還已經是比較好的情況了，因為它兩種情況是對稱的，僅僅相差一個負號。
倘若……今天你只知道 x 和 y 之間的關係長這樣：
那你也許會腦袋打結，不知道接下來該怎麼辦——因為你還沒學會接受不完美。
。等號的意義
當你想要從這種式子裡頭得到 ，並且以更通用的方法來表達它，你需要的是針對隱函數的一套微分方法。
，並且以更通用的方法來表達它，你需要的是針對隱函數的一套微分方法。 在這之前，我們來複習一下小學六年級數學課程的「等量公理」吧。
我們以前在學一元一次方程式的時候會知道，如果今天有個未知數 x，你只知道把它乘上 4 倍以後減 18 會得到 22，我們可以寫成以下的式子：
4x - 18 = 22
這個式子的意思是「4x - 18」這個東西和「22」一樣大，所以如果我們把這兩邊各加上一樣大的數，那它們兩個的結果仍然會一樣大，這就是等量公理。
我們從小到大寫計算題的時候使用了無數個等號，卻總是把等號原來的意義晾在一旁而忘記了它有多重要——不過，我今天不是來教你一元一次方程式的。
如果今天已知 A 和 B 兩樣東西相等，我們知道既然它們兩個一樣大，那如果把 A 乘上自己，然後把 B 也乘上自己，它們的結果還是一樣大：A² = B²。至於各種加、減、乘、除也都同理，畢竟你把一樣大的數字做一樣的操作，當然會獲得一樣的結果。
基於這些觀念，我們知道「A 移動多少，B 就會移動多少」（因為它們總是相等），所以得到了 dA = dB，那也就可以再推展到 
。
。 我們得到一個結論：等號兩邊同時微分，等式仍然成立。
。直接實戰！不要忘記該有的規則
前面講了兩大段，就是要讓你知道為什麼。有了前備知識以後，就會變得比較好理解之後的一切。如此一來，以後在你碰上進階的課程（例如微分方程）的時候，比較能瞭解那些書本裡省略的過程到底是怎麼來的，不然通常考完就把基礎忘光了，到了下學期又跟重新開始沒有兩樣。
先從簡單的圓方程式 x² + y² = 25 開始吧！我們來試著找找這條方程式的 。
。 其實隱微分的觀念非常簡單，用一句話來概括就是「等號兩邊同時微分，然後把目標 整理到一邊，就能得到答案」。
整理到一邊，就能得到答案」。 由於我們想要找的是 y 對 x 的極小變化率 ，從分母可以注意到對象該是 x，所以我們對 x 微分：
，從分母可以注意到對象該是 x，所以我們對 x 微分：
微分加法律告訴我們，逐項微分也沒有問題：
繼續做下去，得到：
這裡就會出現你的第一個疑問：「這裡的 
是哪裡來的？」
是哪裡來的？」 是的，這件事情我們從第一次講微分連鎖律的時候就強調過，當你在做微分操作的時候，一定要隨時注意：
1. 是誰被微分？
2. 是對誰微分？
我們把 x² 對 x 微分，可以直接得到 2x；我們把 y² 對 x 微分，因為是對 x 微分而不是直接對 y 微分，所以我們需要利用微分連鎖律，得到：
就是這麼來的。回到剛才的進度，我們得到：
把有包含 的放到等號一邊，沒有包含 的放到另一邊：
的放到等號一邊，沒有包含 的放到另一邊：
整理得到最終答案：
這就是答案了，很簡單吧。你會注意到 的組成同時有 x 和 y 的存在，而不是一般我們認知裡的「只有 x 一種變數」的形式，這是隱函數無可避免的天生特性，畢竟隱函數裡變數之間的關係本來就錯綜複雜，所以只要做到這一步就已經算是大功告成。
的組成同時有 x 和 y 的存在，而不是一般我們認知裡的「只有 x 一種變數」的形式，這是隱函數無可避免的天生特性，畢竟隱函數裡變數之間的關係本來就錯綜複雜，所以只要做到這一步就已經算是大功告成。。再來一題
我們就拿剛才舉到的 作為例子，試著找它的 ：
作為例子，試著找它的 ：
這看起來很複雜，其實原理都一樣。每次當我們把一個 y 的函數對 x 微分的時候，由於 y 和 x 不是相同變數，所以就得再依照連鎖律多乘以一個 。
。 還有！不要顧著微分連鎖律而忘記微分乘法律了。我們把 x³y³ 對 x 微分的時候，同類的各自分成一份（let f=x³, g=y³; D(fg) = gDf+fDg）就會變得很容易處理：
這就是隱函數的微分了。其實說白了這篇只不過是多了一個「等式兩邊可以同時微分」的概念而已。我們只要懂得把含有 的項目整理到一邊、不含 的項目整理到一邊，接著再提取出來，基本上就能從大部分簡單的隱函數得到 了。
的項目整理到一邊、不含 的項目整理到一邊，接著再提取出來，基本上就能從大部分簡單的隱函數得到 了。 嗯，寫這算式寫到眼睛有點花了，我這就打電動去。
祝你有個美好的星期六 
