主題 達人專欄

隱函數微分法:那些複雜的,就交給等量公理

解凍豬腳 | 2020-10-24 08:15:04

 
  欸,這麼多篇微積分的文章,我都不知道要怎麼寫開場白了,直接切入正題吧。



。隱函數是什麼?

  一般我們對於函數的認知都是 y = f(x),我們可以看到諸如:「y = x³sin x + 2 log 2x」、「y = 7x² + 3」、「y = 2x² + x」的型態,很明顯可以一眼看懂 y 變數是如何被 x 組成的。

  但有些方程式裡,x 和 y 的關係不見得都是這麼簡單。

  比如,我們知道一個半徑為 5 的圓方程式是 x² + y² = 5²,這條方程式因為沒有達到「輸入一個自變數 x 只能得出一個應變數 y」這項原則(例如 x = 2 的時候,y 會有 兩種可能),所以我們不能說它是我們認知裡那種正常的函數。

  不過,我們可以透過觀察發現 x² + y² = 25 可以把上半部和下半部拆開,變成兩個函數:



  這種變數關係相對比較不明顯的、藏在方程式裡的函數,就是所謂的隱函數。

  以這個圓方程式來說,一般如果我們想要求得它的 ,那就變成要把上面拆出來的兩個函數分別微分:


(然後另一個做相同步驟得到

  這樣微分的結果就會有兩種,表達起來非常麻煩。而且,這還已經是比較好的情況了,因為它兩種情況是對稱的,僅僅相差一個負號。

  倘若……今天你只知道 x 和 y 之間的關係長這樣:


  那你也許會腦袋打結,不知道接下來該怎麼辦——因為你還沒學會接受不完美。



。等號的意義

  當你想要從這種式子裡頭得到 ,並且以更通用的方法來表達它,你需要的是針對隱函數的一套微分方法。

  在這之前,我們來複習一下小學六年級數學課程的「等量公理」吧。

  我們以前在學一元一次方程式的時候會知道,如果今天有個未知數 x,你只知道把它乘上 4 倍以後減 18 會得到 22,我們可以寫成以下的式子:

4x - 18 = 22

  這個式子的意思是「4x - 18」這個東西和「22」一樣大,所以如果我們把這兩邊各加上一樣大的數,那它們兩個的結果仍然會一樣大,這就是等量公理。

  我們從小到大寫計算題的時候使用了無數個等號,卻總是把等號原來的意義晾在一旁而忘記了它有多重要——不過,我今天不是來教你一元一次方程式的。

  如果今天已知 A 和 B 兩樣東西相等,我們知道既然它們兩個一樣大,那如果把 A 乘上自己,然後把 B 也乘上自己,它們的結果還是一樣大:A² = B²。至於各種加、減、乘、除也都同理,畢竟你把一樣大的數字做一樣的操作,當然會獲得一樣的結果。

  基於這些觀念,我們知道「A 移動多少,B 就會移動多少」(因為它們總是相等),所以得到了 dA = dB,那也就可以再推展到

  我們得到一個結論:等號兩邊同時微分,等式仍然成立。



。直接實戰!不要忘記該有的規則

  前面講了兩大段,就是要讓你知道為什麼。有了前備知識以後,就會變得比較好理解之後的一切。如此一來,以後在你碰上進階的課程(例如微分方程)的時候,比較能瞭解那些書本裡省略的過程到底是怎麼來的,不然通常考完就把基礎忘光了,到了下學期又跟重新開始沒有兩樣。

  先從簡單的圓方程式 x² + y² = 25 開始吧!我們來試著找找這條方程式的

  其實隱微分的觀念非常簡單,用一句話來概括就是「等號兩邊同時微分,然後把目標 整理到一邊,就能得到答案」。

  由於我們想要找的是 y 對 x 的極小變化率 ,從分母可以注意到對象該是 x,所以我們對 x 微分:


  微分加法律告訴我們,逐項微分也沒有問題:


  繼續做下去,得到:


  這裡就會出現你的第一個疑問:「這裡的 是哪裡來的?」

  是的,這件事情我們從第一次講微分連鎖律的時候就強調過,當你在做微分操作的時候,一定要隨時注意:
  1. 是誰被微分?
  2. 是對誰微分?

  我們把 x² 對 x 微分,可以直接得到 2x;我們把 y² 對 x 微分,因為是對 x 微分而不是直接對 y 微分,所以我們需要利用微分連鎖律,得到:


  就是這麼來的。回到剛才的進度,我們得到:


  把有包含 的放到等號一邊,沒有包含 的放到另一邊:


  整理得到最終答案:


  這就是答案了,很簡單吧。你會注意到 的組成同時有 x 和 y 的存在,而不是一般我們認知裡的「只有 x 一種變數」的形式,這是隱函數無可避免的天生特性,畢竟隱函數裡變數之間的關係本來就錯綜複雜,所以只要做到這一步就已經算是大功告成。



。再來一題

  我們就拿剛才舉到的 作為例子,試著找它的


  這看起來很複雜,其實原理都一樣。每次當我們把一個 y 的函數對 x 微分的時候,由於 y 和 x 不是相同變數,所以就得再依照連鎖律多乘以一個

  還有!不要顧著微分連鎖律而忘記微分乘法律了。我們把 x³y³ 對 x 微分的時候,同類的各自分成一份(let f=x³, g=y³; D(fg) = gDf+fDg)就會變得很容易處理:


  這就是隱函數的微分了。其實說白了這篇只不過是多了一個「等式兩邊可以同時微分」的概念而已。我們只要懂得把含有 的項目整理到一邊、不含 的項目整理到一邊,接著再提取出來,基本上就能從大部分簡單的隱函數得到 了。

  嗯,寫這算式寫到眼睛有點花了,我這就打電動去。

  祝你有個美好的星期六
 
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老吳賣瓜
讚讚讚
2020-10-24 10:23:34
KilaI
比我之前的微積分老師教得還好懂 幹
2020-10-24 11:25:29
我的該邊很癢
機械系表示,還沒到留數定理跟級數解之前都是垃圾
2020-10-24 17:20:30
澳洲麵
謝謝豬腳,這個數學系列還會再出嗎?
2020-10-27 16:23:53
解凍豬腳
會喔,之後也會有其他微積分相關的內容
2020-10-27 16:25:33
澳洲麵
謝謝泥,救了我這個大學次等生物
2020-10-27 16:28:15