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[達人專欄] 微積分到底在幹嘛？讓我們從微分開始

作者：解凍豬腳│2020-10-12 15:26:29│巴幣：5,669│人氣：13359

　　本文算式圖片設計以深色模式為主，閱覽前建議切換為深色模式。由於手機 App 在切換樣式前需要強制重啟 App，若你是日間模式使用者，請在切換前利用「收藏」功能，避免切換完模式以後找不回本文。

　　想像一下：你現在駕駛一輛小轎車，行駛在高速公路的 102.4k 處。經過了 54 分鐘，你瞧了瞧路肩上的小綠牌，發現你已經在高速公路的 196.9k 處。

　　經由小學生也做得到的加減乘除，你可以藉由 196.9 - 102.4 = 94.5，推算出你在這 54 分鐘期間行駛了 94.5 km。只要做點除法：94.5 ÷ 54 = 1.75，你就會得到這段期間平均每分鐘行駛了 1.75 公里。

　　讓我們回歸除法的本質來看這件事。把 94.5 km 除以 54 min.，數字相除、單位相除，你會得到 1.75 km/min.。因為分母的單位是「分鐘」，所以實際上你得出來的 1.75 是指「每分鐘行駛的距離」，而不是「每小時行駛的距離」——既然得到了每分鐘的行駛距離，只要把分子和分母同時乘以 60，就會得到 105 km / 60 min.，我們才能間接得知它等於 105 km/h。

　　把除法的單位搞清楚是非常重要的事，因為這是瞭解微分的第一步。

。平均速率的意義

　　「你爸媽平均每個人有一顆蛋蛋。」

　　實際上在這 54 分鐘的期間，汽車的速度有快有慢，也許有時候是 100 km/h、也許有時候是 110 km/h，正常來說不太可能全程都恰恰維持在 105 km/h。

　　看一下圖表吧。如果我們以 x 座標表示時間（分鐘）、y 座標表示位置（公里）：

　　可以注意到，同樣都是「從 102.4k 出發，在第 54 分鐘的時候抵達 196.9k 的位置」，綠色的直線表示了「從頭到尾都維持 105 km/h 的速度」的狀況，紅色的曲線表示了「從靜止狀態開始加速」的狀況，無論是前者的跑法還是後者的跑法，它們的平均速率都是一樣的。

　　為什麼一樣？因為我們不看過程，只看總共跑了多遠、花了多少時間：

　　回過頭來看，我們當初在計算平均速率的時候，不就是把移動的距離除以所花時間而得到的嗎？所以，在 x 座標上每隔一個單位（分鐘）會往上爬幾個 y 單位（公里），這個比例就代表了速率有多快；在函數圖形上，這個比例被稱為「斜率」。

　　多看幾個例子就會明白了。

　　起點為 7、斜率為 2 的直線，每往右經過一個單位，就會往上爬 2 個單位：

　　起點為 3，斜率為 -0.5 的直線，每往右經過一個單位，就會往下爬 0.5 個單位：

　　起點為 5，斜率為 0 的直線，無論爬幾個單位，它始終是橫的：

　　簡單來說，只要計算「y 的變化量 ÷ x 的變化量」，得到的結果就是斜率了。一般我們會用 ∆x 來表示 x 的變化量、用 ∆y 來表示 y 的變化量，∆ 讀作「delta」：

　　∆x、∆y 個別只是一個符號而已，不用覺得很可怕。如果我們把 y 的變化量取名叫做 b、把 x 的變化量取名叫做 a，那其實道理也是一樣的，只是把

換成用

來表示而已：

　　（這樣看起來是不是親民多了？）

。平均和瞬間

　　然而，現實生活就像剛才所說的一樣，我們不可能油門一踩下去就是直接 105 km/h，行駛過程也許有快有慢，要是這時候我們想求其中「一瞬間」的速率（斜率）呢？

　　這就是微分在做的事情——恭喜你！總算進入主題了。

　　隨便畫個函數圖形。試著找一些點，觀察它那一瞬間的速度，然後把線畫出來：

　　可以注意到，如果我們想要求得那瞬間的速度，只要找到「剛好通過那一個點，而且和那個點方向一樣的線」就好了——這條線在數學上我們稱為「切線」。

　　這事還真不難。所謂的「瞬間」，其實就代表了「間隔時間非常短」，所以我們只要把這兩個點之間的 ∆x 逐漸縮小，縮小到「幾乎」是 0 的時候，目的就達成了。

　　假設我們要取得 A 點的切線斜率，先隨便另取一個 B 點：

　　還不夠近，我們把 ∆x 縮小：

　　還是不夠近，我們把 ∆x 縮小：

　　再讓 ∆x 繼續縮小，直到它小到幾乎是 0：

　　成功了！我們達到目的了。剛才我們說斜率就是兩點之間的

的值，所以我們只要把這個 ∆x 縮到極小，那這條割線的

比例就會無限接近切線的

比例，我們也就相當於找到該點的切線斜率。

　　我們可以做成動畫來理解這個過程，你會發現割線（藍色）將因為 ∆x 越來越小而無限靠近切線（橘色）：

。導函數

　　剛才我們做的事情就是所謂的微分。把一個函數透過微分所得出來的新的函數，就是它的「導函數」。

　　和上次提到的「檢驗極限是否存在」原理很像，我們如果要判斷一個點能不能微分，只要判斷它各自從左右邊微分的結果是否相同即可。如果一個函數從左邊逼近的切線斜率和從右邊逼近的切線斜率一樣，那這個點的切線斜率就存在，同時我們稱為「可微」。

　　可微通常都是連續的，但連續不代表一定可微：

　　比如上圖的 f(x) = |x|，它任一點都是連續的，但它在 f(0) 的時候，因為它從左邊逼近的時候斜率是 -1、從右邊逼近的時候斜率是 1，兩者顯然不一樣，那這時候去探討切線斜率是沒有意義的，也因此這函數在 f(0) 的時候不可微分了。

　　如果打開你的微積分課本，你應該很快就會看到導函數的定義：

　　或者是：

　　別被嚇著了，它只是把剛才講到的

換個更完整的方式來說而已：

　　A 點的 x 座標：x
　　A 點的 y 座標：f(x)
　　B 點的 x 座標：x+∆x
　　B 點的 y 座標：f(x+∆x)

　　把 y 座標互減、x 座標互減再相除，當然就是

了。

　　這裡有個很重要的觀念是，「讓 ∆x 趨近於 0」和「令 ∆x = 0」是不一樣的，畢竟除法是不允許分母為零的，如果直接令 ∆x = 0 的話，會使得

無效。

　　這裡同時也會衍生一個新的疑問：「如果我讓 ∆x 趨近於 0，那

的值不就會趨近於無限了嗎？」

　　錯了！微分這件事情，只不過是把兩個點的距離靠得非常近。即便是到微觀尺度，∆y 和 ∆x 之間的比例仍然會存在——畢竟 y 的值本來就隨著 x 決定的，不要忘記

的意義在於這條線有多斜。

　　拿個更簡單的例子來說：假設今天有個函數 f(x) = 3x，我們都知道這是一條斜率為 3 的直線。現在在直線上任取兩點，這兩個點之間的距離不管有多近，∆y 和 ∆x 之間的比例始終是 3，顯然不會因為 ∆x 變小而讓它們之間的比例莫名其妙變成無限大，拿到曲線上面，差別只在這個比例會浮動而已。

。實際做做看

　　一般來說，第一次做微分通常會是拿 y = f(x) = x² 當作對象。

　　我們計算

會得到：

　　展開：

　　把相減的 x² 抵銷掉：

　　把 ∆x 約分——再強調一次，這個 ∆x 可以約分！因為它不是 0，它只是很接近 0：

　　化簡過後的式子裡 ∆x 極小可以忽略掉，結論就是如果我們把 x² 圖形兩點間的的 ∆x 縮到極小、幾乎變成一個點的時候，我們會得到這兩點的

趨近於 2x。

　　透過微分得出來的函數就叫做導函數，這個把 ∆x 縮到極小而得出導函數的過程，我們可以說是「把 f(x) 對 x 微分」，用來表示導函數的方式有很多種——

　　比如，直接加一撇（讀作 f prime of x）：f '(x)

　　比如，前面加上一個微分運算符：

或

。

　　這裡的 dx 其實也只是一個符號而已，表示「極小的 ∆x」，概念是一樣的，不要覺得它很可怕。既然都這麼說了，那這個函數的

在微分後當然也可以表示為

。

　　比如，前面加一個大寫 D，這個 D 表示微分：Df(x)

　　比如，括號上標 1，表示微分一次：

　　第一種和第二種是在基礎的微積分計算裡最常見的寫法，後面兩種以後也許用得到，稍微看看就好。

。我們大費周章解釋了微分，所以得到的 2x 到底有什麼意義？

　　剛才在做微分的過程當中，我們始終沒有把 x 的值給寫死，所以這個 f '(x) 自然適用於整個 f(x)，簡單來說：

　　一、f(5) 的值是 25，所以 (5, 25) 這個點會在 f(x) = x² 上面
　　二、f(x) 在 f(5) 的切線斜率為 f '(5)，也就是 2×5 = 10

　　這就是導函數的用法——它就是這麼好用！只要代入一個點，它就可以得到該點的對應切線斜率了。

　　你可以試著把 x³ 微分，沒有意外的話會得到 3x² 的結果，當然你也可以做做看更高次方的函數（只是算式會看起來複雜一點），接著會發現以下的規律：

　　試著把常數函數微分，也會發現任何的常數拿去對 x 微分都會得到 0（畢竟常數函數每一點的斜率都是 0）：

　　常數係數先乘或後乘，也不會影響到微分的結果：

　　也就是說，像這樣：

　　除此之外，如果令 f(x) = g(x) + h(x)，然後把 f(x) 微分，再稍微整理一下，你也會發現以下的規律：

　　這就是所謂的微分加（減）法律，「兩個相加再微分」和「先微分後再相加」會得到一樣的結果。不過其實也只是幹話而已，因為這個規律根本沒有什麼好記的（但乘法跟除法就不一樣了）。總之，基於這些規律，遇到多項式函數只要一項一項微分就可以了，範例：

　　只要吸收完這篇的內容，恭喜你！你的基礎微積分期中考應該已經可以拿到至少 20 分了。如果教授很佛的話，你這次的期中考應該已經 pass 了。

　　快去輾壓你們系上的第一名吧。
　

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留言共 49 篇留言

雪之王女‧F‧巧可奈：
純推推

10-12 15:27

洨布丁：
大佬

10-12 15:27

Iandmyself：
推推

10-12 15:31

阿狐八逼蹦：
推推，很基本卻很重要的地方
不過期中應該沒這麼簡單T_T

10-12 15:35

alph：
Δx/Δy成比例講得很清楚，以前學的時候都沒注意到

10-12 15:37

你在搞什麼：
我的微積分大概死了函數已經爆開了

10-12 15:42

1：
可以教我傅立葉轉換嗎

10-12 15:42

自性：
直接下拉，這什麼外星文看一小段就快睡著.......

10-12 15:43

姆咪寶><：
可以幫我考學測ㄇ

10-12 15:45

你先示範看看：
這是神的語言嗎

10-12 15:45

思維鋼印：
優質好文。

10-12 15:50

Caiseu225(繼續習下韓上)：
我的腦子已經當機了

10-12 15:50

台灣藍鵲 Magpijuana：
好文先推

10-12 15:56

CToID：
腦袋.exe已停止運作

10-12 16:01

北妻：
大學就這個沒過慘

10-12 16:03

曰光：
先收藏

10-12 16:13

A12345K：
u質文章

10-12 16:26

嵐炎：
推優質文章

10-12 16:39

飄飄c：
可以順便拯救一下文科生嗎

10-12 16:40

解凍豬腳：
我的文科成績從來沒好看過 [e5]10-12 16:42

茶雨水：
可以教我PLC嗎

10-12 17:00

阿銀z：
ㄅ歉，小弟大致上都看得懂
但是，"把 x³ 微分" 這段，請問是要帶入哪個公式才會得出
d/dx*x^n=nx^n-1 這個公式呢0.0?
有點卡住，抱歉><

10-12 17:57

解凍豬腳：
https://i.imgur.com/7XRfErC.png10-12 18:05

秘教徒：
(文科) 只看懂到一半... 應用式往後都是不明覺厲

10-12 17:59

阿銀z：
喔喔喔!!! 原來是這樣!!!
有種茅塞頓開的感覺，感謝豬腳老師><

10-12 18:09

樋口円香的狗：
如果我大一修微積分時來看這文，應該就不會低空飛過了><

10-12 18:10

呆皮的同學：
蛤==

10-12 18:49

しろ：
好想被豬腳狠狠的微分喔

10-12 19:11

解凍豬腳：
把你微到一滴也不剩10-12 20:29

無痕之音：
基礎微積分要碾壓我再練吧。。。我大一全系第一微積分99，沒人分數比我高。

10-12 21:04

解凍豬腳：
不要這樣啊老兄！多給初學者一點信心 [e13]10-12 21:09

北極熊：
樓上我也99

10-12 21:06

北極熊：
有點好奇符號的圖是怎麼做的

10-12 21:07

解凍豬腳：
網路上有很多 LaTeX 的線上工具
可以用特定的語法格式產生各類數學算式的圖10-12 21:08

北極熊：
喔喔原來LaTex的圖可以弄出這樣感覺跟我之前弄的不一樣

10-12 21:15

解凍豬腳：
為了使得圖片能讓日間模式和夜間模式的使用者都能獲得正常的閱讀體驗，這些圖片全都有經過 Photoshop 加上一層黑色的文字外框，所以實際上不單只靠 LaTeX 的線上工具喔10-12 21:17

skysumbra：
哪天是不是要邁向線性畫圖之路了…

10-12 21:42

Flavored：
以前上微積分寫信問教授一堆問題都用Gmail上的Latex插件，上課電腦抄筆記也用Latex打。結果微積分學的普普通通，Latex倒是打得很拿手。

10-12 22:44

解凍豬腳：
LaTeX 真的是好工具啊！！10-12 22:47

次元放浪人：
奇怪...我應該是在"巴哈姆特"看ACG資訊吧?怎麼會突然點到工數網頁 XD (話說我還是第一次看到巴哈有在教數學的)

10-12 22:59

解凍豬腳：
嘿嘿，這個責任就由我扛下來了 [e5]10-12 23:01

KDX：
期待之後的文章（敲碗

10-13 00:06

☆蘭祈☆：
卡傅立葉轉換

10-13 00:17

加九十九的水壺：
U質

10-13 00:44

小小權哥：
微積分的用意，就是拿來算微分方程式(應數)

10-13 01:12

直升機-寶石模式：
牛B 一看就懂

10-13 04:20

@@@@@比娜廚：
sega 喜歡解凍豬腳的發表

10-13 11:06

苒：
sega喜歡解凍豬腳的發表

10-13 11:09

洨天屎♥：
sega 喜歡解凍豬腳的發表：

10-13 11:23

怪胎：
二十年前沒搞懂的東西總算清楚了。以前的數學從lim出現後就變火星文了，還好不是主修。

10-13 13:14

雅南小超人：
登入推！

10-13 14:20

維吉爾強：
我居然在巴哈讀完了一篇微分導讀，magic~

10-13 20:13

生日ㄐ大律師：
打這麼多誰他媽看的完

10-15 20:14

解凍豬腳：
https://truth.bahamut.com.tw/s01/202008/b696008ba624dc4d1e21a6916e023335.JPG?w=30010-15 20:18

ふわ猫：
好懷念喔都忘光光了

10-16 11:42

伊藤誠：
大厲害了...你為什麼可以吧微分講的這麼好懂...

03-16 19:20

風神：
頭好痛，該不會要長腦子了！

11-15 10:28

天晴熊：
請問為什麼 (...x)2 展開後的式子裡面會有 (...2x)？

基礎不好但很想學好數學QQ

01-07 21:37

解凍豬腳：
你說的是 x² 對 x 微分的過程嗎？

在曲線上面設兩個座標點連成一條割線
第一個點是 ( x, f(x) )
第二個點是 ( x+n, f(x+n) )

我們知道這條割線的斜率是 [ f(x+n) - f(x) ] / [ (x+n) - (x) ]
也就是 [ f(x+n) - f(x) ] / n
那麼如果這個 n 非常小，小到接近 0，這條割線可以看作是一條切線

當函數 f(x) = x² 的時候， f(x+n) - f(x) 會是 (x+n)² - (x)²
展開得到 f(x+n) - f(x) = x² + 2xn + n² - x²
所以我們就能得知斜率是 2x+n
因為這個 n 非常小，小到接近 0，可以忽略不看，直接看作 2x

所以我們從上面的內容可以得到：
如果有一個函數 f(x) = x²
那麼 f(x) 在 x 上的切線斜率就是 2x 了01-07 23:01

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