主題 達人專欄

冷飯熱炒:從微分乘法律到分部積分法

解凍豬腳 | 2020-11-24 10:15:02

 
  積分技巧可以粗略地分為三種:代換積分法、分部積分法、部分分式積分法。上禮拜我們講完了其中最基本的代換積分法,今天來講講分部積分法吧。

  只要你會了微分乘法律,那你就已經先掌握了八成的分部積分法了。其實分部積分法的核心概念也很簡單:「只要想要積分的對象剛好是微分乘法律的其中一項,而且另外一項剛好也可以積分的話,那就可以試圖湊出答案來了。」



。微分乘法律和分部積分法的關係

  直接從範例做起的話聽來一定會很抽象,我們就先從原理講起吧。

  如果你還沒有把微分乘法律忘光的話,你會知道對於一個兩樣東西相乘而得的項 fg,如果要將 fg 對 x 微分,會有:


  如果我們把等號的左右兩邊再同時對 x 積分一次(等量公理允許我們這麼做),左半邊當然就會被還原為 fg 了(畢竟微分以後又積分),右邊則變成一個看起來複雜的積分式:


  但是不用怕,既然微分加法律(減法律)告訴我們,「先相加再微分」和「先微分再相加」的結果是相等的,那麼積分也同樣適用:「先相加再積分」和「先積分再相加」的結果也應該要是相等的。我們把等式左半邊的 dx 消除,同時把等式右半邊拆成兩個積分式:


  然後簡化等式左半邊(其實左半邊可以寫成 ∫ 1 d(fg),只是把 1 省略了),同時把右半邊可以相消的 dx 消除:


  這就是分部積分法的公式由來了。不過一般教科書上習慣用 u 和 v 作為代換用的變數,移項一下:




。實際做做看

  就拿上次所說的「只用代換法也無法解決的積分式」來當範例吧。如果有個積分式:


  回顧剛才講的分部積分法的式子,對應一下,如果要套用分部積分法的話,我們必須:


  接著好好想想每一項應該如何安排。

  分部積分法裡面「uv」這項顯然不是問題,因為它不需要用到任何的積分,在代換過之後只需要無腦地把 u 和 v 相乘就可以得到了,所以這個 uv 先擺在一旁不用管也沒關係。

  接下來最重要的問題在 u 和 dv:我們應該令誰為 u?令誰為 dv?

  思考一下,這個積分式裡面有三個項:x、、dx。既然 dv 牽涉到「微小變動量」這檔事,那麼它一定會跟 dx 有關聯(因為 dx、dv 這種特殊的變數是透過微分才有可能得到的東西),所以這個 dv 要嘛應該設為 xdx,要嘛應該設為 ,然後剩下的設為 u,這樣才能夠讓 udv 等於原式的

  根據上面這些判斷,它會有兩種可能性,第一種可能就是:


  第二行的 du 跟 v 是由第一行推出來的,要分解動作的話就是:

  在 的情況下,因為 ,所以等式兩邊同乘以 dx 得到 ;在 dv = xdx 的情況下,等式兩邊同時積分,得到 ,也就有 了。

  先不要管第二種可能性是什麼,我們來嘗試第一種可能吧。既然都已經得到 u、du、v、dv,那麼依照分部積分法,只要把每一項對應上去:


  Oops。情況似乎變得越來越複雜了,所以我們得到了「第一種可能性行不通」的結論,因為這麼繼續下去只會變得越來越複雜,永遠積不出結果來。

  既然第一種可能失敗了,那來試試第二種可能:


  剛剛的分解動作,它的觀念簡單來說就是:「如果要從 u 得到 du,那我們只要把 u 微分,然後再移項一下就會有結果;反之如果要從 dv 得到 v,我們只要把 dv 積分一次就可以還原出來了」。

  照著分部積分法繼續做下去:


  我們驚奇地發現,拼湊出來的 ∫ vdu 這一部分是可以直接積分的。繼續做下去,我們得到最後的結論如下:


  不要因為太過興奮而忘記加上待定常數 C 了。



。LIATE 法則

  從上面整個過程看來,我們可以感受到開頭「應該令 u 為誰、令 dv 為誰」的這步操作,關係到我們最後能不能積出這個式子。如果使用了前面提到的第一種可能性,那積分出來的結果只會越來越複雜,因為我們嘗試的路徑沒有剛好讓另一邊的 ∫ vdu 剛好能夠積出結果來。

  問題來了:考試時間總是有限的。如果我們想要少走一點冤枉路,那麼在這些可能性當中,到底有沒有辦法預先判斷「哪一條路才是對的」呢?

  答案是:有,我們有「LIATE」的順序,可以判斷應該優先令 u 為誰:
  L(Logarithm)對數函數,比如:log x、ln x
  I(Inverse trigonometric)反三角函數,比如:arctan x、arcsin x
  A(Algebraic)代數函數,比如:x³、5x²
  T(Trigonometric)三角函數,比如:sin x
  E(Exponential)指數函數,比如:

  以剛才的例子,我們發現原式有 x 和 ,既然 x 屬於代數函數的一種,優先順序比 所屬的指數函數還要高,那我們就令 u 為 x、剩下的 為 dv,結果就是我們要的。

  然而,它只是一個經驗法則,畢竟這個法則的順序是基於「通常怎麼樣的函數會比較好積」而總結出來的,某些時候它仍然有例外,所以參考看看就好了。

  分部積分法就是這樣,因為只是照著微分乘法律而做,所以基本的概念理解起來並不難,但是題目一旦刁鑽起來,真的就會複雜得要人命。

  有了分部積分法這樣的工具,我們就能積出更多種類的積分了。
 
1280 巴幣: 618
梟美焰
卡 我唸研究所會用到
2020-11-24 11:30:58
淋刀油章魚
數學小老師
2020-11-24 11:43:44
我喜歡女生的ㄐㄐ
謝謝豬腳 我還是看不懂
2020-11-24 12:06:37
爬文四世
每次算到分部積分頭都有點痛,結果Laplace要一直積
2020-11-24 13:15:32
普拉拉
存看
2020-11-25 10:42:59

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