主題 達人專欄

微分幾乎是說微就微,那積分可以嗎?

解凍豬腳 | 2020-11-18 10:15:01

 
  這篇來講一下基本的積分技巧——對,真的很基本的那種。



。積分的本質

  在講積分技巧之前,我們先來討論「積分」這件事情的本質吧。

  有了前面幾篇相關文章的背景知識之後,我們知道要想微分大部分的函數是不困難的,這是因為我們在求取導函數的時候通常都有固定的規則可循,例如 f(x) 的導函數就是在 Δx 趨近於 0 的情況下,把 Δf 和 Δx 兩者相除得之。光是基於這點,我們就可以得到冪函數 的微分結果了。

  除此之外,我們還透過最基本的 延伸出微分乘法律、除法律、連鎖律這堆微分工具,甚至再基於前面這些和等量公理綜合起來得到了對數函數、指數函數的微分結果。有了這些工具,只要不是長得太奇怪的函數,我們都能夠輕易地用標準的流程找到它的導函數。

  ——那積分呢?

  回顧上次講的積分,其實積分的概念就是:如果我們能找到「誰」微分以後會得到 f(x) 的結果,那我們就可以說它是 f(x) 的反導函數(或是不定積分)。

  實際上,微分的過程很簡單,但反過來就會變得很困難。

  為什麼困難?想像一下現在你面前有一個人。要是你知道他的名字,那麼我們若想求得他的姓名筆畫總數,這是很簡單的:只要拿出筆來一筆一筆寫下就有答案了。

  可是倘若情況反過來,假設今天你不知道他叫什麼名字,只知道他的姓名總筆畫數是 27,那麼即使你知道筆畫是怎麼計算的,也無法只憑這個 27 找到這個人的名字。

  微分跟積分的差別就像這樣。



。積分的技巧

  就算是碰運氣也好,我們還是可以努力看看。

  積分的技巧,如果要用最簡單的方向來概括的話,那就是「利用既有的微分規律,試圖拼湊出符合要求的積分結果」。比如說,如果遇到了 這種積分式,要是傻傻地套入冪函數的公式,就會出現分母為 0 的詭異情況,使得我們求不出結果。不過,因為我們曾經把 ln x 微分得到 ,所以也同時藉此知道了 的結果應該要等於 ln |x| + C。

  下面就來講講代換積分法。



。代換積分法

  代換積分法是最基本的一種,也有人會稱它為「變數變換法」或「換元積分法」。

  它的核心概念就跟微分連鎖律類似:透過變數的代換,把積分的對象換成更簡單的方式,最後再代換回來,就得到了積分的結果。

  舉個例子:


  按照以前學的,你應該很清楚把 對 x 微分後會得到 ,換句話說如果把 對 x 積分就會得到

  不過現在的情況可就不同了,因為今天題目中 e 的指數是 2x,但我們卻是對 x 積分,這樣積下來的結果肯定不會是 這麼簡單——是的, 才會得到 ,這概念跟我以前一再強調的「微分的時候要搞清楚微分的對象是誰」一樣,積分的時候同樣要注意積分的對象是誰,因為每個變數的微小變化量比例都不同。

  為了把 2x 處理掉,我們可以令 u = 2x,使得原式變成:


  不過問題來了,我們沒辦法把 直接對 x 積分,所以我們必須要弄清楚一件事:「在微小變動的那瞬間,『u 的變化量 du』是『x 的變化量 dx』的幾倍?」

  既然牽扯到微小變化量,那當然就要再使用到微分的運算,我們知道:


  經由移項,我們得到 du = 2dx。既然有了 dx 和 du 之間的關係,我們自然就可以把原式的 dx 給換掉了:


  確認原式只有和 u 相關的 ,也確實是對 u 積分(du),那麼我們就能夠順利地把它積出來了。

  再舉一個稍微複雜一點點的例子:


  我們可以預想得到,把 3x² - 7 微分以後會得到 6x,也就是 d(3x²-7) = 6xdx,剛好原式分子也有 2xdx 可以搭配,接下來 6xdx 和 2xdx 這種只差在係數上的都可以提出來解決:


  因為 du = 6xdx,所以 2xdx 當然就是 個 du。

  這麼做我們就能把跟 x 有關的部分都先處理掉,把整個積分式變成只跟 u 有關,等到積完再換回來就好了。仔細觀察上面的過程,會發現這個拿來代換的媒介 u 微分後剛好也要可以和原式配合才行。倘若今天換成:


  那就不會是單純的代換積分法能夠解決的事情了,而這也正是積分做起來通常比微分還要困難的原因。凡事不總是完美的,我們只能在特定的情況下求取積分——簡單來講,這個函數必須長得剛剛好——因此,積分題目一般都是盡可能以「已知的微分規則」反過來判斷一個函數的反導函數應該長什麼樣子。



。當代換法遇上定積分

  定積分的範圍在代換的時候也很重要。就拿剛才前面的範例來說,倘若今天我們要求的是這樣的定積分:


  你首先要注意的是:「這裡的 [2, 5] 範圍是對誰而言?」

  回想一下我們當初開始瞭解「積分」的時候,這裡的 [2, 5] 是指在 x ∈ [2, 5] 的範圍。既然今天把積分的對象從 x 換成 3x² - 7 了,那麼倘若我們真的就直接計算:


  那麼積出來的東西就有問題了。因為實際上它就等同於:


  只是變數名稱不一樣而已。用眼睛看都知道, 顯然是不同的東西,所以當我們把 x 換成 3x² - 7 之後,定積分的範圍也應該要循著相同的關係代換,結果才會正確。

  把積分範圍的上下界代入,由於我們是令 u = 3x² - 7,因此 x ∈ [2, 5] 就會照著這樣的關係對應到 u ∈ [5, 68],也就是說這題代換以後,整個題目就應該要被簡化成這樣:


  在計算定積分的時候,既然已經把所有跟 x 有關的東西都處理完,那麼我們之後就再也不需要管原先的 x 和 u 之間是什麼關係,因為我們已經知道這兩個積分結果相等了:


  沒錯,我們不需要再把 u 換回來!因為我們計算定積分的時候在乎的是積出來的值。

  代換積分法的核心觀念就是「在能夠知道新變數和舊變數之間的關係的前提」之下,把舊的變數換成新的變數,再直接從新的變數積出結果來。只是,什麼樣的積分可以用代換法、什麼樣的積分不行,這就需要憑靠經驗——當然,既然文章開頭已經提過積分不是容易的事,那世界上當然也會有「即使使用各種常規的積分技巧也無法直接積出來的式子」,例如:


  代換積分法可以解決的種類並不少,甚至也有利用三角函數的特性來處理特定積分式的例子。積分的題型實在不太可能單純用一篇文就列舉完,如果真要列舉起來的話,這篇文大概就變成講義文了吧,所以講個核心概念就好。

  積分的技巧實際上也不只代換法一種,之後再來聊聊別的技巧吧。
 
1879 巴幣: 2014
宅宅研究生-阿泡
要是早點看到這個就好了,想當初小大一唸的好痛苦,重點是本科系還用不到微積分⋯
2020-11-18 11:24:06
深邃♂黑暗♂幻想
現在提到ㄐㄐ分我就頭痛 還好下週要考的沒超出豬腳大ㄐㄐ的範圍
2020-11-18 16:17:07
無痕之音
樓上GG就讓你痛苦,還有萬惡的統計學,那真的是一部天書,統計學了3年還遇到不太優的老師和課本(還是原文)。
2020-11-18 19:08:41
淋刀油章魚
把ㄐㄐ疊起來的算法
2020-11-19 16:05:11
教授加博士先生
我工作後遇到的問題沒一個是我自己積的起來的,慘,最後都是暴力扔給數值工具解[e8]
2021-01-08 17:32:58

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