這裡是亞夜。
上圖在網路上流行一段時間了，
應該是捏造的謎因圖吧？
不確定是不是真的就是。
就算是好了，
這一題應該也已經被解出來很多次了，
那麼大家答案抄一抄早就失去了認證的意義不是嗎？
先說解題思路誤區。
這一題應該很多人直覺答案會是 3，
理由如下：
x、y、z 都是實數所以平方必定 ≧ 0。
三個 ≧ 0 的數字合計為 9，
表示三個數字都必然介於 0~9 之間，
因此 x、y、z的範圍必然介於 -3~3 之間。
也因此，
最大值鐵定不會超過 6。
但是，
如果最大值取 6，
只會發生在 y=3 且 x=-3 的情況下，
而這組解顯然不對（z 無解），
因此答案無法取到 6。
如果 y 值減小，
就會讓 y-x 的上限變低，
因此我們要保持 y=3 的這個先決條件。
如果帶入 y=3，
則為滿足平方和=9的條件，
x、z 都必然為 0，
而 0,3,0 這組解也滿足第一式，
因此得到 y-x=3 的解。
看似有道理，
但這答案不對。
這是一個二次聯立方程式，
而二次方程式的「極值」必然是唯一的，
換句話說，
如果你能找到第二組 y-x=3 的解，
就代表這一個解是錯的。
而非常容易找的就是：-1,2,2。
因此呢，
3 雖然很接近答案，
但卻不是正確解答。
要解這一題，
我們需要把方程式轉換成標準的二次多項式的形式，
這樣就比較容易找出極值。
首先，
我們將題目的第一組方程式做平方然後乘開，
乘開後的方程式包含了第二組方程式的部分內容，
因此經過推導移項會得到 -2xy=2yz+2xz 的結果。
等等會使用到這個結論。
接著我們就要開始進行計算。
在計算之前，
透過上述的數論我們已經知道 y-x 至少為 3，
因此 y-x 的最大值在平方以後也會是最大值，
也因此我們可以改為求取平方後的最大值。
這裡先將多項式展開，
展開後會有 -2xy 的這個關鍵項，
讓我們利用上面的結論將其替換為 z 的函數形式。
接著進行補項削項的動作，
補項是為了湊出「已知」的形式，
削項則是為了維持等式所以要把補進來的項給減掉。
其目的單純就只是為了把 x、y 給去掉通通都用 z 來表示，
最終我們會得到一個只有變數 z 的一元二次多項式。
既然我們要求最大值，
那就要取導數。
導數的意思就是函數值的「變化率」，
若導數為正數，
就代表函數值會隨著變數增大而增大；
反之，
若導數為負數，
則代表函數值會隨著變數增大而減小。
換句話說，
當導數由正轉負的過程中，
經過 0 的那一瞬間代表函數值到達了最高點，
之後就要開始走下坡，
因此我們要找出導數為 0 的位置。
多項式函數的導數求法請參考這篇。
總之，
我們找出當 z=1 的時候導數為 0，
因此將 z=1 代回就可以得到答案。
因為求的是「最大值」，
因此當然要選擇「正根」，
也就是 2√3。
當然，
用國中的解法就是，
直接帶公式「2a分之-b」（二次函數的對稱軸）也能得到 z=1 的結論就是。
雖然我們已經得到答案了，
不過為了驗算，
這裡還是把 x、y 都給求出來會比較方便。
原題目給定 x+y+z=3，
在已知 z=1 的情況下我們可以化簡為 x+y=2，
再聯立之前得到的 y-x=2√3，
這樣我們就有一組二元一次聯立方程式，
進而可以將 x、y 的數值給求出來。
這裡使用加減削去法會比較好做。
最後將我們求出的 x、y、z 代回原方程組檢查是否滿足，
結果是滿足的，
因此可以確定我們找到了正確答案。
【延伸討論】
我們將 y-x 的平方寫成一個只有變數 z 的二次函數時，
剛好這個函數的開口朝下（二次項的係數為負），
因此剛好有最大值可以求。
那如果今天題目要求的是求最小值的話又怎麼辦呢？
這題是這樣的：
由於原題目給定的條件，
x、y、z 的係數都是 1，
因此滿足該聯立方程式的所有的解通通都是可以互相替換的。
換句話說，
雖然題目是問 y-x 的最大值，
實際上，
改成問 x-y 或 z-x 等等的最大值，
答案也通通都一樣。
換句話說，
這一題實際上就是在問兩個變數之間的差值的最大值。
既然是求差值，
那最小值不就是 0 了嗎？
沒錯，
如果今天求的是「絕對值」，
那確實是 0。
但是別忘了，
「負數」比 0 還小，
換句話說，
今天我們找出的這組解是用大減小的方式得到正數，
那我們只要反過來變成小減大，
就會得到一個負數了不是嗎？
那麼自然，
負最多的那一個就是最小值了對吧！
因此我們一樣可以取導數為 0 找到 z=1 的值以後，
帶回 y-x 的平方求根，
只是這一次要取負根而已。
【後記】
所以說為什麼會說這個應該是捏造的呢？
因為正確答案是無理數，
你要嘛輸入 2√3 或 √12，
但這裡包含了一個「√」這個特殊符號；
不然你就展開成小數，
但偏偏這又是一個無限小數你永遠不可能寫得完，
那麼驗證要怎樣才能通過呢？
本篇使用的方程式編輯素材來自：LaTeX公式編輯器
達人
