主題

【日常】反直覺的條件機率

愛天使亞夜 | 2021-05-05 18:30:02 | 巴幣 10 | 人氣 150

大家好這裡是亞夜。

最近看到一個題目,
這實在是精采到了一個極點,
因此忍不住放上來跟大家分享。

題目是這樣的:

你的鄰居他家裡有兩個小孩。
請問兩個小孩都是男生的機率有多少?

這題應該不會有人有疑問,
很簡單嘛!
健康教育學過,
統計學上生男孩生女孩的機率各是二分之一,
因此兩個孩子都是男生的機率自然就是四分之一了。

然而,
這只是一切的開始而已。

在上述這個情境之下,
有一天,
你看到鄰居帶著他的一個小孩子出門,
因而你確定這個小孩是男生。
請問,
鄰居兩個孩子都是男生的機率有多少?

唉,
這個就耐人尋味了吧!

一般來說我們也許會這麼想:
既然看到了一個男生,
那麼這個題目不就相當於在問你另一個小孩是男生的機率嗎?
那還不簡單!
答案就是二分之一。

然而如果你這麼想,
你就落入陷阱裡了。

題目只告訴你看到了一名男孩,
但你不知道是兩個孩子中的哪一個。

兩個孩子的性別只有4種可能,
分別是「男男」、「男女」、「女男」、「女女」,
且四種情況各佔四分之一機率沒錯吧?
那麼,
因為你現在看到了一個男孩,
因此「女女」的選項就被排除了,
因此最終整個樣本數就只剩下「男男」、「男女」、「女男」三種了對吧?
所以,
這題的正確答案是「三分之一」。

這點其實跟擲筊一樣。
我們都以為神明同意的機率(擲聖筊:出現一陰一陽)的機率是二分之一,
實際上是三分之二。
為什麼呢?
因為如果我們假設兩個筊片出現陰面跟陽面的機率各是二分之一,
那確實情況就只有陰陰、陰陽、陽陰、陽陽四種且每種機率各是四分之一,
也因為陰陽跟陽陰都是聖筊,
因此聖筊的機率是四分之二,
也就是二分之一。
然而實際上卻是,
「陽陽」的意義是笑筊,
代表「神不懂,請重來」。
換句話說,
笑筊不能是最終結果。
因此情況只能是兩陰的「陰筊」(代表神不同意)跟一陰一陽的「聖筊」兩種,
當中陰筊只有一種情況,
而聖筊有兩種情況,
因此神同意的機率為三分之二。

事實上,
這就是所謂的條件機率。
所謂條件機率,
就是只在附加限制條件的情況下,
特定結果出現的機率。
因此這種情況確實不能用一般的解法去理解,
得針對條件去排除不合理的情況,
再從剩下的情況中去找出正確情況的數量並計算出機率來。

好,
到這裡還不算太複雜。
現在我們加入一個條件:
你知道你的鄰居一個是O型血而另一名是AB型血,
並且你後來得知了這個小孩是A型血,
請問,
鄰居的兩個孩子都是男生的機率有多少?

也許你第一個反應是:血型跟性別有個鳥蛋關係?
所以這一題的條件肯定是個芭樂。
因此,
答案還是三分之一。

唉,
不好意思,
你又中陷阱了。
這題的答案是七分之三。

咦?
為什麼?
首先,
高中生物告訴我們,
雙親是AB型血跟O型血的話,
孩子的血型只有可能是A型或B型且機率各半。
換句話說,
孩子的情況會從[男/女]合計2種狀態變成[男A/男B/女A/女B]合計4種狀態,
因此兩個孩子總共就會有16種狀態,
分別是:
男A-男A 男A-男B 男A-女A 男A-女B
男B-男A 男B-男B 男B-女A 男B-女B
女A-男A 女A-男B 女A-女A 女A-女B
女B-男A 女B-男B 女B-女A 女B-女B
並且所有狀態的機率都是相同的。
當中,
包含至少一個男A的情況只有以下七種:
男A-男A
男A-男B
男A-女A
男A-女B
男B-男A
女A-男A
女B-男A

而這七種當中兩個都是男的的狀態,
只有以下三種:
男A-男A
男A-男B
男B-男A

沒錯吧?
所以機率是七分之三。

為什麼說反直覺呢?
因為血型跟你性別確實沒有鳥蛋關係,
然而卻因為知道了血型,
因此導致機率改變了,
這不就非常反直覺嗎?

好,
接著再加一個條件:
這天你跟鄰居在聊天,
他說他兩個孩子一個讀小一另一個則是學齡前。
今天是平常日,
因此另一個孩子正在上學,
現在的這個男童則是學齡前的那一位。
請問,
鄰居的兩個孩子都是男生的機率有多少?

嗯,
這次沒有陷阱了。
題目告訴你學齡前的這一位是男孩,
那麼只要上小學的那一位也是男孩,
那就符合條件了。
而那一位小孩是男孩的機率是二分之一,
因此答案是二分之一。

咦?
為什麼不是三分之一而是二分之一了?
不應該是從「男男」、「男女」、「女男」當中去挑選嗎?
不是的。
因為這一題的論述,
你已經「特定」出了其中一個孩子的性別,
因此樣本空間進一步塌縮剩下「男男」、「男女」兩項了。
跟第一題不同的點在於,
第一題的資訊僅告訴你其中一人但不能讓你特定出是兩位中的哪一位。
也就是說,
你知道有一個男的但不知道這個是誰;
但這一題的資訊你已經特定出男的是年紀小的那一位了。
換句話說,
這個題目與「上小學的那一位是男生的機率有多少」就是等價的了。

看了以上幾個題目,
我們來小總結一下。
機率有什麼特性呢?
機率是對於一個不確定的結果在基於統計學原理下計算出來的發生可能性,
因此對於一個不能重複執行的事件而言,
機率本身其實只是對於一個特定狀態的機會評估而已。
而這個評估數值,
會根據你掌握到的資訊變多而逐漸變大;
而當你掌握了所有相關資訊時,
機率就是絕對的了。

換句話說,
這個題目是這樣的:
如果你什麼資訊都沒有,
問你兩個孩子都是男生的機率,
毫無疑問就是四分之一。
但如果你明確知道這一個孩子是男生,
那麼兩個孩子都是男生的機率就會變成二分之一了。
換句話說,
「明確知道這個孩子是男生」是一個極為強力的有用資訊,
因而使得機率增加到二分之一這樣。
而相比之下,
「只知道其中一個孩子是男生」的這個資訊,
他實際上沒有資訊更強,
因此機率增加了;
但他的力度又沒有到「特定這一個」這麼強,
因此他對機率增加的量就沒有那麼大,
也因此,
機率介於四分之一(25%)跟二分之一(50%)也是合理的,
而且事實上三分之一(33%)這個答案也確實落在這個區間。
而「知道其中一個孩子是男生且A型」這件事,
實際上資訊量就比「知道其中一個孩子是男生」這件事更強一點,
因此機率當然也會落於三分之一(33%)跟二分之一(50%)之間,
事實證明答案是七分之三(43%)也確實是如此。

以上這就是在計算「條件機率」問題時很反直覺的一些情況。
事實上,
還有很多更反直覺的條件機率問題。
想必大家應該都聽過三門問題,
是這樣的:
有三道外表一模一樣的門,
其中一道門放有獎金而另外兩道門則是空的。
只要你打開了放有獎金的門你就能獲得獎金。
在你選擇了其中一道門後,
主持人從另外兩扇門之中打開了一扇空的門並問你要不要更換答案,
請問你更換答案跟不更換答案,
得到獎金的機率各是多少?

因為主持人開了一扇空門,
因此換不換呢,
其實就是從剩下的一扇空門跟一扇獎金門中去做選擇而已,
因此機率都是二分之一吧?

當然不是。
這題是這樣解釋的:
我們先考慮「不更換選項」的情況:
只有你一開始就選到獎金門你才能獲得獎金對吧?
因為你不選擇更換,
所以主持人開不開門跟你毫無關係對吧!
因此這個場合,
你獲得獎金的機率就是三分之一。
那麼現在我們考慮「更換選項」的情況:
假設你選到了獎金門,
這個機率是三分之一。
這個情況下,
在主持人開門以後,
你更換的話就一定不會獲得獎金對吧?
反觀,
假設你選到了空門,
這個機率是三分之二。
那麼主持人打開了另一扇空門,
你更換的話就反而會獲得獎金了對吧?
換句話說,
你選擇更換的話,
獲得獎金的機率就是三分之二而非二分之一了。
因此很遺憾的,
兩個答案分別是三分之一跟三分之二而非二分之一。

這就是條件機率噁心人的地方。
當然,
這個題目原本是問你「最佳策略下你該不該更換選擇」?
事實上,
一般人應該也能很簡單的想到,
第一把就猜中的機率只有三分之一,
但第二把重猜的情況最少也有二分之一,
因此就算算錯也還是應該要換,
因此這個題目大多數人應該都能矇對。

那麼以下這個題目就不是這麼一回事了:
你因為某些原因被黑手黨抓住了,
黑手黨老大想跟你玩一個遊戲。
現在桌上有一把轉輪手槍,
它的彈巢上面有六個藥室,
已知這把手槍每扣動一次扳機彈巢就會前進一個藥室。
現在老大將兩顆子彈裝填入相鄰的兩個藥室裡,
並且快速地轉動彈巢直到彈巢自然停止為止。
此時,
老大直接對你扣了一次扳機,
然而你很幸運,
子彈並沒有擊發。
此時老大說他想要再對你扣一次扳機,
如果你活下來了那麼之前的事就一筆勾消並將你直接釋放。
現在老大問你:
你希望他就這樣直接對你開槍呢?
還是他再轉一次轉輪後再對你開槍呢?

題目很長,
不過其實很簡單,
還是在問機率而已。
彈巢有六個藥室並且一次前進一格,
快速轉動彈巢後,
因為無法確定最後彈巢會停在哪一格,
因此擊錘打到每一格的機率都是六分之一,
而當中只有兩個藥室有子彈,
因此擊發的機率就是六分之二,
大約是33%。
但是現在告訴你,
老大扣了一次扳機並且沒有擊發,
代表擊錘敲了一次空藥室。
因為每次都會前進一格,
因此下一次絕對不會再敲到這個藥室對吧?
因此呢餘下的五個藥室當中有兩個有子彈,
擊發機率變成了五分之二,
來到了40%,
比33%高了一些,
因此還是要讓老大轉動彈巢比較容易生還。

然而如果你這麼算那你活該要被打死。

六個彈巢,
那就假設是ABCDEF就好了。
接著將子彈填入相鄰的兩個藥室裡,
我們就假設是AB兩個好了。
因此第一次打空代表什麼?
代表上一發的擊錘只會落在CDEF這四個位置的其中一個對吧?
那麼在這四個情況中,
只有打中F的這個情況,
下一發會擊發子彈對吧?
因此實際上呢,
如果你選擇不旋轉彈巢而直接開第二槍,
擊發的機率其實只有四分之一而已,
也就是25%而已。
換句話說,
不旋轉彈巢,
反而更容易生還。

這是不是也很反直覺呢?
其實關鍵在於將子彈放入相鄰的兩個藥室裡,
因此在不重新旋轉彈巢的情況下,
第二顆子彈是沒有機會擊發的。
因為,
再不重新旋轉彈巢的情況下,
這次擊發第二顆子彈的前題是第一顆子彈已被擊發不是嗎?
因此實際上彈巢剩下的實質上只能是三個空藥室與一個實藥室而非三個空藥室與兩個實藥室。

然而,
這些條件機率雖然反直覺,
但理解起來都還算直觀。
下面這一個題目,
肯定把你嚇死:

已知一個正三角形ABC,
我們在這個正三角形上做一個外接圓O。
現在我要在圓O上隨機作一條弦,
請問這條弦的長度比正三角形ABC的邊長還長的機率有多少?

這個題目說穿了就是做一條弦唄,
那弦怎麼做呢?
只要在圓周上任一取不重合的兩個點連線,
那這就是一條弦了。
那麼這個簡單,
不管第一個點取在哪裡,
只要第二的點下去就能取得一條唯一弦對吧?
因此我們就假設把這個點取作A點就好了,
那麼很顯然的,
只有當另一點落在弧BC的區間上時,
這條弦的長度才會比三角形的邊長還要長對吧?
又因為ABC是正三角形嘛,
所以弧AB=弧BC=弧AC。
因為另一點可以落在圓周的任意位置,
我們假設落在圓周上每一個點的機率都相同,
那麼落在特定區間的機率自然就是該區間佔整體的比例決定的對吧?
那麼落在弧BC上的機率自然就是三分之一囉!

第二種解法:
從圓心O出發作一條半徑,
對這條半徑上的任意點做垂直線,
那麼肯定就能決定出一條唯一的弦來對吧?
因為這條半徑沒有限定角度,
所有的角度都可以如法炮製,
因此只要找出一條半徑中,
弦長大餘正三角形邊長的部分佔整體的比例就完事了對吧?
我們知道,
越靠近圓心的部分做出來的弦長越長,
所以只要找出一個關鍵點,
它所畫出來的弦長剛好等於正三角形的邊長,
然後我們看這個點位於半徑的哪個位置求出兩段的比值,
就能算出機率了對吧!
方便起見,
這條半徑就垂直正三角形的一邊畫過去了,
那麼,
半徑跟邊交叉的點的位置就是臨界值。
而這個點毫無疑問正好就是半徑的中點,(這是基礎幾何,你可以自己畫圖看看就好)
因此呢,
機率是二分之一。

第三種解法:
就直接在圓O裡面點一點唄!
假設這個點叫做M,
那麼我們可以在通過M的前提下畫出無限多條弦來。
為此我們追加一個限制:
令我們要畫出來的弦為PQ,
PQ必須通過M,
且PM=MQ。
換句話說,
M是弦PQ的中點。
透過加上這條限制呢,
對每一個M而言你只能做出唯一一條弦,
作法:連接圓心O跟M,
接著過M對直線OM做垂直線交圓周於PQ即為所求。
證明:OM=OM、OP=OQ(同為半徑)、PMO=QMO=直角(垂線),
根據RHS性質得三角形PMO與三角形QMO全等,
因此PM=QM,M是PQ中點。
好,
利用這個方式我們確實能決定出唯一的弦來,
那麼只要我們對原內的每一點都去畫弦,
就能畫出所有的弦了對吧?
那麼我們只要找出M在哪個範圍裡面能畫出較長的弦不就好了嗎?
於是我們發現,
當M越靠近原心則畫出來的弦越長,
因此跟解法2一樣,
我們找出一個極限點讓弦長跟邊長一樣即可,
而這個距離其實我們算過了,
答案是半徑的一半。
因為M是隨機落在圓內的任意一點上的,
因此呢M只有落在以O為圓心、半徑為圓O的一半的小圓內的範圍時,
才可以得到長度大於三角形邊長的弦。
既然小圓的半徑是圓O的一半,
那小圓的面積就是圓O的四分之一囉!
因此機率是四分之一。

透過以上三種解法,
我們針對其中一個問題,
都能窮極所有可能,
因此的確都沒有數學上的錯誤。
然而卻得到三種不同的答案,
這到底是哪裡出問題了呢?
其實問題出在,
因為我們沒有指定畫弦的方式,
因此我們就無法確定每一條弦出現的機率是相等的。

這很奇怪對吧?
其實不會。
你仔細想,
解法2跟解法3的畫弦方式是不是基本上可以視為同一種方法?
因為你決定的點M,
你把OM連接起來並加以延長,
那麼M不就變成一條半徑上的任意點了嗎?
解法2是針對這條半徑上取任意點做垂線;
而解法3規定是要以M為中點做弦,
但其做法依然是在這條半徑上做垂線,
因此兩者實際上是相同的做法。
然而,
方法2上對於給定的半徑上任何一點都能做弦,
甚至包括圓心都能做弦;
但方法3很直觀的,
如果你這點不偏不倚就點在圓心上呢?
那是不是就能做出無限多條弦了?
另一方面,
方法2的取點落在靠近圓心跟靠近圓週的機率是均勻的,
但方法3的取點落在靠近圓心的機率是平方下降的,
也就是說,
越靠近圓心的機率就越低,
而事實也證明,
方法2的機率是二分之一而方法3只有四分之一,
這就是因為定義不夠準確而造成的謬誤。

【結論】

條件機率這玩意,
條件必須給得足夠明確且完整,
我們才有辦法算出真正正確的機率來。
然而,
機率這件事本身對於單一事件其實是沒有意義的,
它只是一種針對未知的估量,
但並不代表著結果。
就像開頭的性別問題,
鄰居家的兩個小孩是不是都是男的,
從兩個小孩一出生起就決定了,
並不存在機率,
只有是或不是而已。
但為什麼我們能算機率?
那是因為我們缺少了資訊所以才用機率去做估計,
但終究只是估計,
畢竟現實中不可能既是又非,
又不是薛丁格的貓。


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創作回應

Sanvendi
然後左輪手槍題目是對的,如果第一槍沒中,那下一槍中獎的機率就會提高,沒錯,如果真的很幸運打了四槍都沒中就會變成100%.....2/2
2021-05-05 19:51:11
愛天使亞夜
反了吧,不要轉的話反而不容易中。轉=33%中,不轉=25%中,你真的有仔細看內容嗎?
2021-05-05 23:33:58
Sanvendi
條件機率定義為(A且B)機率/B機率,兩者階男的機率=1/4,其中一個為男的機率=1/2,所以1/4除以1/2=1/2
2021-05-05 19:59:47
Sanvendi
就算考慮到出來露面的男生不一定是第一胎,那也還有男1男2跟男2男1的選項,出來露面的可能是老大或老二,所以實際上男男的選項有兩個
2021-05-05 20:09:20
愛天使亞夜
所以到這裡你應該已經理解了:實際上我們要求機率必須先定義樣本空間。
就如同後面提的弦長問題,
使用不同的方式來找弦,
實際上就是在建立各種樣本空間的過程。
雖然解答都符合題意,
但因為樣本空間不同所以得出的答案就都不相同。
你這裡的解法將男男視作兩個樣本先不論是否合理,
總之就是定義出了另一個樣本空間來,
既然樣本空間不同,
那自然就也會得到不一樣的結論了。
2021-05-05 23:41:32
Arg
同樓上
2021-05-05 21:11:55
BKILGD
我覺得大部分的反直覺其實只是違反日常生活而已
當你看到鄰居帶了一個男孩出來,通常會是隨機帶一個
因此即使知道隔壁有兩個小孩,也只能猜測另一個也是男孩的機率為50%,這是日常
但如果是打仗,鄰居已經派出一個男孩去當兵了,另一個也是男孩的機率,大部分人也能直覺的知道大於50%
2021-05-18 11:45:50

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