主題

【教學】尺規作圖開根號

愛天使亞夜 | 2021-03-11 21:45:26 | 巴幣 120 | 人氣 384

各位好這裡亞夜。

今天在客戶那邊忙了一整天,
晚上沒什麼心情寫稿所以就發點自己熟悉的東西。
今天要講的是:尺規作圖開根號。

這裡先簡單的提一下,
數學上對於「尺規作圖」是有嚴格定義的。
尺規作圖字面上的意思是只能用直尺與圓規來畫圖,
但這裡的直尺是沒有刻度的直尺,
因此實際上就是「只能畫直線跟圓弧」的意思。
因為沒有刻度,
所以作圖上的長度只能透過「複製貼上」的方式去執行,
也就是說,
必須先給定你一個線段長,
你才能用尺規作圖畫出指定長度,
且該長度必然受到該線段長的影響。

好了,
那這裡提到的開根號是什麼意思呢?
是這樣的:
題目必須先給你一段指定長度,
然後你就能畫出該長度的「倍數」。
如果這個倍數是「有理數」那好辦,
原因很簡單,
利用尺規作圖,
要把指定長度延長整數倍,
或等分為整數倍都是易如反掌的事情,
而有理數就是「能寫作兩個整數相除的數」,
換句話說,
這個倍數必然可以寫成m/n的形式且m、n都是整數,
那我們就能夠透過延長m倍並等分成n等份的方式來取值。

可是,
當這個倍數是「無理數」時怎辦?

如果這個無理數是某個有理數的「平方根」,
那尺規作圖就作得出來了,
這就是今天敝人要講的。


重申一次,
尺規作圖的先決條件是必須給定一個指定長度。
不管這個長度是多少都無所謂,
但總之必須以這個長度為基準,
否則以下內容都是雞講的。

OK回到正題。
給定一條線段長a,
請問如何畫出現段長為「a的根號2倍」的長度呢?
這個很簡單:
利用《商高定理》(或曰:《勾股定理》、《畢氏定理》)即可。

《商高定理》的基本內容是:
 給定一個任意直角三角形,
 其兩股之平方和必然等於斜邊的平方。

我們可以把這個定理寫成:
 x^2 + y^2 = z^2
 當中,x≦y<z,且x,y,z為直角三角形的三邊長。

那到這裡應該很簡單了吧?
只要令x=y=a,
那z就是(√2)a了。

這裡只是簡單的√2倍,
那有沒有一個通式,
可以「令根號下任一倍數」都能畫出來呢?
其實還挺簡單的。
當然:前題根號下必須是有理數,如果根號下是π還是∛之類的當然還是沒辦法的。

要作通式,
那我們只能假設題目是求畫出a的√(m/n)倍了,
其中m、n都必須是正整數。

哼哼,
這個簡單。
我們先討論m=n的情況。

m=n,
那就是1倍。
1倍還畫個毛線啊,
直接複製線段長就完事了對吧!

接著討論m>n的情況。
m>n意味著這條線段必然比a長。
這個就簡單,
我們先找出(m-n)倍的a。
這不難,
因為這裡規定了m、n都是正整數,
因此一定算得出m-n,
也因此我們一定能畫出一條長度是(m-n)倍a的長度線段。
接著我們再把這個線段n等份,
我們就得到了(m-n)/n倍a的長度的線段。
我們也可以說這條線段的長度是[(m/n)-1]倍a的長度,
方便起見,
我們叫它b。

現在,
用a線段跟b線段作直角三角形的兩股,
尺規作圖畫直角是基本功,
這裡就不解釋了。
接著連接出斜邊,
斜邊長度就是a的√(m/n)倍了。

證明:
a邊平方=a^2
b邊平方={[(m/n)-1]a}^2=[(m/n)a]^2-a^2
斜邊平方=上兩式相加=[(m/n)a]^2得解

舉例來說,
我們要畫出a的√(7/3)倍,
那麼就先畫出b=4/3倍的a,
再用a跟b作兩股畫斜邊。

那麼m<n呢?
這個就稍微比較難一點了,
這涉及到「分母有理化」。

√(m/n)
=√m / √n (先相除再開根號=先個別開根號再相除)
=√mn / n (分子分母同乘以一個數)

因為mn都是正整數,
所以可以算出數字。
接著利用上面的方法先化出√mn倍的a,
接著再把這個線段做n等份就得解了。
例如,
我們要畫出a的√(2/3)倍,
那就是先畫出a的√6倍然後再三等份即可。

喔對了,
能不能畫√a呢?
答案是:不能。

a是單位長度,
它的概念並不是一個數字,
而是單位。
你把單位做平方或開根,
它就不是原本的單位了。
就像10的平方是100這很好理解,
但10公分的平方是100平方公分,
10公分是長度,
但100平方公分是面積而不是長度,
你無法畫出一個100平方公分長的線段,
懂嗎?


我們現在確定了,
給你一個單位長度a,
你就能畫出任意有理數,或帶根號倍的a的長度的線段。

那現在給你兩個線段長a、b,
能不能畫出長度是√ab的線段呢?

我們剛剛說,
給定a的情況下√a畫不出來的,
那麼想當然耳給定b的情況下√b也畫不出來。
既然√a跟√b都畫不出來,
那麼√ab當然也畫不出來。
才怪。
事情才沒這麼單純。

√a畫不出來的理由是什麼?
舉例來說,
假設a是9公分,
√a就是3根號公分。
根號公分是什麼單位?
先不管,
反正它不是長度單位就對了,
所以畫不出來。
同理假設b是16公分,
那√b就是4根號公分,
因此也畫不出來,
到這裡沒有問題。
那√ab就是3根號公分乘以4根號公分等於12公分。
有木有!
√ab竟然是長度單位!
既然是長度單位,
那當然畫得出來呀!

那具體怎麼操作呢?
我們可以這樣做:

1、首先先畫一條線段,長度等於a+b,我們假設這條線段為c
2、以c為直徑作圓。
3、在線段c上,以通過ab線段交點的位置作垂直線,令這條垂直線穿過圓周。我們令這條線為直線d
4、直線d上介於線段c與圓周之間的這段線段即為所求。

證明:
線段c=線段a+線段b,
以線段c為直徑作圓。
∵角4與角2'具有相同的圓周,
∴角4=角2'
又中間兩條直線垂直,
根據等腰三角形底角相等性質,
角2=角2',
∴角4=角2
同理可證:角1=角3
∵角1=角3且角2=角4
∴△axy與△xbz相似
∴x/a = b/x(相似三角形兩對應邊比值相等)
=>ab=x^2
∴x=√ab得證

延伸:
給你a跟b求畫√ab很簡單,
那給你a、b、c求畫∛abc呢?
答案是:畫不出來。

雖然∛abc的單位依然是長度單位,
但是尺規作圖無法繪製立方根,
因此此題就真的無解了。


【後記】

亞夜愛數學。


封面圖片:《武裝神姬》聖誕、賽連、人魚的三角含術

等等,
尺規作圖乾三角函數屁事啊?
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創作回應

愛der戰士
最後的圖好像哪裡怪怪的www
2021-03-11 23:12:29
愛天使亞夜
沒啊,就武裝神姬
2021-03-12 00:09:49
愛德莉雅.萊茵斯提爾
三角含術真是深奧(?)
2021-03-12 07:46:59
愛天使亞夜
超級深奧
2021-03-12 13:01:30
Sanvendi
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愛天使亞夜
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