主題

【教學】亞夜教你如何打算盤③:開平方根

愛天使亞夜 | 2021-03-06 18:30:03

生活中比較少用到開平方根,
工程上比較容易遇到。
遇到開平方根的時候,
電子計算機就是超級好用的工具,
不過如果你手邊沒有電子計算機的話,
該怎麼算呢?

小學數學中,
加減乘除都有直式算法,
利用直式算法,
讓筆算變成一個相當方便的工具。
那麼平方根能不能筆算呢?
答案是:當然可以。

請看例題:
    6 2 3
 6√388129
 6 36  
122 281
  2 244  
1243 3729
   3 3729
1246    0

看不懂?
沒關係,
先讓敝人講解一下操作方式:
首先我們先把預計開方的數字從小數點開始,
每兩位為一個單位隔開。
當然習慣了以後可以省略這個操作,
但因為我們現在是要講解,
所以就先這麼做吧!
隔開後,
我們要找一個數字X,
使得左邊的數字跟上面的數字相乘後最大卻又不超過原數,

如下:
    X      
 X√38,81,29

到這裡為止應該很簡單。
X乘以X要比38小又要最大,
那只能是6了對吧?
畢竟7的話就49了超過38啦!
因此我們就填X=6:
    6      
 6√38,81,29

接下來就是跟除法一樣要做一個「減積」的過程,
所以我們把它寫在下邊,
然後減掉,
並且再放兩個數下來。
跟除法不同的是,
除法一次只放一個數下來而開方是兩個,
因此前面我們做分組的動作可以避免我們失誤。

    6      
 6√38,81,29
   36   
    2,81

再進行下一步之前,
我們還要做一個動作,
就是把左邊的數字跟X做一個相加。
右邊的數字是6,
此時X也是6,
所以6+6=12:

    6      
 6√38,81,29
 6 36   
12  2,81

為什麼要這麼做呢?
待會敝人會證明,
總之現在先這麼記著。
接著我們現在要找一個新的X:
    6  X   
 6√38,81,29
 6 36   
12X 2,81

跟剛剛一樣,
令左邊的數字乘以X最大但不大於原數:
現在開始就比較好找了,
畢竟你管它X是多少,
反正它一定是120再多一些,
因此我們可以用除法中「估商」的技巧去猜X大概等於2,
畢竟2的話是244而3的話是369。

    6  2   
 6√38,81,29
 6 36   
122 2,81
  2 2 44   
124   37,29

按照剛剛的步驟,
減積完後放下兩個數字,
並且一樣把X跟左邊的數字相加。
然後接著,
我們繼續去找一個新的X:

    6  2  X
 6√38,81,29
 6 36   
122 2,81
  2 2 44   
124X  37,29

同樣的,
左邊是1200多,
3倍就3600多了,
因此就估3了:

    6  2  3
 6√38,81,29
 6 36   
122 2,81
  2 2 44   
1243  37,29
   3  37 29
1246      0

沒有餘數,
這代表我們已經開方開完了。
因此388129的平方根就是623,
至於最後一步的1243+3=1246已經沒有意義了。
但如果還沒有開完的話,
我們可以從小數點後面繼續搬0下來繼續做,
就能開出小數點以後的位數了。
當然,
整數開平方跟如果開不完那就是無理數(無限小數而且又不循環)了,
請懂得適可而止。

【證明】

這需要國中代數運算的知識。

假設我們要求根的數字是a,
並且把根號a拆成(10x+y)的形式,
那我們就能得到一組方程式是:
a=(10x+y)^2
=100x^2+20xy+y^2

我們對等式兩邊共同減去100x^2,
得到a-100x^2=20xy+y^2。
做一下整理:
a-100x^2=y(20x+y)

當中,
a是要求根的數,
x是我們第一次試根的數,
因此a-100x^2就是我們第一次試根試完後的餘項。
而這個餘項=(20x+y)y。
所以有沒有看出關鍵了?
我們得把剛剛試的那個根乘以20倍,
然後加上y再乘以一個y,
這不就是我們做第二次試根的時候的動作嗎?
還記得我們怎麼做的?
左邊是x,
上邊是x,
所以加一個x不就是2x了嗎?
然後我們把y直接寫在這個數字的右邊嘛,
因此其等效於2x這個數字往左移了一位,
往左移一位的意思就是×10嘛,
所以這時左邊的數字不就剛好是20x+y了嗎?
然後這個數字要乘以y嘛,
所以為什麼我們要找的數字是左邊跟上面必須一樣,
就是這個道理。
而此時上面的數字是什麼?
第一次試根的時後寫了x嘛,
第二次試根的時後在旁邊寫了y嘛,
所以實際上上面的數字就是10x+y了嘛!
這不就符合我們一開始定義的:根號a=10x+y了嗎?

根據上面找到的方程式,
a-100x^2=y(20x+y),
因此整體算下來餘項必須是零。
如果餘項不是零就代表還沒找到真正的根,
但餘項越小(越接近零)的話至少可以認為答案是越接近的。
於是我們可以繼續尋找更接近的根。

上面說了,
試根的時候,
要找到一個未知數y,
令上面的數字是10x+y的形式,
而左邊是20x+y的形式,
且相乘等於餘項。
所以說,
這個x是幾位數其時無所謂,
等式都是成立的。
當x是一位數的時候我們已經證明過操作是正確的了。
現在如果當x是二位數的時候呢?
那就令x=10a+b,
那根就是10(10a+b)+y
而此是左邊數字應該要是20(10a+b)+y。
但我們在上一次試根的時候,
也就是寫b的時候,
左邊數字就已經是20a+b的形式了對吧?
所以在減積的時候我們再加一個b,
左邊數字不就變成20a+2b,
也就是2(10a+b)了嗎?
現在我們要找y了,
所以左邊數字就是多了一位+y,
這時左邊數字就會剛好是20(10a+b)y了。
換句話說,
每多試一位數的y後都要把y跟左邊數字相加,
這樣就可以一直維持左邊數字剛好是根的20倍,
這樣我們就能一直藉由找到下一個y來貼近真正的平方根。

【打法】

以上證明不論你看不看得懂,
總之他是對的,
就算不懂,
只要你會用就好。

那麼問題來了,
如何用算盤打呢?

這很難,
爆淦難,
所以學會了你超強,
學不會也不用太擔心。

可以的話,
我們準備兩支算盤;
如果不允許,
那麼就把算盤分成兩個區域來記錄會比較方便。

首先我們一樣,
先把預備開方的數打出來:
建議前面一定要多留兩位方便記錄。
A:(0|0) (0|0) (0|3) (1|3) (1|3) (0|1) (0|2) (1|4) (00388129)
接著在首位進行第一次估根。
首位是38,
因此估根結果是6。
A:(1|1) (0|0) (0|3) (1|3) (1|3) (0|1) (0|2) (1|4) (60388129)
此時在另一支算盤上打上我們的第一次估根:
B:(0|0) (1|1) (0|0) (0|0) (0|0) (06000)

接著回到A算盤,
進行減積:6×6=36
同時B算盤在值上面再加上一次估根的結果:
A:(1|1) (0|0) (0|0) (0|2) (1|3) (0|1) (0|2) (1|4) (60028129)
B:(0|1) (0|2) (0|0) (0|0) (0|0) (12000)

接著回到A算盤進行第二次估根。
此時要再抓兩位下來,
也就是說用281去估。
接著我們要找到一個數字X,
B算盤上顯示12,
因此要找到(120+X)X不大於281,
此時估計X=2:
A:(1|1) (0|2) (0|0) (0|2) (1|3) (0|1) (0|2) (1|4) (62028129)
B:(0|1) (0|2) (0|2) (0|0) (0|0) (12200)

接著回到A算盤,
進行減積:122×2=244
同時B算盤在值上面再加上一次估根的結果:+2
A:(1|1) (0|2) (0|0) (0|0) (0|3) (1|2) (0|2) (1|4) (62003729)
B:(0|1) (0|2) (0|4) (0|0) (0|0) (12400)

接著回到A算盤進行第三次估根。
此時要再抓兩位下來,
也就是說用3729去估。
接著我們要找到一個數字X,
B算盤上顯示124,
因此要找到(1240+X)X不大於3729,
此時估計X=3:
A:(1|1) (0|2) (0|3) (0|0) (0|3) (1|2) (0|2) (1|4) (62303729)
B:(0|1) (0|2) (0|4) (0|3) (0|0) (12430)

接著回到A算盤,
進行減積:1243×3=3729
同時B算盤在值上面再加上一次估根的結果:+3
A:(1|1) (0|2) (0|3) (0|0) (0|0) (0|0) (0|0) (0|0) (62300000)
B:(0|1) (0|2) (0|4) (1|1) (0|0) (12460)

好的,
餘數為零了,
因此我們得到了平方根623得解。

其時在解平方根的時候,
位數其時不容易抓錯。
A算盤你可以試著把解跟原數分別打在算盤的兩側,
反正你求跟的時候是從最高位數開始一路往右打下去,
因此你從最左邊開始打一定不會有問題。
而小數點的位置該怎麼定呢?
很簡單,
訣竅就是:你原數分成幾組,解的整數部分就是幾位數。
舉例來說,
如果你今天開一個數字假設是4129889,
你打到最後會出現2032212,
那小數點會在哪?
答案是2032.212的位置。
因為你分組會分成:4,12,98,89,
總共分成4組,
因此你的整數部分就是4個位數,
這樣應該就很好理解了吧。
那後面的.212是怎麼出來的呢?
其實很簡單,
就是你算出2032以後會得到餘項865,
此時你就再放小數後面兩位下來。
你說原數是整數沒有小數?
阿沒有小數就是0的意思啊懂嗎?
所以就是再用86500去求,
具體來說是這樣:
   2 0 3 2. 2 1 2
2√ 4129889.000000
2  4  
40 012
 0   0  
403 1298
  3 1209  
4062  8989
   2  8124   
40642  865.00
    2  812.84  
406441  52.1600
     1  40.6441  
4064422 11.515900
      2  8.128844
4064424  3.387056
得解2032.212...3.387056

計算機驗算:
(2032.212)^2=4129885.612944
4129889-4129885.612944=3.387056
得解無誤。

有興趣的就自己拿算盤當練習吧,
沒興趣的……不強求www

【後記總結】

認真說,
算盤開平方根很複雜,
不過平心而論,
算盤開平方根其時比起作商除法而言還更不容易出錯。
理由是,
解的位數只有原數的一半,
因此計算過程中解與原數的相對位置會越做越開,
這使的在打珠的過程更不容易打錯位。
其次,
小數點的位置也相對容易把握,
你看原數有幾位數,
那解的整數部分就直接減半就好,
所以也簡單。
至於減積雖然看似複雜,
但實際上跟商除法的減積過程是一樣的,
所以只要懂作法,
那麼做熟商除法的人就一定能做開平方根。

雖然如果你有電子計算機的話直接按就好了www


封面圖片:桌上遊戲《寵物與迷宮:屬性五重奏》插圖:戰女神密涅娃
圖不對文不行嗎?www
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