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【教學】手算開立方根

愛天使亞夜 | 2021-03-08 21:22:32 | 巴幣 20 | 人氣 120

各位好這裡亞夜。

亞夜你走火入魔了,
幾天前才在加減乘除現在已經要開立方根了是什麼鬼www
好啦,
今天就是來分享一個沒什麼屁用的技巧:直式開立方法。

開立方這個動作比開平方還不常用,
所以高中基本上也沒教正常。
不過嘛,
其實只要高中數學有學好,
那麼這個方法應該是很容易懂。

開立方的動作跟開平方的動作大同小異,
我們使用同一個公式長這樣:

(10a+b)^3
=1000a^3 + 300 ba^2 + 30ab^2 + b^3
=1000a^3 + b(300a^2 + 30ab+b^2)

也就是說,
跟直式開平方法十分類似,
可以先參考這篇來理解什麼是直式開平方法。
只是,
我們的分位從一次抓2位變成一次抓3位這樣。

OK我們直接做例題:
求237167490的立方根:

       6        
  6 ∛237 167 490
     216    
      21 167

第一步十分簡單,
就是將數字從小數點開始三位一個間隔分開。
接著,
尋找a值。
a必須是1位數且立方後最大卻不超過第一項。
這個例題的第一項是237,
6的三次方是216,
因此a=6很容易就能找出來。

接著下一步是關鍵。
我們要找出一個b值。
根據公式,
上面是10a+b,
所以上面只要把b補在6後面即可;
麻煩的是左邊數字,
左邊數字300a^2+30ab+b^2,
因為很複雜,
所以敝人會建議分開算:
300a^2=10800
30ab=180b
b^2=b^2
在這裡是跟開平方根很不一樣的點是,
20a+b的b係數一定是1所以很好寫,
但這裡300a^2+30ab+b^2的係數扯到了a跟b所以就不一定,
因此在這一步的表達會變得很複雜。
不過估根的方法很簡單,
就是只要看300a^2這一項就好。
以這個例子為例,
就算b你填9好了,
180b也才1680,
對於10800這個項而言簡直微乎其微,
可不是嗎?
所以我們剩下21167,
很直覺的就會估b=2。

         6   2    
    6 ∛237 167 490
       216    
        21 167
10800   21 600
  360      720
    4        8    

寫到這裡發現一個問題:
雖然180b影響微乎其微,
但就是差那一丟丟發現我們減不了積,
因此沒辦法,
我們這裡只好擦掉重來改填1:

         6   1    
    6 ∛237 167 490
       216    
        21 167
10800   10 800
  180      180
    1        1    
10981   10 186 490

這邊算是一個小技巧,
左邊數字如果加起來發現比減積後剩餘的數字大(10981>10186),
就說明這個b值找對了。

好了,
到此第二部就做完了,
但真正的地獄才要開始而已。

現在我們的a值是61了,
所以呢?
300a^2=1116300
大約112萬左右,
估9就破千萬了風險很高,
所以這裡保守一點估8應該是可以的:

         6   1   8
    6 ∛237 167 490
       216    
        21 167
10800   10 800
  180      180
    1        1    
10981   10 186 490
1116300  8 930 400
  14640    117 120
     64        512
1131004  1 138 458

到目前為止,
整數部份已經確定完畢了。
接下來要繼續算的話,
必然的要把小數點給放下來:

         6   1   8.   
    6 ∛237 167 490.000
       216    
        21 167
10800   10 800
  180      180
    1        1    
10981   10 186 490
1116300  8 930 400
  14640    117 120
     64        512    
1131004  1 138 458.000

現在我們的a值是618了,
這個如果手邊沒有計算機的話,
也只能在旁邊另外用手算了。
就算你有計算機,
但如果不是工程型的,
那遺憾的很你還是開不了立方根,
所以這招還是有用的:
此時,
300a^2=114577200
大約1.1億,
而現在剩下來的數字是11億,
按照剛才的經驗,
這數字大概不是8就是9。
這邊的關鍵在於,
上一次的左邊數字是113萬,
而殘數也是113萬甚至還比左邊數字大,
只是填9的話還真的會不夠減,
所以這種只差一丟丟的情況,
基本上直接猜9,
這是經驗談。
所以:

          6   1   8.  9
     6 ∛237 167 490.000
        216    
         21 167
10800    10 800
  180       180
    1         1    
10981    10 186 490
1116300   8 930 400
  14640     117 120
     64         512    
1131004   1 138 458.000
114577200 1 031 194.800
   166860     1 501.740
       81           729
114744141   105 761.731

現在已經找出4位有效數字了,
原則上就算是工程使用大概也足夠了。
然後現在左邊數字是1.1億而餘數也有1.05億,
因此下一位大概也是8~9沒跑,
所以如果要小數點第二位四捨五入的話,
那就會進位到619.0了。

實際按計算機的結果:∛217167490=618.9920
因此我們以這種方式來手算開立方根算是相當準確的了,
不對,
在不算錯的前提下,
位數基本上一定是準的只是取幾位的問題而已。
因為過程中需要不斷的對a值找平方,
因此計算量遠比開平方根還要大上不只一個檔次,
也因此計算機幾乎可以說是必須的。
這個方法原則上是在你手邊沒有工程計算機的時候用的。
不過雖然工程計算機貴貴的可能真的還沒有,
但手機應用程式有免費的可以下載呀OTZ

例題數字是敝人龍族拼圖ID,
幾百年沒登入了OTZ

封面圖片:桌上遊戲《海洋女僕咖啡廳》甜點擔當女僕:嘉奈特
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