這裡亞夜，
今天來講三角函數的導數。
依照導數的定義，
那我們就能依樣畫葫蘆：
看起來很簡單，
可是 sin(x+dx) 是多少呢？
這很頭痛對吧？
嘛，
既然提到三角函數，
那最簡單的解法就是：畫圖。
如上圖所示，
我們以 O 為圓心，
畫一個半徑為 r 的圓。
過 B 點做一條垂直線垂直 OA 於 A 點，
這樣我們依照正弦函數的定義，
BA 的長度是 rsin(x)。
因為 sin(x) 的定義就是 BA 除以 BO，
當中 BO 的長度是 r，
這只是簡單的移項而已。
現在我們把角度 x 多加一點點 dx，
那麼很明顯的，
B'A' 的長度就是 rsin(x+dx)。
因此我們只要找出右上角那個三角形的股長，
就能求出 rsin(x+dx)-rsin(x) 了。
首先先找斜邊 BB' 的長度。
三角形 OBB' 是一個等腰三角形對吧？
兩腰都是半徑 r 所以沒問題對吧？
因此內角和為 180 度。
也就是說，
dx + 2 個的底角 = 180 度。
我們令底角是 a 好了，
得到 dx + 2a = 180，
因此：
換句話說，
底邊 BB' 的長度，
就會是 rsin(dx)。
問題來了，
sin(dx) 又是多少？
這裡需要用到一個三角函數的極限：
證明：
如上圖，
以 O 為圓心，
r 為半徑做圓，
則 AH 長度為 rtan(x)，
A'B' 長度為 sin(x)。
從圖上可知，
三角形 OAH 面積＞扇形 OAB' 面積＞三角形 OA'B'，
因此得到不等式：
化簡一下：
同除以 sin(x) ：
取倒數：
取極限：
依照夾擠定理，
一個比你小的函數極限值是 1，
一個比你大的函數極限值也是 1，
因此你的極限值必然介於 1 與 1 之間也就是 1。
得到當 x→0 時，
sin(x)=x 的結論以後，
我們就能確定 rsin(dx)=rdx。
接著看右上角的那個小三角形，
角 B'BH + 角 B'BO + 角 OBA = 180 度，
而角 B'BO 是直角，
所以角 B'BH + 角 OBA = 90 度，
因此可以確定角 B'BH 為 x。
所以 BH 自然就是 rdxcos(x)。
換句話說，
rsin(x+dx)-rsin(x)=rdxcos(x)，
約分除以 r 後得到：
sin(x+dx)-sin(x)=dxcos(x)，
帶回原定義求解：
因此結論就是，
sin(x) 的導函數是 cos(x)。
同樣的，
我們現在要先設法找出 cos(x+dx)。
同樣的圖形，
我們這次換關心橫的這邊。
OA 長度是 rcos(x)，
而 A'A 的長度是 rdxsin(x)，
因此 OA' 的長度就是 rcos(x)-rdxsin(x)。
因此找到了 rcos(x+dx)=rcos(x)-rdxsin(x)。
→cos(x+dx)=cos(x)-dxsin(x)
於是 cos(x+dx)-cos(x)=-dxsin(x)。
這也合理，
因為 cos 在第一象限是遞減函數，
因此變化率是負數也完全合乎邏輯。
帶回原式，
因此結論，
cos(x) 的導函數是 -sin(x)。
正弦函數與餘弦函數的導函數都還算好求，
正切函數就稍微比較給他複雜一點點，
然而萬變不離其宗，
只是我們要稍微改變一下做法。
一樣先列出式子：
所以重點一樣是在找出 tan(x+dx) 上。
這裡做一點點小改變，
我們不要把三角形的斜邊當 r，
而改以底邊當 r，
這是因為正切函數的定義是對邊除以底邊，
這樣對邊的長度就會是 rtan(x)。
那現在我們要來找斜邊長了，
依照三角函數的定義，
cos(x) = r 除以斜邊，
所以斜邊長就是 r 除以 cos(x)。
cos(x) 的倒數是什麼？
不就是 sec(x) 嗎？
所以斜邊長度是 rsec(x)。
換句話說，
我們再畫一個大圓，
讓大圓的半徑是 rsec(x)，
然後我們延長 OB' 到 H，
這時我們從圖上就能看到，
AH 的長度就是 rtan(x+dx)。
現在我們知道 rtan(x+dx) 是 AH，
也知道 rtan(x) 是 AB，
那麼 rtan(x+dx)-rtan(x) 自然就是 AH-AB=BH 了。
由於三角形 OBB' 是等腰三角形，
所以角 OB'B 等於角 OBB'，
又因為角 OB'B 加角 OBB' 加 dx 等於 180 度，
因此當 dx→0 時角 OB'B 為直角。
而等腰三角形 OBB' 的底邊長為半徑乘以 dx，
但大圓的半徑不是 r 而是 rsec(x)，
所以底邊 BB' 的長度為 rsec(x)dx。
又角 B'BH 為 x，
因此 BH 的長度為 BB' 乘上 sec(x)，
換句話說 BH 的長度為rsec平方(x)dx。
因此結論，
tan(x) 的導函數是 cos平方(x)分之1，
或者說是 sec平方(x)。
事實上，
因為在性質上 tan(x)=sin(x) 除以 cos(x)，
因此我們可以利用函數的除法來求導數。
導數性質：
這裡帶入 f(x)=sin(x)、g(x)=cos(x)，
那就會得到：
所以其餘的三角函數，
我們也可以利用這個性質來求。
餘切函數 cot(x)：
令 f(x)=1、g(x)=tan(x)，
則：
當然，
令 f(x)=cos(x)、g(x)=sin(x) 也能得到相同結果：
正割函數 sec(x)：
令 f(x)=1、g(x)=cos(x)，
則：
餘割函數 csc(x)：
令 f(x)=1、g(x)=sin(x)，
則：
簡單記法：
正函數不帶負號、
餘函數都帶負號。
弦函數互為導數，
切函數導數為割函數平方，
割函數導數要乘上切函數。
所以：
正弦函數：正不帶負號，換成餘函數
sin(x) 微分為 cos(x)。
餘弦函數：餘帶負號，換成正函數
cos(x) 微分變 -sin(x)
正切函數：正不帶負號，正割函數平方
tan(x) 微分變成 sec 平方 (x)
餘切函數：餘帶負號，餘割函數平方
cot(x) 微分變成 -csc 平方 (x)
正割函數：正不帶負號，乘上正切
sec(x) 微分變成 tan(x)sec(x)
餘割函數：餘帶負號，乘上餘切
csc(x) 微分變成 -cot(x)csc(x)
封面圖片：AI生成的粗因米菇
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