上回提到橢圓面積，
發現漏講了橢圓的標準式。
橢圓的標準式長這個樣子：
如果 a=b=r，
那這不就是一個正圓嗎？
那這個方程式就會長成這樣：
其實很好理解。
如果原點是圓心，
那麼圓上的每一個點到圓心的距離都等於半徑 r，
這是圓的標準定義。
透過畢氏定理，
特定座標點 (x,y) 到圓點的距離，
就是 x 座標平方加上 y 座標平方後開根號，
而這個長度正好就是半徑 r，
因此很容易可以連想到這個式子。
但是橢圓呢？
其實上回有提到，
橢圓的參數式為：
x = a cos(t)
y = b sin(t)
我們將第一個式子等號兩邊都除以 a，
將第二個式子等號兩邊都除以 b，
接著平方鄉加就會得到這個方程式：
很容易就能找到橢圓的標準式。
如果不透過參數式，
而是透過橢圓的直接定義：「橢圓上任意點到兩焦點的合計距離為常數（等於長軸長度）」也可以證明，
不過這就稍微有點複雜。
橢圓的焦點一定在長軸上而且對稱，
所以我們就令焦點的座標為 (-c,0) 與 (c,0)。
於是利用 (x,y) 到 (-c,0) 與 (c,0) 的長度合計可以得到這個方程式：
（2a = 長軸長度）
移項：
兩邊平方：
拆開括號化簡，
x、y、c 的平方項會消除掉，
接著把兩邊的 cx 項合併，
就能把 4 也約掉。
移項再平方：
乘開化簡：
把整個等號右邊除過來：
這時已經頗具雛型了對吧。
可是這裡並沒有出現 b 啊！
沒關係，
把 (0,b) 這個點帶入，
就這個點來說，
他與兩焦點的距離正好相等，
所以會得到這個方程式：
整理一下得到：
將結論帶進去就得到了標準式：
而上回的證明也提到了三角函數的恆等式，
因此這裡就順便說明一下：
這個簡單到不行了。
一個具有角 t 的直角三角形，
令斜邊為 c、對邊為 a 、鄰邊為 b，
是不是可以得到這個結論：
那麼：
這不就出來了嗎？
和角公式：
看上面這個幾何圖形，
看三角形 ACD
令 AD=r，
那 CD 就等於 r sin(y)；
CA 就等於 r cos(y)。
看三角形 ABC，
CA 為 r cos(y)，
那 BC 就等於 r cos(y) sin(x)；
BA 就等於 r cos(y) cos(x)。
再看三角形 CDE，
CD 為 r sin(y)，
那 ED 就等於 r sin(y) sin(x)；
EC 就等於 r sin(y) cos(x)。
角 ECD 正好為 x 應該看圖解都能推算出來才對。
（∵角 ACD 為直角）
有了這些關係長度以後，
sin(x+y) 不就出來了嗎？
它等於 BE 除以 r，
而 BE 又等於 BC+CE，
所以得到：
sin(x+y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)。
口訣：「殺加 等於 殺摳 加 摳殺」。
同樣的。
cos(x+y) 也出來了嘛！
它等於 FD 除以 r。
而 FD 等於 AB-DE，
注意這裡是減號，
所以得到：
cos(x+y) = cos(x) cos(y) - sin(x) sin(y)。
口訣：「摳加 等於 摳摳 減 殺殺」。
然後 tan(x+y) 其實也出來了，
它就是 sin(x+y) 除以 cos(x+y)，
只是稍微複雜一點需要運算，
但也還好：
看起來很亂，
把分子分母都分別除以 cos(x)cos(y)：
約分化簡：
這樣就好了。
差角公式：
差角公式其實就是和角公式的一個特例。
你把 y 變成 -y 不就好了嗎？
因為 sin 是奇函數，
所以 sin(-y)=-sin(y)；
而 cos 式偶函數，
所以 cos(-y)=cos(y)。
我們利用這個結論帶進去就好：
sin 的差角跟和角一樣，
只是加號改減號。
口訣：「殺減 等於 殺摳 減 摳殺」。
cos 的差角公式也一樣，
但是減號改加號。
口訣：「摳減 等於 摳摳 加 殺殺」。
因為奇函數除以偶函數仍是奇函數，
所以 tan 是奇函數，
也就是說 tan(-y)=-tan(y)，
所以：
倍角公式：
知道了和角公式，
那倍角公式不就是當 x=y 時的和角公式嗎？
因此：
口訣：「殺２＝２殺摳」
同樣的：
口訣：「摳２＝摳平方－殺平方」
不過這個公式雖然漂亮好記，
但卻不好用。
帶入 sin、cos 的平方和等於 1 進去運算，
我們會得到更好用的公式：
以及：
這個為什麼好用呢？
因為積分時會用到。
sin、cos 的平方要積分直接積不好積，
把它化成 cos(2x) 來積分不就很簡單嗎？
也就是說，
上述兩式更好的寫法是：
tan 的倍角公式就還好，
不過依樣畫葫蘆：
化簡一下：
不過這個就比較沒那麼好用，
通常會把 tan 改成 sin 與 cos 的形式來做會比較多。
半角公式：
半角公式是從倍角公式推導出來的。
前面提到：
那麼在已知 cos(2x) 的情況下，
經過移項，
反過來也能求出半角的 sin(x)、cos(x) 的數值。
半角公式需要開平方根，
所以該取正還取負具體得根據 x 的大小去做判斷才行。
同樣的也需要開平方根，
因此正負號一樣要根據 x 的大小去取值。
三倍角公式：
三倍角公式就比較有點無聊一些，
因為萬變不離其宗。
帶入和角公式：
看得出來，
這個公式非常硬湊，
而且不好記。
同樣的：
這個稍微好記一點：
口訣：「摳三 等於 四摳三 減 三摳」。
（台語：一塊三 等於 四塊三 扣掉 三塊）。
【後記】
別看亞夜這幾個禮拜推三角函數推得信手拈來，
其實除了最基本的那幾個以外亞夜通通沒有背，
因為真的難背得要死。
亞夜有一本筆記本將這些結論抄起來，
就像查表一樣方便隨時查閱，
但是考試的時候如果不是翻書考就沒輒，
亞夜考大學時數學 14 級分肯定就是敗在公式沒有背（並沒有
封面圖片：AI生成
本篇使用的方程式編輯素材來自：LaTeX公式編輯器
