自同構:自己到自己的同構函數稱為自同構。蒐集一個群G上的所有自同構，記為Aut(G)
內自同構:對於一個群(G,+)內的元素a，給他指派一個函數a*，這個函數定義為a*(x)=a+x-a(如果是乘法群就寫作axa^(-1))，這個函數是一個自同構，因為對任何b，a*(-a+b+a)=b，所以是滿射，又如果c不等於d，a*(c)和a*(d)也不會相等，因此是對射；保持群結構這也是顯然正確的。蒐集所有這種函數，記為Inn(G)
定理:Inn(G)和Aut(G)在合成作用下是群。
定理:Aut(Z_n)同構於U(n)
這裡提醒，Z_n是n階循環群，它的群作用是加法，單位元是[0]；U(n)則是乘法群，單位元是[1]。
證明:對於所有Aut(Z_n)內的函數a*，映射T把a*對到a*([1])，這個[1]是Z_n內的單位元。將要證明T是一個同構。
1)單射:設T(a*)=a*([1])=T(b*)=b*([1])，由於Z_n是由[1]生成的循環群，因此對於任何Z_n的元素[k]都是[1]自己作用某個整數k次(某種意義上就是k倍的意思)，因此a*([k])=a*(k[1])=ka*([1])=kb*([1])=b*([k])，這顯示如果有兩個同構在[1]上的取值相同，則在整個群上的取值都相同，也就是他們是相同的函數，也就是a*=b*，單射確認。
2)滿射:對於所有U(n)的元素[u]，定義一個Z_n上的映射u*([x])=[ux]，這裡ux的意思是整數u乘整數x，可以發現u*([1])=[u]，但須要證明u*是自同構(屬於Aut(Z_n))。
a)單射:假設u*([x])=u*([y])，則有[ux]=[uy]，也就是ux和uy同餘(mod n)，又u和n互質(U(n)內元素的特性)，所以x同餘y，也就是[x]=[y]。
b)滿射:我們需要證明「對於所以Z_n內的元素[y]，總是存在[x]使得u*([x])=[ux]=[y]」，這裡我們引用一個離散數學的小引理「整數a在mod m之下有乘法反元素當且僅當a和m互質」，那麼由於u和n互質，所以存在整數u'使得uu'同餘1，因此對任何y都有uu'y同餘y，也就是u*([u'y])=[uu'y]=[y]，每個Z_n內的元素[y]，都有Z_n內的元素[u'y]使得u*([x])=[y]。對射確認。
c)結構保持:u*([x]+[y])=u*([x+y])=[ux+uy]=[ux]+[uy]，同構確認。
綜合以上三小點確定u*是Aut(Z_n)內的函數，因此每個U(n)內的元素[u]都有T(u*)=[u]。至此，確認T是對射。
3)結構保持:T(a*b*)=(a*b*)([1])=a*(b*([1]))，可以把b*([1])看成是Z_n內的元素，並把他拆成數個[1]的和，因此a*(b*([1]))=a*([1]+[1]+...+[1])(a*內有b*([1])個[1])，根據同構的性質a*([1]+[1]+...+[1])=a*([1])+a*([1])+...+a*([1])=a*([1])b*([1])=T(a*)T(b*)，至此，確認T是同構。
以上三大點證明了Aut(Z_n)同構於U(n)。
達人
