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一個習題:兩個理想相加還是理想

你有沒有嘗試過登出? | 2021-05-05 00:54:00 | 巴幣 0 | 人氣 18

令A、B是某環(R,+,*)內的兩個理想,證明A+B還是理想。

首先證明A+B是(R,+)的子群。
封閉性:令r跟r'是A+B內的元素,則r=a+b、r'=a'+b',因此r+r'=a+a'+b+b'。由於a+a'根據A的封閉性依然位於A內,b+b'也是,因此r+r'位於A+B內。
結合律:不多說了r+(r'+r'')=a+b+(a'+b'+a''+b'')=(a+b+a'+b')+a''+b''=(r+r')+r''
單位元:單位元是0,而且0+r=0+0+a+b=a+b+0+0=r+0
反元素:r=a+b的反元素是-a+(-b)
根據以上可知A+B是群。

接下來驗證理想的要求。A+B內的任何元素r都可以表示成某個A內的元素a加上B內的元素b,也就是r=a+b
現在令x是R內隨意元素,則有xr=xa+xb以及rx=ax+bx,由於xa、ax根據理想A的定義,必須位於A內,又xb、bx根據理想B的定義,必須位於B內,因此rx跟xr都位在A+B內。

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