令G是一個群。我們可以考慮G上的「所有對射函數」所形成的集合，稍後將證明這個集合在合成作用下是一個群，稱為G的對稱群。
封閉:令f跟g是兩個G上的對射，則兩個函數合成之後f(g)=f*g也還是G上的對射。
結合:令f、g跟h是G上的對射，則f*(g*h)=f(g(h))=(f*g)*h。
單位元:單位映射是單位元。
反元素:任何對射函數，取他的反函數(由於是對射，總是會有反函數)即是反元素。
以上四點恰好說明了G上的「所有對射函數」所形成的集合是一個群，記為Sym(G)。
凱萊定理:任何群G都跟他的對稱群的某個子群同構。
證明:給定一個群(G,+)，針對G內的每一個元素a，我們給他指派一個G上的函數a*，定義為
a*(x)=a+x
顯然這個函數是一個對射，因此會是Sym(G)內的一個元素。令K={a*|a屬於G且對於所有G內的x，a*(x)=a+x}。接下來確認這種指派方式(如果把它看成函數)保持了G上的群作用，對於所有G內的元素a跟b，a*(b*(x))=a*(b+x)=a+b+x=(a+b)*(x)。最後確認這種指派方式是對射，兩個不一樣的東西會被指派到不一樣的函數，而每一個這樣的函數都有被指派到，這細節實在是太簡單了所以我們留給讀者當作練習(The proof is trivial and left as an exercise to the reader)，就此證畢。
這個定理的意義在於，只要給出一個手段清楚地描述對稱群內的元素，我們就相當於給出了原本群的一種表示方式，所以如果我們的描述方式適用於非常多種對稱群，我們就相當於找到一種好方法來描述相當多種群結構。
達人
