令H是群G內的子集，a、b是G內的元素。aH定義為集合{ah|h屬於H}，同理Ha、aHa^(-1)。
如果H是G內的子群，aH稱為H的在G中的一個左陪集，Ha稱為H在G中的一個右陪集。
例:
整數集配上加法(Z,+)是一個群，所有三的倍數(包括負數倍)是它的一個子群，記為3Z。
他的其中一個左陪集是1+3Z={..., -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13,...}，另外一個左陪集是2+3Z={..., -4, -1, 2, 5, 8, 11, 14,...}，3Z總共只有三個不同的左陪集。
引理:令H是G內的子群，a、b是隨意兩個在G內的元素，則
1，a會在aH內。
2，aH=H當且僅當a在H內。
3，(ab)H=a(bH)，H(ab)=(Ha)b。
4，aH=bH當且僅當a在bH內。
5，兩個左陪集不是完全相等就是沒有交集。
6，aH=bH當且僅當a^(-1)b在H內。
7，隨意兩個陪集的元素數量(或勢)相等。
8，aH=Ha當且僅當H=aHa^(-1)。
9，aH是一個G內的子群當且僅當aH=H。
證明:
1，由於H是子群，他會包含單位元e，所以a=ae，在aH內。
2，首先假設aH=H，根據1推得a在H內。再來假設a再H內，由於H是子群，由子群的封閉性可知aH一定包含在H內，又H內的任意元素h都可以寫成a(a^(-1)h)，而a^(-1)h根據a在H內以及H是子群可知會在H內，因此H包含於aH；由於H和aH互相包含，因此兩者相等。
3，由G的結合性得證。
4，如果aH=bH，根據1，a會在bH內；反過來說，如果a在bH內，那會有某個H內的元素h使得a=bh，因此aH=(bh)H=b(hH)，根據2，hH=H，得到aH=bH。
5，假設aH跟bH交集非空，則存在H內的元素h跟k使得ah=bk，由於H是子群，h的反元素h^(-1)也在H內，因此aH=bkh^(-1)H=bH。
6，假設aH=bH，等價地有H=a^(-1)bH，根據2，a^(-1)b在H內，反之亦然。
7，把每個aH內的元素ah對應到bH內的元素bh，顯然這是一個一一對應關係，因此兩者的元素數量一樣。
8，aH=Ha當且僅當(aH)a^(-1)=(Ha)a^(-1)=H(aa^(-1))=H。
9，假設aH是一個子群，那麼他會包含單位元e，因此aH跟eH=H交集非空，根據5，aH=H。
例:
令H={[1]，[15]}，他是乘法群U(16)={[1], [3], [5], [7], [9], [11], [13], [15]}內的子群，我們想要找出他所有的陪集，做法是首先找一個不在H內的元素，例如[3]，然後計算[3]*H={[3], [13]}，接下來找不在H和[3]*H內的元素，例如[5]，然後計算[5]*={[5], [11]}，繼續下去之後找到[7]*H={[7], [9]}，到此為止；由於所有U(16)的元素都已經出現在某個陪集內了，所以接下來H的任何陪集都會是前四個陪集內的其中一個。
拉格朗日定理:
令H是有限群G內的子群，則|H|會整除|G|，而且|G|/|H|就會剛好是H的所有相異陪集的數量。
證明:假設H總共有r個陪集，根據前面引理1，任何G內的元素a都會剛好在aH這個陪集內，而aH一定是前面r個陪集中的其中一個，所以集合G等於前面r個陪集的聯集，又每個陪集的元素數量都相等(注意到H本身也是H的一個陪集)，所以G的元素個數就是H的r倍。
推論:如果有某個群G的元素個數是質數，那麼G是循環群。
證明:設|G|是質數，a是G內某個不是單位元的元素，則由a生成的群(元素是由a自己作用數次)會是G內的子群，根據拉格朗日定理這個群的數量不是|G|就是1，由於a不是單位元，所以a生成的子群的元素數量就剛好等於|G|，因此G可以由a生成，因此G是循環群。
例:交錯群A_4有12個元素，但他沒有6個元素的子群。
達人
