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【認真】更加精細地補一點代數知識

你有沒有嘗試過登出? | 2021-05-05 00:20:11 | 巴幣 0 | 人氣 38

也許我真得該先看一本代數的專書再繼續代數幾何的部分。

一個環(R,+,*)是滿足如下公理的集合(通常稱「+」為「加法」;「*」為「乘法」):
(r0)乘法跟加法封閉(不過如果你下面七個公理用數學式子寫的話其實已經足夠蘊含封閉性了)
(r1)加法有交換率
(r2)加法有結合率
(r3)加法有單位元(除非特別說,不然通常寫成0)
(r4)加法有反元素(有減法的意思)
上述四公理可以化簡成一句「(R,+)是交換群(實際上群的定義就是(r2)+(r3)+(r4))」
(r5)乘法有結合率
(r6)乘法跟加法有分配率
(r7)乘法有單位元(除非特別說,不然通常寫成1)
符合以上七個公理的集合(搭配上那兩個運算)稱為環。
(r8)乘法有交換率
一個環,如果它還滿足(r8),就稱為交換環,我想我會把焦點放在這。

整數、有理數、實數、複數都是交換環。自然數連群都不是,就別提了。

有一個小小的討論,如果乘法單位元等於加法單位元會怎樣?答案是,這種環內如果有任何元素a那麼a就會自動等於0,也就是這個環內就只有0,沒有其他東西了。

可以在環上討論多項式的概念,一個東西的N次方就是那個東西自乘N次,它可以加、乘其他環內的元素,就跟平常一樣。設(R,+,*)是個環,R[x]代表以R為係數的一元(單變數)多項式,它是一個環;R[x,y]代表以R為係數的二元(多變數)多項式,它也是一個環;以此類推可以在R上討論n元多項式,也都會是環。

一個環(R,+,*)內的子集X稱為子環如果(X,+,*)是環。

R可以看成是R[x]的子環,如果你把R內的元素看成是常數多項式。

高於一元的多項式還可以有一種神奇的定義方式,例如R[x,y]可以定義成在R[x]上的一元多項是R[x][y],也就是以多項式為係數的一元多項式。

兩個環R、S之間的同態是一個從R到S的函數H,滿足H(a+b)=H(a)+H(b)、H(a*b)=H(a)*H(b),等號兩邊的加法、乘法分別是R跟S自身的加法和乘法,也就是說這個函數保持了環的結構,也就是說S內有一部份跟R有點類似。就像一個宅宅內心有對他老婆們的思念一樣。

如果兩個環之間存在同態,就稱這兩個環「同態(形容詞)」。

固定一個R內的元素r,你會得到一個從R[x]到R的同態,其同態函數把多項式p映射到p(r)。

R到R[x]也有同態,就是把R內的元素a應射到R[x]內的常數多項式a。

在整個實數軸上連續的函數所成的集合L是一個環(配上尋常的逐點加法跟逐點乘法),實係數多項式環跟L之間有一個同態,就是把實係數多項式環內的多項式送到L內的同一個多項式。

對於任意的環R,整數Z跟R之間只有剛好一個(從Z到R的)同態,這個同態H的定義是:
如果n大於零,H把n映射到R的乘法單位元自加n次的結果。
如果n小於零,H(n)=-H(-n)。

一個同態是同構如果它是雙射(一一對應)。

如果兩個環之間存在同構,就稱這兩個環「同構(形容詞)」。

R[x,y]跟R[x][y]同構(如果你嘗試區分他們的話)。

同構就是說這兩個環根本就是同一個,只是裡面的元素長相不一樣而已。請記住代數永遠只關心結構,不關心長相。這就是為什麼我喜歡代數,就算你的外表再醜陋,代數也能看破一切,直達你內心的最深處,與你對話。

令H是一個R到S的同態,H的核是一個R的子集,使得H在其上的取值全部都是0(S內的加法單位元)。它寫作ker(H);一個同態的像是一個S的子集,就是蒐集所有H可能的取值,寫作Im(H)。

如果H是一個從R到S的同態,而且ker(H)=R,那麼H就是0函數。

今天如果有一個交換環(R,+,*)還滿足
(f1)(R\{0},*)是群,也就是乘法有反元素(除了0),而且乘法單位元不等於加法單位元。
那麼這個交換環稱為體。

如果一個體上的任何多項式都有根,那麼稱這個體是代數閉體、或代數封閉。

一個環(R,+,*)內的理想I是一個(R,+)的子群,使得對於所有I內的元素r以及任意R的元素a,r*a和a*r均位於I內。這個東西在環論的定位(似乎)相當於正規子群在群論的定位。

給定一個整數n,n的所有整數倍所成的集合是整數Z內的一個理想;而且,如果整數Z內有某個理想,那這個理想內的元素一定都是某個整數n的倍數。所以我們可以用nZ來代表Z內的理想,其內的元素就是每個整數乘上n。

任何同態的核都是一個理想。

理想內的元素的線性組合還會在理想內。

令C是複數環,C[x]是複係數多項式集合,C[x]有一個到C的同態H,定義為H(p)=p(2)。你可以發現ker(H)剛好就是所有以2為根的多項式,是個理想。

一個環R內的元素a,把R內的元素全部乘上a,總是會得到一個理想,這種理想稱為主理想,有時候寫作〔a〕,但是我打字不好打,所以可能不常用。

上面對整數Z的性質理解可知,Z內只有主理想。

如果環R內的所有理想都是主理想,則稱R是主理想環。

這裡有個定理:如果R是體,那麼R[x]是主理想環。
考慮複數環C,由於C同時也是體,所以任何單變數複係數多項式環C[x]內的理想,一定都是某個多項式的主理想。

1的主理想稱為單位理想,0的主理想稱為零理想。

這裡有個關於判斷環是否是體的定理:一個環是體的充分必要條件是這個環內只有剛好兩個理想。事實上剛好就是只有單位理想根零理想而已。

令I是一個環R內的理想,這個理想I的陪集是一種集合,集核內的每個元素剛好就是I內的元素加上某個固定的R內的元素a,你可以寫作a+I,這裡的「+」是環R內的加法。

例如,三的倍數的集合3Z是一個整數Z內的理想,你可以把所有3Z內的元素,加0,你會得到一個3Z的陪集:3Z自身。當然你也可以把整個3Z加1,得到所有同於1的整數(4,7,10,13,16,...),它也是一個3Z的陪集,你多做幾次會發現3Z實際上只有三個陪集:3Z、3Z+1、3Z+2,如果你嘗試把3Z加上其他數字,那最終結果就是它會是前面三個陪集的其中一個。

R內的一個理想I的陪集可以有很多個,我們把它們蒐集起來然後記做R/I。也就是說R/I是一個集合,集和內的元素是I的所有陪集。事實上,它在配合特殊定義的加法以及乘法後可以變成一個環。

給定一個環(R,+,*)內的理想I,我們定義R/I的兩個二元運算「加」跟「乘」:
(a+I)加(b+I)=a+b+I;(a+I)乘(b+I)=a*b+I
則(R/I,加,乘)是一個環,稱為R對I的商環,或就簡稱商環。

R跟R/I之間有一個很明顯的同態:h(a)=a+I,稱為標準同態,在這篇文內h都代表標準同態。

這裡有一個恐怕是這篇文章最重要的定理:令H是一個環R到環S的同態,I是一個包含ker(H)的理想,則
(a)存在唯一的一個從R/I到S的同態F滿足F(h)=H。這句話強調了這種同態F的唯一性。
(b)R/ker(H)同構於Im(H)。這也稱第一同構定理。

參考:Artin Algebra、Cohn An Introduction to Ring Theory、Fulton Algebraic Curve、各種維基百科

創作回應

萱弟
大佬....
2021-05-05 01:38:17

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