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99 GP

驚人的總和:1+2+3+4+5+…+∞=?

作者:翼は夢、そして空へ│2014-05-12 14:51:22│贊助:214│人氣:24199
由1加到10=55、由1加到100=5050、由1加到1000=500500,那麼由1加到∞會是多少呢?答案會是無限大嗎?




善意提醒:
  1. 本文是關於數學的文章,對數學有恐懼者建議直接按「」退出XD
  2. 本文的排版在手機板可能會大亂,建議在PC瀏覽氣上閱讀

昨天在youtube上看了一隻關於數學的有趣影片:驚人的總和,內容主要是討論由1開始,依序將整數往上相加,直至無限大(∞)為止,最終會得到什麼答案!


由1加到無限大,答案難道不是無限大嗎?


原本個人也是這麼思考的,不過看完這隻影片,個人瞬間明白為何它的標題要取名為「驚人的總和」了,因為最後的答案和自己想的竟然天差地遠,然而中間的計算邏輯卻又有其道理。

影片中採用了相當簡單且快速的證明方式,而且僅需要高中程度的數學能力即可充分理解證明的推演過程,在此分享給各位。

總之,請各位先看看下頭的影片吧(請開字幕):

▲ 驚人的總和(內含中文字幕)

影片中負責進行推演的學者 Tony Padilla(以下簡稱:Tony)是英國諾丁漢大學的副教授,他一開始就開宗明義地告訴大家:「答案是-1/12!


▲ 嗯?教科書上確實是這麼寫的!


相信很多人聽到他這麼說,心裡一定大喊:「這怎麼可能?」吧!

由1加總到無限大,明明每個數字都大於0,最後的結果卻是一個小於零的分數?這很顯然是不合理,也不符合科學的。然而Tony卻告訴觀眾,這個答案不但合理,甚至已經被寫入弦理論(String theory)的教科書內。

雖然證明此結果的正式方式應該要使用黎曼(Zeta)函數,但畢竟這是一隻科普影片,因此Tony故意採用了一個較不嚴謹,卻相對簡單易懂的方式來證明,希望讓觀眾都能輕鬆入門。


因此,影片的主要內容,就是透過簡單的數學推論,來導出問題的答案!


首先, Tony 假設了以下三個不同的數列(分別稱為12,以及):

1=1-1+1-1+1-1+…(持續至無窮項)

21-2+3-4+5-6+…(持續至無窮項)

2+3+4+5+6+…(持續至無窮項)

很顯然地,是我們所關心的問題,而另外兩個數列則是用來求解的過程中需要用到的工具,一旦能解開12便能迎刃而解。




那麼,就先來看看1吧!

1=1-1+1-1+1-1+…

很多人看到這個問題,直覺會認為答案應該是「0」,因為:

1=(1-1)+(1-1)(1-1)+…
   =( 0 )+( 0 )( 0 )+…
 
如果像上頭一樣把所有的-1全部用括弧分組,那麼每組括弧裡剛好可以正負相抵,最後1的答案是然而,我們也可以把括弧的位置調整一下,那麼1將可以寫成下頭的形式:

1=1+(-1+1)+(-11)(-11)
   =+(   )   )   )


咦!?原本答案應該是「」的計算式,瞬間變成了「」!


關於這個現象,Tony告訴我們:「關鍵是我們停在奇數位或是偶數位!」如果我們在偶數位停止加總,則1的答案會變成第一種情況();如果在奇數位停止加總,那麼1的答案會變成第二種情況()。


問題是,當我們打算加總到無窮項的時候,究竟該算是基數還是偶數呢?


Tony說:「不知道是奇數還是偶數,那就加起來取平均吧!所以答案是0.5


不知道這個說法?大家是否可以接受呢?



▲ 不知有多少人的心情是這種寫照呢?


因為不確定是0或是1,就取平均值當答案,這未免太隨便了!」相信有這種想法的人應該不少,不過如果10.5的結果不成立,那麼接下來的推演就無法繼續下去了!

事實上,要證明這個結果,除了用取平均的方式外,還有其他的方式喔(而且至少存在兩種以上的方法),以下再提供「 Tony 解法」外的第二解法。

另一種
1的解法如下:

首先,用1減去1

1-11-1-1+1-1+1-1+…
     -   1+1-1+1-1+1+
     1

 1
  10.5

上述的推演方法是原影片中提到的另一支影片所介紹的,個人覺得比 Tony 提到的平均計算方式更加有說服力(雖然結果其實是相同的)。除了這兩種方式外,也還存在其他證明方式,總之1=1/2應該是沒有太大疑問的。



接著我們來看2,這邊Tony採用了一個有點技巧性的解法:

首先,這是
2

21-2+3-4+5-6+…

那麼,這是兩倍的2,而Tony把第二個2 往後順延一格,即〔〕中的內容:

222
    1-2+3-4+5-6+…
          1-2+3-4+5-6+…

如果把兩列的縱向數字(標記成同色以方便比較)直接相加:

2S2=S2+S2
    =-2+3-4+5-6+…
          +〔-2+3-4+5-6+…〕
    =-1+1-1+1-1+1

看到「
1-1+1-1+1-1+1」,那不就是上頭出現過的1嗎?

於是乎:

2  =1-1+1-1+1-1+1
      1
      =1/2

→ 2  =1/4

透過一些小技巧,我們可以順利推求出
2  =1/4




最後,終於到關鍵的了,這次Tony一樣使用了小技巧,從「2」出發:

2    2+3+4+5+6+…
     
-〔1-2+3-4+5-6+…
    =     +0+8+0+12+…

減去2時,由於兩個數列的奇數項是一致的,相減後為0;偶數列的數字相等,但正負號相反,相減後變為兩倍,因此變成「4、8、12」以4逐漸增加的等差級數。在此,如果把提到外頭:

24〔  1+  2+   3+… 

咦,括弧中的「1+2+3+…」不就是自身嗎,然又2  =1/4,因此:

2

 3S=-S2-1/4
→  -1/12

→  2+3+4+5+6+…-1/12

就這麼簡單地,我們證明了由1開始逐漸向上累加,最後的結果為-1/12


如何?是否有點微妙的感覺呢?

認為不該是這個答案,卻又覺得上頭的推演方式沒啥問題嗎?


話說,依據Tony的方法,還有其他更高階的證明方式,只是該影片是科普走向,所以他才採取了用簡單的數學就能證明的方式進行解說!




由於個人對於近代物理的領域涉獵不深,大概也只能解說數學的部分了,至於影片中提到這個公式在許多地方都有派上用場,究竟是哪裡呢?


我也很想知道,希望之後能有其他的介紹影片啊!


引用網址:https://home.gamer.com.tw/TrackBack.php?sn=2438063
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留言共 59 篇留言

稱暱
我猜這篇人氣一定會很低 因為網友的普遍智商都.....

05-12 20:39

翼は夢、そして空へ
別這麼說,巴哈姆特臥虎藏龍的!05-12 21:06
幽人
這太猛啦 最近的數學也是搞這種集合的數學式子!!

05-12 20:44

翼は夢、そして空へ
雖然公式我也會列了,但總覺得還有某個環節沒有完全參透啊!05-12 21:12
湛藍傀儡
雖然聽不太懂,不過好像很厲害——等等我在說什麼啊www這我高中時才學過其基礎啊www

05-12 20:47

翼は夢、そして空へ
咦!05-12 21:10
桔梗麻雀™
這不用高中吧?..國中生數學程度正常應該都要聽的出來XD

05-12 20:52

翼は夢、そして空へ
印象中裡頭的一些技巧是高中數學才出現的05-12 21:07
沒有人
我覺得取平均很有問題啊,我再問問我微積分教授好了......

05-12 20:52

翼は夢、そして空へ
問問看啊,我也想聽聽看他的看法!05-12 21:07
射定之箭
這樣推導的確正確 但卻很難實際成立....不過數學本來就這麼奧妙@W@

05-12 20:56

翼は夢、そして空へ
總之就是奧妙啊!05-12 21:10
ゼヒおっさん
光看到數學算式就昏一半了,更甭提隱藏其中的秘密 [e8]

05-12 20:59

翼は夢、そして空へ
沒那麼困難啦XD05-12 21:10
軍火師
梯形公式外加微積分的計算概念‧‧‧[e17]

05-12 20:59

翼は夢、そして空へ
也可以用極限逼近的方式來證明喔!05-12 21:09
超巨型袋鼠人
有點先射箭再畫靶的味道...
話說回來,只要中間有任何環節是「我說了算」的理論,通常都是笑笑而已=v=

05-12 21:02

翼は夢、そして空へ
結果確實很難相信,偏偏這個公式是近代物理的公式,所以也不能隨便說它有問題...(抓頭)05-12 21:08
WaiTFF- (禁止課金Ver.)
先假設再求證w

05-12 21:06

翼は夢、そして空へ
不不,他只是預先告訴你答案,並非硬湊解答的XD05-12 21:13
蒔繪
這就是數學理論阿
高中的證明推導差不多就是這個程度

05-12 21:10

翼は夢、そして空へ
是啊,所以才說高中數學!05-12 21:13
香菇™
就嚴謹的數學角度來看的話,中間一些運算其實是有些爭議的
不過有的時候這種看似錯的東西可以用在其他特殊的地方(像是物理or經濟學)
只能說數學的奧妙啊[e8]

05-12 21:17

翼は夢、そして空へ
確實一些點有存在爭議,昨天和我弟就在討論這點...05-12 22:05
如果
這太帥了!!!!![e33]

05-12 21:17

翼は夢、そして空へ
神奇吧!05-12 22:05
★神來惹ღ~ 快拜!❤
1-S1=1-(1-1+1-1+1-1+…)
    =1- 1+1-1+1-1+1+…
    =S1

這到底是什麼東東?
好像少一段說明吧
這個(做法)(想法)好像用來證什麼的時候也用過

05-12 21:33

翼は夢、そして空へ
基本上就是算式字面的意思,因為原本的S1=1-1+1-1...(無窮項),所以1-S1會因為後頭的無窮項的緣故,又等於S1本身,然後將-S1移到等式的另一邊,就變成2S1=1,求得S1=1/205-12 21:38
ays.
重點是S1不會等於1/2,所以不成立啊
就像之前有證明1+1=0一樣,其實數學是有它嚴謹性在的,很多東西其實都忽略到了定義。
抱歉,認真了一下。

05-12 23:13

Feuer
感覺只是定義不夠嚴謹所得出的謬論
S1照高中數列裡教的 1-1+1-1+1... 是發散級數
不存在一個數可以去滿足
1/2說是平均 反而比較像是+1或-1在無窮項的機率
或許在物理學上能被認可

S2也是差不多的道裡
一個未知數沒被證明是否存在
後面拿去代入運算都是無效的

wiki一下發現有一些求和法能強迫計算發散級數
Cesàro summation
Abel summation
Ramanujan summation

但都是和我們一般求和法不同
是為了去定義"本來無意義"的發散級數的方法

05-12 23:31

翼は夢、そして空へ
你說的對,因為影片的解說員本身就是物理學家,所以相對於絕對的數學正確性,他們會更著重於數學理論在物理層面的應用性。

「1-1+1-1…」在數學上稱為「格蘭迪級數(Grandi's series)」,確實在基礎的數學理論上是沒有固定解的(在0-1間跳動),而1/2的解則是需要在特殊處理下才能求得。05-12 23:39
KASDGFS
講的出來是沒錯S1和S2沒有質疑
但S用在實物上,賺錢會賺到負債,那還得了?
如果是個數學題寫這個會答對沒錯

只是S只是單純的相加,沒有用到負的必要
跟吳敦義的三月八月道裡差不多

大概被前面s1和s2的公式的解出給誤導了

05-13 00:01

翼は夢、そして空へ
基本上S的結果是運用在近代物理,所以不能用一般的數學眼光來看待,雖然我至今仍不清楚他的物理運用。

至於錢越賺越多變負的確實有違常理,不過由數學的角度來說,即使賺再多錢,相較於∞而言都算趨近於0,不可能有加到無限大的時刻。再者,「物極必反、禍福相倚」,即便是縱橫商場數十年的巨型企業,也有可能說倒就倒,-1/12就當成是這般的哲理吧XD05-13 00:31
F.Freeze
原本想看看1-1+1那個的影片
看來看到^2我就關掉了XD

總之這是物理上的確證吧
在其他方面就不一定是用了

05-13 01:07

翼は夢、そして空へ
是啊!05-13 01:33
BIN(1up)
想起了工程數學

05-13 02:32

翼は夢、そして空へ
我的工數不好啊!05-13 08:44
鳳鳴
那些年的數學,為什麼逼我想起它,我不能接受啊。[e28]

05-13 03:19

翼は夢、そして空へ
數學很有趣,只是考試太僵化了,磨滅了台灣人對數學的興趣!05-13 08:45
cifer1345678
2s2那裡我看了第兩次
才瞭解為甚麼會變成:1-1+1-1......= =
大致上我還看得懂在講甚麼
不過我的疑問是
為甚麼要用到S1和S2方程式?
1加到無窮的證明有沒有其他版本?
雖然我是文組的(數學頗爛)
希望能有非常簡單的解釋方式

05-13 07:24

翼は夢、そして空へ
如果依照影片的說法,這個已經是相對簡單的證明方式了!05-13 08:43
えこ⊿
表示 我拿去問老師好了

05-13 07:52

翼は夢、そして空へ
等候結果^^05-13 08:44
亞格斯
我按新分頁不能退出壓~~~~[e28]

05-13 08:44

翼は夢、そして空へ
咦XD05-13 08:46
逆龍之謎癡
嗯....蠻有意思的~
看來可以跟老師好好討論一番了[e12]

05-13 22:10

翼は夢、そして空へ
[e35]05-13 22:23
小狼狗
很有趣的推論,難得在巴哈還可以在這方面活化腦袋,最後S-S2=4S→3S="-"S2=-1/4,幫你勘誤一下。

05-13 23:12

翼は夢、そして空へ
感謝,即刻更正!05-13 23:27
魔幻
我覺得是像悖論一樣...總有一些地方錯了
3個s都是去到無限, 未必可以完全引用另一個s的結果...
就像s1跟s2的無限不一定一樣 (?)

05-14 15:57

翼は夢、そして空へ
文中的技巧是在求解無限數列(或求解極限問題)時經常會用到的,或者該說不利用這種方式,無限數列就很難解出答案,只是能否接受他的邏輯又是另一回事。05-14 16:04
魔幻
就像第一年儲值一元, 之後每年儲值多一元
再n年後我的後後後後後後代發現...竟然負錢了!?

05-14 17:38

翼は夢、そして空へ
所以我前面才開玩笑說這好比家族財產多如天文數字,結果子孫過太爽最後拜光了還欠債XD05-14 17:52
大大麻糬
發散級數無法計算[e20]收斂級數才能
例:1+1/2+1/4+1/8.....=2

05-14 20:46

翼は夢、そして空へ
理論上是這樣沒錯,這也是本文有趣的地方05-14 21:09
有機茶葉owo
好奧妙阿~
因為懂了所以可以去考同學XD

05-14 21:07

翼は夢、そして空へ
拿來討論就好了,畢竟是有爭議的XD05-14 21:09
有機茶葉owo
反正他們都不會懂的,才國一嘛[e5]

05-14 21:13

翼は夢、そして空へ
好吧XD05-14 21:17
草莓龍♥
好喜歡這種推理的東西wwwww
每次看到都會感覺很神奇www (?

05-14 23:38

翼は夢、そして空へ
類似的科普影片網路上還不少說,很多都有翻成中文!05-14 23:54
蛋糕加布丁
程度不到高中看不懂OwQ

05-14 23:42

翼は夢、そして空へ
其實國中應該也看得懂,只是類似的證明方式在高中數學提的比較多,可能要比較用力思考。05-14 23:44
蛋糕加布丁
嗯嗯等差數列是有學過...不過我笨又懶得思考XD"
答案記一下就好了XD(誤

05-14 23:46

科科
以下不是針對樓主,而是在批評這個人對數學的不尊重

身為數學系的我根本覺得這證明是胡說八道
數學重要的是在define
我看了S1和S2根本連計算式都錯誤還敢算出來
首先先說S1
S1=1-1+1-1+1-1................
S1因為我們不知道他是0還是1,所以我們將他稱作發散,詳細wiki有,而且大學數學也會教
一個發散數列我們沒辦法知道結果,怎麼可以如此簡單就說以下這個式子是正確的?
1-S1=1-(1-1+1-1+1-1+…)
    =1- 1+1-1+1-1+1+…
    =S1
這個公式我只能說是你真的學過數學嗎??
今天你自己的S1只會只有一種結果,不是0就是1,但是此式子能成立的狀況是其中一個S1=0,其中一個S1=1
怎麼會一個式子中S1會有兩種不同結果??
我只能說這根本在誤人子弟

之後S2也是用這荒謬的理論下去講的,S3我懶得看

影片中有可能1+2+3+4+...........無限大=-1/12
但是若是身為一個專業的研究者,請把前面的define列出來,你單純列個結果誰都會列

05-15 13:40

翼は夢、そして空へ
不愧是相關領域的(事實上我一直在等數學系的發表看法XD)。個人現在比較納悶的是影片中提到說「1+2+3+4+...........無限大=-1/12」不但出現在近代物理教科書中,還可以在許多地方(應該是物理領域)具有應用性,到底是用來解說什麼呢?05-15 16:13
科科
學科學和研究的人最重要的一定是嚴謹性
關於物理方面,在某個前提下可能會得到影片的結果
但是影片中上,單純只有翻到書卻沒有看前面文章是什麼,根本就沒資格研究和討論這東西
對於真正研究的人是種污辱

我舉個簡單的例子

今天大家都知道1=1

但是我少補單位

我是否可以說1=1 =>1(公斤)=1(台斤)呢

當然我們都知道這根本錯誤,但影片就是用類似的方式誤導人,所以我才會如此生氣

05-15 17:43

翼は夢、そして空へ
找天去圖書館翻一下理論的原文教科書好了,我很好奇那幾頁的內容!05-15 18:56
翼は夢、そして空へ
漏了一個字,「弦」理論...05-15 18:56

其實它在物理學的應用並沒有到很廣泛的程度(我認為)
真要講應用...就弦論會用到吧,在計算維度的時候。
近代物理就我所看過的專書倒是沒人提過,畢竟近物所討論的內容沒這麼"理論"
(也可能是出現在我沒看過的近物專書...搞不好最近有人出新書XD)

話說弦論是一門爭議很多的理論,目前物理學上並未普遍接受之(除非哪一天被證出來了)

另外,物理所用到的數學不只是數學上的問題,而是擁有物理意義的
如果不能解釋,這一切就只能是空談了。
(影片當中就缺乏解釋,連證明過程都有破綻...)

不過還是很感謝樓主,讓我又思考了一個物理問題XD

05-15 19:09

翼は夢、そして空へ
這兩天我持續在閱讀這個問題的相關資料,發現其實維基百科裡已有很多關於該問題的討論,無論是文中的S1、S2,或者S,而且過去已有相當多的數學家在探討並證明這些問題,無奈我的專門領域不是這方面的,無法順利讀懂內容...。05-15 19:44
翼は夢、そして空へ
附帶一提,影片解釋太簡單,主要因為是科普推廣性質吧,總覺得一把嚴謹性拉高,影片的內容就會過於艱深而缺乏吸引力了!05-15 19:45
霧島悠樹
說的不錯的一篇~挺發人省思的

不過關於嚴謹性...
看到那篇有些應用確實是有點不是很認同

因為是無窮項,所以就可以任意的移項相加!?
他今天往後移了一項,那我往後移動2項 3項? ...是否可以呢??

不過應用在物理上的話可能就不一樣惹吧

05-21 02:10

翼は夢、そして空へ
關於嚴謹性這點,印象中高中在求解級數時也經常會用到引片中移項相加或相減的技巧,比較大的不同在於高中時求解的有線級數(往往會假設n項),而影片中則是讓n=∞,再利用移項的方式來求解,這部份確實有些取巧。話說維基百科裡頭有關於1+2+…+∞的相關條目,看了之後才知道這個問題很久之前就人在研究,很多還是歷史上留名的數學家,也有人用不同的方式證明出結果可以為-1/12,雖然和我們所知的n(n+1)/2有所不同,不過卻給人一種數學也可以具有多樣性的有趣印象。05-21 13:16
ヴァミリオの噓空行者
快給GP不然別人會以為我看不懂

05-21 02:26

翼は夢、そして空へ
沒給GP別人也不知道你有來過啊XD05-21 13:08
沒有人
居然有數學系的啊...
我問過老師,他說第一個級數發散,所以無法解。
簡單來說,數學上這是錯的,但物理比較不嚴謹,這算式大概可以算是對的。
(這就跟0.999...(無限個9)=1的證明為錯是差不多的。)

05-27 12:39

翼は夢、そして空へ
感謝補充!05-27 20:09
漓星
只談數學
無限不管加多少正數,結果也不能得負吧
這根本反駁無限的概念
正數遞加
∞一出現結果就只能是∞

以假設的結果來導出的答案
怎麼能正確,也只是假設

就說很多奇怪的研究都英國出身的OAO

05-28 18:31

翼は夢、そして空へ
所以才叫「驚人的總和啊」,如果結果是大家所認為的∞,就毫無驚訝之處了!05-28 19:54
開心兔
1-S1=S1這個問題可以這樣看
若n為有限
S1=∑(k=0,n)(-1)^k
1-S1=1-∑(k=0,n)(-1)^k=∑(k=0,n+1)(-1)^k
當n趨近無窮大1-S1仍會比S1多1項,因此1-S1不會等於S1

另外像是S-S2=4S
移向相減本身就很奇怪
左邊的S=1+2+3+4+5+6+...
右邊的S=0+1+0+2+0+3+...
事實上兩邊的發散速度跟本不相同
移項相減後
4(0+1+0+2+0+3+...)-(1+2+3+4+5+6+...)
=3(0+1+0+2+0+3+...)+(0+1+0+2+0+3+...)-(1+2+3+4+5+6+...)
後面兩項相減後會是一個趨於無窮大的負數,但照原本的算法,後面那項會等於0

06-28 20:53

銀嵐
看了推論加討論,可以確定基本上應該是屬於物理推論而非數學推論
因為在計算無窮大的時候,基本上無法以那種等式成立

不過如果從物理學上來看的話…………
這不就是悲劇的薛丁格的貓嘛!!!!!!!!!!!!!!!!
因為既可能是死掉的,也可能是活生生的,所以乾脆就既死又活好了!
既然可能是1也可能是0,那就取個中間值就好(望)

10-23 05:09

翼は夢、そして空へ
確實是物理上的應用,畢竟數學上是很難說的通的!

關於薛丁格的貓,這個典故雖然有趣,不過對於有養貓的人來說總覺得稍稍殘忍了一點= =10-23 08:49
黑糖
這篇拿給物理系的看,他們都挺能接受的

11-05 17:26

古和渚
這是物理不是數學 數學上不合理可是在物理的理論是站的住腳的

11-27 23:18

夕城李明
雖然我數學爆爛 雖然我還算看得懂過程
但還是不明白答案....

01-24 22:24

食夢
那些針對初等數學中發散級數,在高等數學中有「定義」各種不同的求和方式。
至少在數學上,用不同的求和法,或是解析延拓到複平面上可以給出這些級數的和。

不要忘記了,初等數學中對於「發散級數」的嚴謹定義是柯西給的。
換句話說,我們現在普遍說它們「發散」,不只是因為它「直覺上」發散,
更是因為我們已經習慣了柯西給出的規則,包括數列、級數、極限等等。
所以兩者都對,兩者都成立,只是定義及求和方式不同罷了,
講得更簡單些,<An>=1+2+3+4+...在柯西定義中發散,
但在黎曼ζ函數規則運算下就是-1/12。
對於不想深究的讀者來說這樣講就足夠了。

高等數學是讓你我學著跳脫既定框架,用更純的角度去觀察世界。
至於物理部分,我不是讀物理的,故不予置評。

如果有興趣想深究可以去讀一下複變函數論,前置基礎是微積分和基礎代數。

02-01 14:13

秋風
1-S1=1-(1-1+1-1+1-1+…)
又S1=1-1+1-1+1-1+…)
所以會為1-(1-1+1-1+1-1+…)=1-(1-1+1-1+1-1+…)
今要求(1-1+1-1+1-1+…)實際數字
他的算式中(1-1+1-1+1-1+…)這個又變成會改變的數字
那在邏輯上就講不通了
若(1-1+1-1+1-1+…)=X
1-X=1-X
1=1

08-24 02:46

泰瑞
考古中…
看完之後忽然想到,物理上的應用會不會是指量子上的統計,像粒子的自旋之類的,因為在量子物理上很多東西都是無法完全測定的,所以只好用這些算式來定義…
我也只是個高中生,對量子物理也還沒有多了解,所以以上都是個人猜想

12-31 23:45

翼は夢、そして空へ
這個公式確實是被用在近代物理沒錯喔!01-02 10:37
哈哈喔
抱歉,借考古一下,關於1-1+1-1+⋯=0.5的證明其實是極限逼近無窮大後的嚴謹結果,並不是什麼奇怪的推導,希望後來爬文的別被底下討論誤導

09-17 21:30

翼は夢、そして空へ
感謝補充^^09-17 21:41
老周
WTF

S1 and S2 are not converge!!!!
不不不......抱歉我不是針對樓主,本人身為物理系學生,看到這樣的證明有點火大。呃不對,是真的爆炸了。我的看法跟樓上某位數學系的大大一樣。
S1跟S2根本不收斂,怎麼可以用這種方式得出他的級數和存在!!??

這個結果明明是從這個來的,給:https://zh.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%80%A6
也就是,從黎曼函數還有拉馬努金求和來的。大概就是,sigma(n^(-s))在s小於等於1時發散,但s=-1時解析延拓結果得到-1/12,故拉馬努金將之定義為-1/12。


物理上的應用:玻色弦理論裡,若一個基本振子頻率為omega,則他對n級諧波的能量貢獻為omega*n*(h bar)/2。所以依照這個級數,從1到n級總能量 (最低能情況下)為-omega*(h bar)/24,又在D維時空下,所有弦的能量可以看成(D-2)個獨立的量子諧振子的總和。所以我們得到,在D維時空下,所有弦從1到n級總能量在最低能情況下,能量為-omega*(h bar)*(D-2)/24。但是在26維以上的情況,玻色弦理論就不是consistent的。
抱歉我只是個大一生我只能講到這邊,而且可能有講錯@@。

但是你這篇文章實在太瞎了,身為不容許數學與物理被汙衊的物理系學生,本人強烈請求你修改這篇文章。
因為我看完我是整隻炸掉。
我可以體諒樓主因為沒有相關背景知識,所以被影片誤導。但是希望樓主知道對錯後,修正。
謝謝@@。
抱歉一時爆炸語氣不好,但是,就是這樣了。

04-13 12:30

老周
瞄一下小屋,看來樓主是學術界一員,而且我判斷應該是航太界的。我為我約五分鐘前的無禮道歉@@
但還是希望您改一下這篇文章就是了@@

04-13 12:38

奶昔
把S1限制在奇數還是感覺怪怪的 偶數的權益呢@@#

04-17 12:24

小弘
不好意思,標題改一下ㄛ,是1+2+3+...=?,而不是1+2+3+...+∞=?ㄛ

06-23 15:56

Jack
如同你說的S有1 0 -1這三種可能,但為何只取前兩項的算數平均數?而如果用加權平均數會不會比較保險?因為總不可能說樂透有中獎&不中獎因此中獎機率為0.5。

08-07 19:55

翼は夢、そして空へ
哈,你發現我文中多年沒注意到的打字錯誤,晚點更正08-07 21:12
翼は夢、そして空へ
已修正,有個(-1)應該是(1),所以只有兩種可能,才可以取平均=0.508-07 23:44
Jack
且無限大已經代表最大的數字,大於它的數應不存在,因此要導出的S已經有問題¿( ̄∇ ̄)?

08-07 19:58

翼は夢、そして空へ
影片也補上可以用的連結(可開中文字幕),有興趣可以看08-07 23:45
小哈
看到有說樓主沒有相關背景知識的 這個已經超越自大的程度了吧 笑死
而且這本來就是「科普影片」 不是專業知識影片
呈現給觀眾的需要最直覺的東西
黎曼高三 大學可能會學就算了
不是物理系的還有被你強迫學一下拉馬努金和嗎
話說 應該是不用把標題改成...+∞
第一是影片名稱也沒有出現∞
另外就是∞不是數字 不該出現在式子裡
不過方便觀眾清楚意思...算了吧

12-16 05:56

翼は夢、そして空へ
我也是覺得方便解釋才修改了標題12-16 10:11
小哈
而且 S1或S2一樣可以用阿貝爾求和得出
影片中只是把複雜的公式
用直覺性的方式呈現給一般沒有對數理有深度探討的觀眾
沒有必要在評論裡森77的說他污衊你的數學污衊你的物理吧

12-16 06:10

翼は夢、そして空へ
哈哈哈,感謝補充。雖然語氣很衝,但算是本著物理的熱忱的發言,我不討厭啦!12-16 10:10
朴英奎
解析延拓以後 多出來的定義域

我不喜歡影片中的證明
我覺得科普不可以這麼做
這樣可以亂證
1+2+3+4+.... = -1/12
1+(1+1)+(1+1+1)+(1+1+1+1)+...... = -1/12
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+ = -1/12

03-20 17:37

1313
詭異的點是第一點是極限數學定義證明是對的
再來第二第三步就已經不存在了 因為正整數四則運算
不會有分數 更不會有1/2這種

09-12 00:55

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