這裡亞夜。
今天來聊聊「弓箭」的動能。
動能，
指的是運動體在運動時所具有的能量。
更具體的說，
就是運動體從靜止到具有當前速度所做的功。
動能的計算為：
這個從國中開始就背到滾瓜爛熟的公式，
而這也就是戰鬥中，
我們用來計算拋射體可以造成多大傷害的公式。
從公式上我們可以很清楚的看到，
動能受到物體「質量」與「速度」影響。
如果一個東西很重，
那他打在你身上必然很痛；
但就算很輕，
只要速度夠快那也足以致命，
子彈就是很典型的例子。
我們以最常見的手槍子彈：9mm 帕拉貝倫姆為例，
彈頭質量約為 8 公克，
槍口初速約為 350 mps，
我們把數字帶入公式，
就能得到 490 焦耳這個數值，
也因此常常會聽到人家說，
一顆手槍子彈約 500J。
來看生存遊戲用的 BB 彈，
台灣的法規是每平方公分 20 焦耳以下才合法，
但是 BB 彈是直徑 6mm 的小球，
我們假設 BB 彈是完整的圓形好了，
那麼他的截面積就只有 0.28 平方公分左右，
換句話說，
BB 彈的動能只要超過 5.65 焦耳就違法了。
所幸，
大部分的 BB 彈動能並沒有這麼高。
不考慮加重彈的情況下，
一般 BB 彈的重量大約就 0.25 克左右而已。
槍口初速根據不同的發射機構可能不同，
但普遍不會超過 200mps。
我們將數值帶入動能公式，
算出其動能僅僅為 5 焦耳。
換句話說，
只要不私自改槍，
我們一般買的 BB 槍是一定合法的。
前面這些鋪墊，
是要說明動能跟殺傷力的關係，
並且簡單建立一套標準。
現在切入正題，
我們來談談弓箭。
一般比賽用的箭，
重量大概在 20 克左右，
而初速最多也就 80mps 附近，
這樣子的初動能頂多只有 64 焦耳，
僅為 9mm 手槍子彈的八分之一左右。
若轉換成戰爭弓，
那是完全不一樣的世界。
因為戰場上你是要殺人的，
所以箭頭一定要重。
戰鬥用的箭矢重量隨便都超過 50 克，
甚至 150 克以上的傢伙也有。
我們取個平均數 100 克好了，
若這支箭可以以 45mps 的速度飛出，
攜帶的動能就有 101 焦耳。
儘管只有 9mm 子彈的五分之一。
但比起比賽用的箭矢也足足多出了五成功力，
沒辦法，
為了殺人就是要盡其所能。
箭矢的動能是哪裡來的？
當然完全由弓來提供。
如果我們把弓假設成一個彈簧，
那麼把弓張緊時，
就相當於把彈簧拉伸到極致。
當放弦時，
彈簧迅速回彈，
而這個回彈所釋放的機械能就是推動箭矢運動的能量來源。
有了這個知識，
我們大致上就能來計算弓箭能達到的動能。
不過在這之前，
我們要先對算式做一下轉換。
首先最基本的：
當中，
V0 是初始速度。
在放箭之前箭矢是不動的嘛，
所以 V0 是 0，
因此又可以化簡為：
我們把上面的動能公式帶下來：
結論就是，
把力乘以位移就是箭矢所能獲得的動能。
如果高中物理有學好，
力乘以位移就是力的做功。
換句話說，
就是施加給目標物體的能量。
由於箭矢一開始是靜止的因此動能為零，
而弓給箭矢所做的功自然就是箭矢所能獲得的動能，
當然也就是箭矢射出時所能獲得的最大動能。（這裡暫時先不考慮重力的部分）
不過，
彈簧的施力並不是恆定的。
同樣的，
弓對箭矢的施力也不是固定不變的，
因此我們不可以直接將弓的力量乘上箭矢的位移，
這樣算出來的結果肯定是錯的。
我們必須考慮，
在放箭的瞬間固然弓身可以給予箭矢最大的推進力，
但這個力量會隨著弓身的復原而逐漸減小，
就像是一個彈簧一樣。
彈簧的回復力與其長度變化量有關，
弓也一樣。
如果給定一個係數 k，
可以得到這樣的一個關係式：
彈簧的施力會隨著彈簧的變形量縮短而減小，
因此彈簧實際上能做的功當然就是積分：
解釋一下這個積分是怎麼來的。
因為力會隨著距離而改變，
所以我們只能把「每一個瞬間」所做的功加起來。
而「一個瞬間」代表位移量是 ds（極小的距離）。
而上下界的指定則是，
上界是彈簧的最大拉伸距離，
代表我們從最大力的地方開始做功；
而當彈簧恢復到原始長度的時候就就沒有力了嘛，
也就是當彈簧的變形量為 0 的時候停止做功，
因此我們只需要累計距離 0 到 s 範圍內的量即可。
當然，
因為慣性的緣故，
彈簧到達原點時既然不受力當然就不會瞬間停止而是會繼續變形嘛，
換句話說彈簧此時也會繼續縮短。
但是此時彈簧的變形量就變成負值了嘛（方向相反），
換句話說這時彈簧的回復力就變成了「把彈簧拉長」的方向。
也就是說彈簧雖然仍會繼續縮短，
但這時彈簧的速度會變成減速。
然而箭矢是被彈簧推著跑的嘛，
所以當彈簧到達自然長度為止，
箭矢跟彈簧都還保持著相同的速度；
但當過了原點以後，
因為彈簧是「推」著箭矢跑的而不是「黏」著，
所以彈簧減速的瞬間就會與箭矢分離，
因此此時箭矢會保持在與彈簧分離之前的最大速度往前飛去，
後來至於彈簧怎樣，
跟箭矢已經沒有關係了。
因此結論，
我們只要能算出彈簧的彈性係數 k 值與彈簧的長度 s，
我們就能計算出箭矢的理論最大初動能。
假設由一個成年人來拉長弓，
由於拉滿弓的情況下大概就是一個手臂長再加上一個身體寬度左右，
最滿的情況大概就 1.8 公尺。
而戰爭用的弓，
最少最少也要 80 磅起跳。
英格蘭著名的紫杉木長弓，
甚至可以達到 150 磅以上，
端看射手的體能而定。
我們假定就取 165 磅好了（好算），
1 公斤約為 2.2 磅，
所以 110 磅相當於 75 公斤。
拉滿弓需要 75 公斤的力，
所以 ks=75 公斤。
而 s=1.8 公尺，
因此可以做的弓總共只有……67.5 焦耳。
當然，
這是因為這裡是簡單地把弓給比喻成彈簧，
我們假設弓的推力跟彈簧一樣與變形量成正比的關係。
實際上，
弓的力量與變形量的關係通常不是線性的，
而是長這樣：
因為做功等於施力 F 乘上變形量 s，
換句話說圖形與 s 軸圍成的面積就是做功。
我們計算時假設的圖形是線性的，
因此算出來的面積是三角形，
但實際上卻是除了三角形以外還有額外凸出來一點，
因此實際上能做的功當然也更多一些。
而這個也是為什麼開頭說戰爭弓的初動能可以到達 101 焦耳，
但我們上面例子的計算卻僅僅只有 67 焦耳，
計算與現實產生如此落差的理由。
我們在繼續回到箭矢上。
我們現在就假設箭矢的動能有 100 焦耳好了，
手槍有 500 焦耳在沒有命中要害的情況下，
基本上都不能一槍當場打死一個沒穿護具的人了，
你這箭矢只有 100 焦耳，
面對穿板金盔甲的騎士是能有多少效果？
當然啦，
效果肯定是很薄弱的。
中世紀戰爭的時候，
在接戰之前，
弓箭手通常會戰在隊伍的最前方先射箭。
而射箭當然也不是一個上去射而已，
而是一整隊朝著前方發射箭雨。
咦？
怎麼會是弓箭手站最前方？
不應該是近戰士兵站前排，
然後弓箭手在後方支援嗎？
只能說別被「遊戲」給誤導了。
如果我方的士兵正在前排與敵軍混戰，
你後方的弓箭手要怎麼支援？
光是射自己人就飽了吧？
所以當然不可能從友軍的「後方」放箭，
至少「混戰」時不可能。
因此，
弓箭手射箭時絕對不是雙方短兵相接的時候，
換句話說，
此時雙方部隊都還有一定距離，
此時才是弓箭手活躍的舞台。
那好，
的確弓箭可以射拋物線，
也就是可以越過前排士兵的頭上然後再落在前方敵人身上，
可是很顯然的距離越遠威力越弱對吧？
如果你把弓箭手放在部隊後排，
那麼弓箭手與敵軍的距離不就拉長了嗎？
何必自廢武功呢？
所以雙方接戰前，
弓箭手站在部隊最前方放箭後，
雙方的近戰部隊（步兵或騎兵）才會往前衝鋒，
畢竟真的混戰起來弓箭手就沒用了。
既然弓箭是在接戰之前發射的，
其目的自然也是「先行削血」的概念。
不求一波箭雨就把對方完全消滅，
求的是壓制對手並掩護我方部隊衝鋒。
既然是火力壓制，
那當然威力就不可以太弱。
但威力也不用大到可以把人秒殺（科技不允許），
能把人射到重傷就足夠了，
畢竟中箭還能裝作沒事一樣繼續戰鬥的士兵可不多見。
而弓箭雖然對於身著板金盔甲的騎士沒什麼效果，
但板金甲要價不斐，
一般的士兵哪有錢裝備這種貨色？
因此這箭雨還是很有威懾力的。
題外話，
拉滿一把戰爭弓最少也要 40 公斤以上的力量，
甚至超過 70 公斤，
你可以想像一下，
扛一桶 20 公升的水桶你要費多大功夫？
同時兩桶？
同時三桶？
很顯然，
沒有特別訓練過發力的人肯定是辦不到的。
所以你讓柔弱美少女拉戰爭弓？
別鬧了，
能拉動戰爭弓的肯定是彪形大漢，
就算是女性也肯定是個肌肉女，
畢竟現實就是這麼殘酷，
要是沒有這點力量你要怎麼殺人？
啊不過上面在計算弓對箭矢做功時，
最終的計算發現其實與箭矢重量無關。
其實這是很合理的，
畢竟弓身所能儲存的機械能多寡僅取決於弓的設計，
箭矢多重視無所謂，
反正就是有這麼大的能量可以傳給箭矢嘛！
既然如此，
為什麼一定要用「比較重」的箭矢呢？
同樣的動能，
重量越輕的話速度就越快，
速度越快不是有彈道平直且射程遠的優勢嗎？
非也。
因為箭矢的飛行過程中必然持續受到空氣阻力的影響，
而空氣阻力的大小與速度有關，
速度越大受到的阻力就越大；
另一方面，
因為你箭矢的質量減小了，
受到的阻力變大、而你質量又減小，
意味著你受到的加速度也越大，
而且這個加速度與箭矢的飛行方向相反，
意味著箭矢的減速也越快，
換句話說，
輕量的箭矢雖然能以更快的速度射出，
卻會以指數等級的速度快速喪失動能，
因此反而會縮短射程並且減小戰鬥距離的威力。
既然弓箭的動能滿打滿算也就 100 焦耳左右，
動能再這樣浪費下去還打個毛啊？
因此箭矢必需要重，
重就有比較大的慣性，
慣性比較大就比較能維持速度，
也就是維持住本身的動能。
即使是現代槍械，
較輕的彈頭雖然彈道比較平直，
但距離遠的時候殺傷力就很弱嘛，
所以狙擊槍都喜歡使用很重的彈頭嘛，
這是一樣的道理。
另一方面，
一名弓箭手能帶多少箭矢？
一個現代士兵最少也配發個 300 發子彈，
一顆子彈算 10 公克，
那麼也就 3 公斤左右。
同樣的概念算給弓箭手，
一支箭 100 公克，
所以帶 30 支箭囉？
非也。
前面說了，
一把戰爭弓隨隨便便 40 公斤起跳，
就算你最低的 40 公斤，
你射出一箭，
相當於一次 40 公斤的硬舉，
你能連續重複做幾次？
更何況那些可能重達 60 公斤、80 公斤的弓了。
一般來說，
弓箭手大概只會帶著 10~15 支箭，
這些都射完了，
大概也沒力了。
還是題外話，
為什麼弓不可以「空放」？
沒有在玩射箭的人可能不是很明白，
今天到靶場去，
如果你跟人家租弓，
結果給人家空放了一下，
通常就會被要求「買下」，
這個算是業界的不成文規定，
因為如果空放了的話，
弓身通常已經損壞了。
先解釋什麼叫做「空放」，
空放就是弓在沒有搭箭的情況下釋放。
一般來說，
弓是彈性很好的機械裝置，
它能儲存很大的機械能，
並且將這些能量用來推動箭矢以達成殺傷的目的。
當然，
弓不可能將所有的能量都交給箭矢，
畢竟箭矢射出後弓仍保有一定的慣性，
所以弓在釋放機械能的同時除了給箭矢做功以外同時也會給自己做功，
而這些功就是導致弓身變形甚至故障的原因。
在搭箭的情況下，
由於這些釋放出來的機械能大多數都讓箭矢帶走了，
所以弓身本身只會受到少數的能量，
而這些能量就是弓在設計時必然考慮過的，
所以屬於合理的消耗。
但如果你沒有搭箭，
那這些能量要哪裡去呢？
當然只能由弓身全部自己吸收了嘛，
自然而然弓身就會受到極大的損耗。
人家射箭場租你弓，
收你的租金當然就是讓你使用弓的成本，
也就是保養費用以及弓身損耗的攤提；
你現在耍個白目空放，
導致弓身受到損傷，
自然就會要你賠償了不是嗎？
而所謂的賠償，
當然就是叫你買下來囉。
事實上，
弓的壽命與搭配的箭矢有很大的關係。
由於箭矢越重，
你提供同樣的力，
給予的加速度就越小，
箭矢從加速到發射出去所需要的時間自然也就越久。
對弓身來說，
它在釋放機械能的同時，
也受到了來自箭矢的阻力。
這個阻力減緩了弓身變形的速度，
降低了弓身受到來自自身變形所產生的衝擊大小。
很好理解嘛，
把同一個啞鈴緩緩地放在你的腳趾上，
跟直接敲在你的腳趾上，
哪個痛？
不言可喻。
弓也是同樣道理，
因此空放是絕對嚴格禁止的事。
同時箭矢越輕，
弓身的消耗就越劇烈；
反之箭矢越重，
弓身的消耗就比較少一些。
不過嘛，
箭矢太重讓弓推不動那也不行，
所以也不是就越重越好。
弓一定有最適合自己的箭矢，
除了重量以外，
箭矢的撓度（柔軟度）也是一個關鍵。
兩年前敝人曾經有解釋過弓箭手悖論這件事，
如果箭矢本身是堅硬的，
那麼你用一般的「弓」來射擊的話就一定會射偏。
箭矢之所以能朝著瞄準的方向飛過去，
正是因為箭矢本身具有柔軟度，
在跟弓窗摩擦時產生變形，
然後自身的變形行程駐波而開始左右搖擺，
而這個搖擺剛好讓箭矢可以「繞」過弓身同時以波浪狀的方式「游」向目標。
因此，
每一把規格不同的弓，
最適合它的箭矢就都不同，
也因此，
箭矢不是隨便都能用的。
用錯箭矢的話，
要嘛傷弓，
要嘛不準，
要嘛又傷弓又不準，
總之絕對沒有好處。
