男「①②③④○○○○○○」
女「１２３４００００００」
｛1, 6, 43, 356, 3333｝
｛1, 4, 6, 4, 1｝
｛1*1, 6*4, 43*6, 356*4, 3333*1｝=｛1, 24, 258, 1424, 3333｝
Σ= 10!/6!= 10*9*8*7= 5040
機率：(5040-3333)/5040= 33.97%
4組情侶： 1/5040
3組情侶： 24/5040
2組情侶： 258/5040
1組情侶：1424/5040
0組情侶：3333/5040
有興趣想了解數據要怎麼簡單求出來，再看下去
先做一個表格（橫列直行）
第0列：!n，即｛1, 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, …｝
第0行：1
其餘，該格＝項數＊左格＋上格
例：(1,-1)= 1*1+0= 1
例：(3,-2)= 3*7+11= 32
例：(5,-3)= 5*465+1214= 2539
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 2 | 9 | 44 | 265 | 1854 | 14833 | 133496 |
| -1 | 1 | 1 | 3 | 11 | 53 | 309 | 2119 | 16687 | 148329 | 1468457 |
| -2 | 1 | 2 | 7 | 32 | 181 | 1214 | 9403 | 82508 | 808393 | 8743994 |
| -3 | 1 | 3 | 13 | 71 | 465 | 3539 | 30637 | 296967 | 3184129 | 37401155 |
| -4 | 1 | 4 | 21 | 134 | 1001 | 8544 | 81901 | 870274 | 10146321 | 128718044 |
| -5 | 1 | 5 | 31 | 227 | 1909 | 18089 | 190435 | 2203319 | 27772873 | 378673901 |
| -6 | 1 | 6 | 43 | 356 | 3333 | 34754 | 398959 | 4996032 | 67741129 | 988344062 |
| -7 | 1 | 7 | 57 | 527 | 5441 | 61959 | 770713 | 10391023 | 150869313 | 2346167879 |
| -8 | 1 | 8 | 73 | 746 | 8425 | 104084 | 1395217 | 20157542 | 312129649 | 5155334720 |
| -9 | 1 | 9 | 91 | 1019 | 12501 | 166589 | 2394751 | 36920799 | 607496041 | 10622799089 |
| -10 | 1 | 10 | 1111 | 1352 | 17909 | 256134 | 3931555 | 64441684 | 1123029513 | 20730064706 |
拿大家都學過的「信封問題」說明：
把3封信任意裝進3個信封，每個信封只放1封信
信封「①②③」，信「１２３」
將信封位置固定，第一個位置①，第二個位置②，第三個位置③
「１２３ ２１３ ３１２
１３２ ２３１ ３２１」
對3封(錯0封)：1/6
對2封(錯1封)：0/6
對1封(錯2封)：3/6
對0封(錯3封)：2/6
集合｛1, 0, 3, 2｝
如果少了2封信呢
信封「①②③」，信「１」
「１－－ －１－ －１－
１－－ －－１ －－１」
很清楚能知道信有3個選擇，對的機率 1/3，錯的機率 2/3，集合｛1, 2｝
也可以把少了的信以白紙「０」替代
信封「①②③」，信「１００」
「１００ ０１０ ０１０
１００ ００１ ００１」
一樣是對的機率 1/3，錯的機率 2/3，集合｛1, 2｝
信封②和信封③沒有能對應的信，也能直接當成空白信封「○」
信封「①○○」，信「１００」，集合｛1, 2｝
所以如果少了1封信
信封「①②③」，信「１２」
信封「①②○」，信「１２０」
「１２０ ２１０ ０１２
１０２ ２０１ ０２１」
對2封(錯0封)：1/6
對1封(錯1封)：2/6
對0封(錯2封)：3/6
集合｛1, 2, 3｝
現在直接用表格求解
少2封信：信封「①○○」，信「１００」
共3組，最多1組符合，取「-2」那列的第0項~第1項｛1, 2｝
少1封信：信封「①②○」，信「１２０」
共3組，最多2組符合，取「-1」那列的第0項~第2項｛1, 1, 3｝
還沒完……
當出現1組相同時，那組可能是信封①放對，也可能是信封②放對
要再考慮組合數｛2Ｃ2, 2Ｃ1, 2Ｃ0｝=｛1, 2, 1｝
｛1*1, 1*2, 3*1｝=｛1, 2, 3｝
如果理解了，可試著挑戰下一題
將背號④~⑮的12件球衣任意發給學號1號~8號的同學，1人1件，有同學的球衣號碼跟學號相同的機率？
球衣「④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮」
同學「１２３４５６７８」
ANS：
球衣「④⑤⑥⑦⑧○○○○○○○」
同學「０００４５６７８００００」
共12組，最多5組符合，取「-7」那列的第0項~第5項
｛1, 7, 57, 527, 5441, 61959｝
｛1, 5, 10, 10, 5, 1｝
(12,-7)=｛1, 35, 570, 5270, 27205, 61959｝
Σ= 12!/7!= 12*11*10*9*8= 95040
機率：(95040-61959)/95040= 34.8%
5位同學： 1/95040
4位同學： 35/95040
3位同學： 570/95040
2位同學： 5270/95040
1位同學：27205/95040
0位同學：61959/95040
數據整理
1
0｛1, 0｝
2
-1｛1, 1｝
0｛1, 0, 1｝
3
-2｛1, 2｝
-1｛1, 2, 3｝
0｛1, 0, 3, 2｝
4
-3｛1, 3｝
-2｛1, 4, 7｝
-1｛1, 3, 9, 11｝
0｛1, 0, 6, 8, 9｝
5
-4｛1, 4｝
-3｛1, 6, 13｝
-2｛1, 6, 21, 32｝
-1｛1, 4, 18, 44, 53｝
0｛1, 0, 10, 20, 45, 44｝
6
-5｛1, 5｝
-4｛1, 8, 21｝
-3｛1, 9, 39, 71｝
-2｛1, 8, 42, 128, 181｝
-1｛1, 5, 30, 110, 265, 309｝
0｛1, 0, 15, 40, 135, 264, 265｝
7
-6｛1, 6｝
-5｛1, 10, 31｝
-4｛1, 12, 63, 134｝
-3｛1, 12, 78, 284, 465｝
-2｛1, 10, 70, 320, 905, 1214｝
-1｛1, 6, 45, 220, 795, 1854, 2119｝
0｛1, 0, 21, 70, 315, 924, 1855, 1854｝
8
-7｛1, 7｝
-6｛1, 12, 43｝
-5｛1, 15, 93, 227｝
-4｛1, 16, 126, 536, 1001｝
-3｛1, 15, 130, 710, 2325, 3539｝
-2｛1, 12, 105, 640, 2715, 7284, 9403｝
-1｛1, 7, 63, 385, 1855, 6489, 14833, 16687｝
0｛1, 0, 28, 112, 630, 2646, 7420, 14832, 14833｝
9
-8｛1, 8｝
-7｛1, 14, 57｝
-6｛1, 18, 129, 356｝
-5｛1, 20, 186, 908, 1909｝
-4｛1, 20, 210, 1340, 5005, 8544｝
-3｛1, 18, 195, 1420, 6975, 21234, 30637｝
-2｛1, 14, 147, 1120, 6335, 25494, 65821, 82508｝
-1｛1, 8, 84, 616, 3710, 17304, 59332, 133496, 148329｝
0｛1, 0, 36, 168, 1134, 5544, 22260, 66744, 133497, 133496｝
10
-9｛1, 9｝
-8｛1, 16, 73｝
-7｛1, 21, 171, 527｝
-6｛1, 24, 258, 1424, 3333｝
-5｛1, 25, 310, 2270, 9545, 18089｝
-4｛1, 24, 315, 2680, 15015, 51264, 81901｝
-3｛1, 21, 273, 2485, 16275, 74319, 214459, 296967｝
-2｛1, 16, 196, 1792, 12670, 67984, 263284, 660064, 808393｝
-1｛1, 9, 108, 924, 6678, 38934, 177996, 600732, 1334961, 1468457｝
0｛1, 0, 45, 240, 1890, 11088, 55650, 222480, 667485, 1334960, 1334961｝
11
-10｛1, 10｝
-9｛1, 18, 91｝
-8｛1, 24, 219, 746｝
-7｛1, 28, 342, 2108, 5441｝
-6｛1, 30, 430, 3560, 16665, 34754｝
-5｛1, 30, 465, 4540, 28635, 108534, 190435｝
-4｛1, 28, 441, 4690, 35035, 179424, 573307, 870274｝
-3｛1, 24, 364, 3976, 32550, 198184, 857836, 2375736, 3184129｝
-2｛1, 18, 252, 2688, 22806, 152964, 789852, 2970288, 7275537, 8743994｝
-1｛1, 10, 135, 1320, 11130, 77868, 444990, 2002440, 6674805, 14684570, 16019531｝
0｛1, 0, 55, 330, 2970, 20328, 122430, 611820, 2447445, 7342280, 14684571, 14684570｝
12
-11｛1, 11｝
-10｛1, 20, 111｝
-9｛1, 27, 273, 1019｝
-8｛1, 32, 438, 2984, 8425｝
-7｛1, 35, 570, 5270, 27205, 61959｝
-6｛1, 36, 645, 7120, 49995, 208524, 398959｝
-5｛1, 35, 651, 7945, 66815, 379869, 1333045, 2203319｝
-4｛1, 32, 588, 7504, 70070, 478464, 2293228, 6962192, 10146321｝
-3｛1, 27, 468, 5964, 58590, 445914, 2573508, 10690812, 28657161, 37401155｝
-2｛1, 20, 315, 3840, 38010, 305928, 1974630, 9900960, 36377685, 87439940, 103459471｝
-1｛1, 11, 165, 1815, 17490, 142758, 978978, 5506710, 24474285, 80765135, 176214841, 176214841｝
0｛1, 0, 66, 440, 4455, 34848, 244860, 1468368, 7342335, 29369120, 88107426, 176214840, 176214841｝
達人
