你正位於新手村，使用一顆骰子決定前進幾格
前方連續9格都是魔物，如圖所示
運氣好，頂多碰到魔物一次就能通過
運氣差，會碰到魔物三次以上
試問，最容易碰到哪隻魔物？機率是多少？
距離1格：1/6機率擲出1點
機率：1/6（16.67%）
距離2格：1/6機率擲出2點，1/36機率連擲2次1點
機率：1/6+1/36= 7/36（19.44%）
距離3格：1/6機率擲出3點，1/36機率先1點再2點，1/36機率先2點再1點，1/216機率連擲3次1點
1/6【3】，1/36【2, 1】*2，1/216【1, 1, 1】
機率：1/6+2/36+1/216= 49/216（22.69%）
用整數分割計算，距離越遠越複雜，例如距離7格：
1/6²【6, 1】*2、【5, 2】*2、【4, 3】*2
1/6³【5, 1, 1】*3、【4, 2, 1】*6、【3, 3, 1】*3、【3, 2, 2】*3
1/6⁴【4, 1, 1, 1】*4、【3, 2, 1, 1】*12、【2, 2, 2, 1】*4
1/6⁵【3, 1, 1, 1, 1】*5、【2, 2, 1, 1, 1】*10
1/6⁶【2, 1, 1, 1, 1, 1】*6
1/6⁷【1, 1, 1, 1, 1, 1, 1】
機率：6/36+15/216+20/1296+15/7776+6/46656+1/279936= 70993/279936（25.36%）
或許您已經注意到了，分子部分同「巴斯卡三角形」
但嚴格來講，只有前6格，超過點數最大值會失真
例：距離7格「1/6¹」的分子並不是1，而是0
例：距離8格「1/6²」的分子並不是7，而是5
基本上這還只是點數機率都相同的情況，如果是點數機率不均等的情況，不翻桌才怪
所以要換位思考，用一種較為簡便的方式計算
題一、使用一顆骰子玩大富翁，繞完一周後剛好在起點上的機率是多少？
(1) 1/3
(2) 1/4
(3) 1/5
(4) 1/6
(5) 2/7
ANS：
一顆骰子的期望值：(1+2+3+4+5+6)/6= 3.5
每擲一次骰子，平均前進3.5格
換言之，每格被踩到的機率為 1/3.5（28.57%）
題二、使用一顆骰子玩大富翁，即將繞完一周前
距離起點多少格的時候，後續剛好能在起點上的機率最大？（只要不超過起點都還有機會）
(1) 4格
(2) 5格
(3) 6格
(4) 8格
(5) 9格
ANS：
距離1格：5/6機率會擲超過
1/6機率擲出1點
機率：1/6（16.67%）
距離2格：4/6機率會擲超過
1/6機率擲出2點
1/6機率擲出1點，後續重復「距離1格」：1/6*1/6
機率：1/6+(1/6)/6= 7/36（19.44%）
距離3格：3/6機率會擲超過
1/6機率擲出3點
1/6機率擲出2點，後續重復「距離1格」：1/6*1/6
1/6機率擲出1點，後續重復「距離2格」：1/6*7/36
機率：1/6+(1/6+7/36)/6= 49/216（22.69%）
距離4格：有2/6機率會擲超過
1/6機率擲出4點
1/6機率擲出3點，後續重復「距離1格」：1/6*1/6
1/6機率擲出2點，後續重復「距離2格」：1/6*7/36
1/6機率擲出1點，後續重復「距離3格」：1/6*49/216
機率：1/6+(1/6+7/36+49/216)/6= 343/1296（26.47%）
距離5格：1/6機率會擲超過
1/6機率擲出5點
1/6機率4點，重復「距離1格」：1/6*1/6
1/6機率3點，重復「距離2格」：1/6*7/36
1/6機率2點，重復「距離3格」：1/6*49/216
1/6機率1點，重復「距離4格」：1/6*343/1296
機率：1/6+(1/6+7/36+49/216+343/1296)/6= 2401/7776（30.88%）
距離6格：
1/6機率擲出6點
1/6機率5點，重復「距離1格」：1/6*1/6
1/6機率4點，重復「距離2格」：1/6*7/36
1/6機率3點，重復「距離3格」：1/6*49/216
1/6機率2點，重復「距離4格」：1/6*343/1296
1/6機率1點，重復「距離5格」：1/6*2401/7776
機率：1/6+(1/6+7/36+49/216+343/1296+2401/7776)/6= 16807/46656（36.02%）
距離7格：
1/6機率6點，重復「距離1格」：1/6*1/6
1/6機率5點，重復「距離2格」：1/6*7/36
1/6機率4點，重復「距離3格」：1/6*49/216
1/6機率3點，重復「距離4格」：1/6*343/1296
1/6機率2點，重復「距離5格」：1/6*2401/7776
1/6機率1點，重復「距離6格」：1/6*16807/46656
機率：(1/6+7/36+49/216+343/1296+2401/7776+16807/46656)/6= 70993/279936（25.36%）
距離8格：
1/6機率6點，重復「距離2格」：1/6*7/36
1/6機率5點，重復「距離3格」：1/6*49/216
1/6機率4點，重復「距離4格」：1/6*343/1296
1/6機率3點，重復「距離5格」：1/6*2401/7776
1/6機率2點，重復「距離6格」：1/6*16807/46656
1/6機率1點，重復「距離7格」：1/6*70993/279936
機率：(7/36+49/216+343/1296+2401/7776+16807/46656+70993/279936)/6= 450295/1679616（26.81%）
距離9格……反正從距離7格開始，就是將該格前面6格機率加總再除6，可用Excel輕鬆完成
A7儲存格輸入「=SUM(A1:A6)/6」
複製A7儲存格，拉框A8~A60貼上，可求得下表數值
| 1 | 16.666667 | 11 | 29.339312 | 21 | 28.596798 | 31 | 28.570747 |
| 2 | 19.444444 | 12 | 29.083021 | 22 | 28.594366 | 32 | 28.572540 |
| 3 | 22.685185 | 13 | 27.926319 | 23 | 28.575570 | 33 | 28.572168 |
| 4 | 26.466049 | 14 | 28.353966 | 24 | 28.559799 | 34 | 28.572540 |
| 5 | 30.877058 | 15 | 28.611393 | 25 | 28.559987 | 35 | 28.571019 |
| 6 | 36.023234 | 16 | 28.707143 | 26 | 28.574771 | 36 | 28.571173 |
| 7 | 25.360440 | 17 | 28.670192 | 27 | 28.576882 | 37 | 28.571505 |
| 8 | 26.809402 | 18 | 28.558673 | 28 | 28.573563 | 38 | 28.571632 |
| 9 | 28.036895 | 19 | 28.471281 | 29 | 28.570095 | ： | ： |
| 10 | 28.928846 | 20 | 28.562108 | 30 | 28.569183 | 60 | 28.571429 |
（單位：％）
回到主題，套用題二的答案即可
最容易遇到距離6格的蜂蜜熊，機率：16807/46656（36.02%）
如果使用兩顆骰子，最容易碰到哪隻魔物？機率是多少？
ANS：
距離1格，機率：0
距離2格，機率：1/36（2.78%）
距離3格，機率：2/36（5.56%）
距離4格，機率：109/1296（8.41%）
距離5格，機率：148/1296（11.42%）
距離6格，機率：6841/46656（14.66%）
距離7格，機率：8502/46656（18.22%）
距離8格，機率：279397/1679616（16.63%）
距離9格，機率：261224/1679616（15.55%）
距離10格，機率：8935921/60466176（14.78%）
距離11格，機率：8542378/60466176（14.13%）
距離12格，機率：292122973/2176782336（13.42%）
距離7格：15/36機率會擲超過
6/36機率擲出7點
5/36機率擲出6點，重復「距離1格」：5/36*0
4/36機率擲出5點，重復「距離2格」：4/36*1/36
3/36機率擲出4點，重復「距離3格」：3/36*2/36
2/36機率擲出3點，重復「距離4格」：2/36*109/1296
1/36機率擲出2點，重復「距離5格」：1/36*148/1296
機率：6/36+(10/36+366/1296)/36= 8502/46656
兩顆骰子的期望值為7，距離越遠，越無限趨近於1/7
| 1 | 0 | 11 | 14.127531 | 21 | 14.074487 | 31 | 14.265180 |
| 2 | 2.777778 | 12 | 13.419944 | 22 | 14.155829 | 32 | 14.283609 |
| 3 | 5.555556 | 13 | 12.470358 | 23 | 14.250305 | 33 | 14.297143 |
| 4 | 8.410494 | 14 | 13.856734 | 24 | 14.324317 | 34 | 14.300287 |
| 5 | 11.419753 | 15 | 14.577135 | 25 | 14.364991 | 35 | 14.295936 |
| 6 | 14.662637 | 16 | 14.835463 | 26 | 14.367048 | 36 | 14.288902 |
| 7 | 18.222737 | 17 | 14.788998 | 27 | 14.320719 | 37 | 14.282996 |
| 8 | 16.634576 | 18 | 14.567234 | 28 | 14.276361 | 38 | 14.280153 |
| 9 | 15.552602 | 19 | 14.288627 | 29 | 14.252805 | ： | ： |
| 10 | 14.778380 | 20 | 14.076409 | 30 | 14.251476 | 80 | 14.285714 |
（單位：％）
B13儲存格輸入「=(B1+B11+(B2+B10)*2+(B3+B9)*3+(B4+B8)*4+(B5+B7)*5+B6*6)/36」
複製B13儲存格，拉框B13~B80貼上，可求得上表數值
距離13格：
1/36機率12點，重復「距離1格」：1/36*0
2/36機率11點，重復「距離2格」：2/36*1/36
3/36機率10點，重復「距離3格」：3/36*2/36
4/36機率9點，重復「距離4格」：4/36*109/1296
5/36機率8點，重復「距離5格」：5/36*148/1296
6/36機率7點，重復「距離6格」：6/36*6841/46656
5/36機率6點，重復「距離7格」：5/36*8502/46656
4/36機率5點，重復「距離8格」：4/36*279397/1679616
3/36機率4點，重復「距離9格」：3/36*261224/1679616
2/36機率3點，重復「距離10格」：2/36*8935921/60466176
1/36機率2點，重復「距離11格」：1/36*8542378/60466176
