主題
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題目大意：
輸入有多列，每列給定兩正整數 n 、 k （1 ≦ n 、 k ≦ 10 ^ 9），求下式之值
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範例輸出：
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解題思維：
先不管 n ，只看 k 在不同的 i 值之下其餘數為何。
可想而知，當 i > k 時， k mod i 的值全都是等於 k 。所以我們也先忽略 i > k 的情形。此時觀察較小的 k 值（1 ～ 10 那種）可能看不出什麼所以然。因此，我們來看看以下 k ＝ 144 的情況：
可以看到，最左邊的那個直行代表著不同的 i 值，右邊兩個分別是 k 除以 i 之後的商數以及餘數。
前面可能看不出特別的樣子。但是到了中段的部分可以開始看到 k % i 那一行的數字開始形成一群一群的等差數列。而這些數列裡面的所有數字，其 k / i 那行的值皆是一樣的，且 k / i 正是其數列之公差（只是是負的）。
因此，我們可以靠上面觀察到的性質來加速遍歷 i 值的過程。當遇到一個 i 值時，先計算 k / i 之商數 q 以及餘數 r 。然後計算 k / q 取其商 t，而該數則是會與現在 i 值得到一樣 k / i 之商數的最大值。也就是說我們找到了一個上面觀察到的等差數列之開頭與結尾。
而套入等差級數的公式（假設項數有 m 項，m ＝ t - i + 1），我們可以得到這段的 (k mod i) + (k mod (i + 1)) +…… + (k mod t) 之值為
(2r - q × (m - 1)) × m ÷ 2
最後將 i 值更新為 t + 1 。重複直到 i > k 。
而上述的過程從 i ＝ 1 開始，即可完整覆蓋到所有的等差數列。但是因為我們不是要求
(k mod 1) + (k mod 2) + …… + (k mod k)
而是要求
(k mod 1) + (k mod 2) + …… + (k mod n)
所以遍歷的過程中，當 t 一旦大於 n （此時代表 n < k），則將 t 值限縮到等於 n （畢竟只求到 n）。而遍歷過程的中止條件除了原本的 i 大於 k ，還要加上 i 等於 n + 1 的時候也要跳出（因為 t 如果等於 n ，i 值將被更新成 n + 1）。
剩下的情況是，結束過程後的 i 值如果小於等於 n。則計算結果還要加上
(n - i + 1) × k
因為 (k mod (k + 1)) 、 (k mod (k + 2)) 、(k mod (k + 3)) 等等的值皆為 k 。
上述都跑完、判斷完之後，最終的總和即是所求。
此次分享到此為止，如有任何更加簡潔的想法或是有說明不清楚之地方，也煩請各位大大撥冗討論。
達人
