主題 達人專欄

《憂國的莫里亞蒂》中的數學公式

霧島悠樹 | 2021-06-05 03:18:23 | 巴幣 8270 | 人氣 1659


《憂國的莫里亞蒂》中的數學公式

本文來介紹本季動畫《憂國的莫里亞蒂》中出現的數學公式
看看動畫作品中出現的數學,欣賞一下,順便看看內容有沒有錯


在第五話之中,威廉老師在上課時有這麼一個橋段
字真小,拿下面這張清楚了來講   


其他部份看不太清楚,就不在本文討論的範圍
(是說板書真工整啊

打清楚一點應該是這樣,暫且稱為「第一等式」


大家可以自己動手算算看,會發現是一樣的,原本想說就只是個代數恆等式,似乎沒什麼意思,頂多就出成一個因式分解的題目罷了
 

而某天我在看日本的代數書時意外發現這個
出自:代数学 / 淡中忠郎著; 小松勇作等編集
內容大概是從基本的運算性質,講到高深的代數學問


原本這章講的是複數,由這邊切入,意外導出這個式子
有些人應該看得懂是什麼意思,不過我還是解說一下

我們有兩個複數:

令函數也就是取其複數的實部與虛部平方相加
所以有
以及

那麼也正是



你可能會想問這有什麼厲害的,還不跟上面代數的做法一樣?

這邊就是我要講的另外一個觀點了,由複數的觀點切入
一個複數,其長度為
那麼就可以看成其複數的長度平方

所代表的便是:「兩複數長度平方相乘等於兩複數相乘再取長度平方」
而兩邊都有平方這個動作,那麼可以化簡

更簡單的來說,就是證明「兩複數取長度後相乘等於兩複數相乘再取長度」
便可間接證明


對複數有點認識的都知道這個,不過還是簡單講解一下:
兩複數分別用極式表示
分別表示兩複數到原點的距離
分別表示兩複數的幅角,便是兩複數與原點連線,與x軸正向與其的夾角

兩複數相乘得到

用和角公式化簡有
 
這邊已經很明顯了
兩複數取長度後相乘:
兩複數相乘再取長度:
沒錯都一樣

所以我們由「兩複數取長度後相乘等於兩複數相乘再取長度」此一觀點,間接證明了此一等式
最右邊的部分只是將兩複數令為 便可得證,可以試試看喔


很不錯吧,不用代數證明,由複數的觀點來看,可以很快的得證這樣的數學式子,當然想不想得到就是另外一回事情了。


而書中的例題1

好吧,要說實用性應該是不高,至少在計算上應該不會幫助太多…
34和74竟然要先看成(3^2+5^2 )和(5^2+7^2 )
再帶入公式中寫成(3×5-5×7)^2+(3×7+5×5)^2
坦白說,我不覺得這樣算會變快,甚至是變慢了... 能夠實際用的場合應該少之又少

遇到兩數相乘我會選擇直接乘或是用乘法公式化簡,應該都是比這個還要更快的作法
兩數都要分別看成兩個整數的平方和,才可應用,使用的時機實在少之又少




再來此圖中下面二式,稱為「第二等式」
被遮住了,那比對一下其他角度所看到的


交叉比對下
威廉背後的完整式子應該是這樣:
不過我們把兩邊各自展開會發現...
左式:
右式:

很明顯不一樣,所以這邊是作畫失誤!錯了!
製作組,你們錯了,有看到這篇的話可以修正一下


實際上應該是怎樣才對?
觀察上面的形式,要讓nabcd這一項消去,勢必兩項應該要是一正一負的狀態,往這個方向做調整即可
選擇固定(ac-nbd)^2 ,調整右邊即可

這樣才對
所以完整的「第二等式」應該是這樣:


那要如何應用?
我們舉個簡單的例子:22 x 54 = 1188
22 x 54 = (4+18) x (4+50) = (2^2 + 2x3^2) x (2^2 + 2x5^2)
有a=2 , b=3 , c=2 , d=5 , n=2
可以帶入公式了:
22 x 54=(2x2 - 2x3x5)^2 + 2(2x5+3x2)^2=(-26)^2 + 2x16^2
= 676 + 512 = 1188  
沒錯的

很抱歉,跟第一等式」一樣,實用價值一樣很低
純粹欣賞即可

當然這一樣可以用複數的觀點來解釋
方法一樣,只差在一開始令的兩個複數而已,


實際上還可以推導成:稱為「第三等式」

更一般的形式:
來實際應用看看...
隨意問人,選了兩個數字:247 , 865
那現在就拿這兩數相乘套入此公式,來試試看這公式的威力

確實是一樣的!

不過挺麻煩的就是...  還是直接相乘比較快
兩個整數還要各自湊成兩個平方數的線性組合,才可有下一步,光這邊就花點時間了...
實用程度實在不高,至少我真的覺得不怎麼實用啦,有人覺得這方法很好用那也不錯,
我傾向純粹欣賞即可。


最後總結一下:

第一等式

第二等式:

第三等式:

一般形式:


(順道一提,文中一直用到的N(ab)=N(a)*N(b) 手法,此一性質可稱為homomorphism
詳情可以去看代數學
兩個群G , H 有個函數N : G→H
存在這樣的映射N(ab)=N(a)*N(b)  對於所有的a,b屬於 G
這樣便是homomorphism



大家有問題嗎?

看完這些還真是辛苦大家了,有問題都歡迎提問

不知道威廉老師當時在教是用何種方式說明的?我查了一下...
《憂國的莫里亞蒂》時空背景大約是19世紀末,1879年威廉已是教授
而現實中,在18世紀1730年已有棣美弗公式、1748年已有歐拉公式
18世紀末已有複數平面的觀點,大多人也可接受,可以說複變開始蓬勃發展

所以以歷史的脈絡來看,威廉老師確實有可能用複數的觀點來教的。


我發去場外,感謝有位叭布的巴友友更深入的說明
參考更多:64樓  


數學真的很不錯,由不同的切入點,不同的角度,都能證明一件事情。


我的其他數學文,有興趣可以看看:  (當然不是數學的也可以看看)


創作回應

阿飄
不過我開的串另一個美中不足之處就是沒有PO圖,因為我怕被告
2021-06-07 18:20:02
霧島悠樹
會被告嗎? 是說接下來私聊轉哈哈姆特吧
2021-06-07 18:34:52
世紀之止
我還是當觀眾,革命這事由更合適的人物來實行
2021-06-07 18:42:26
霧島悠樹
讓我們追隨威廉的腳步~ 跟上革命的步伐吧
2021-06-07 21:40:31
阿飄
我花了很久才學會哈哈姆特,因為我領悟力比別人差又慢
2021-06-07 19:57:34
不專業的宅宅
雖然看不懂 但好像很厲害
2021-06-07 22:37:36
miyuki
好強
2021-06-15 22:01:44

相關創作

更多創作