07. PGA2D，點與線的表示法

幾何代數系列文之七。觀看本文需要讓巴哈姆特能顯示數學式子。

在Euclidean Geometric Algebra(EGA)中，雖然向量和平面是基本元素，但是點需用向量來表示，線需用方程式或起點加方向等方式來表示。PGA解讀幾何元素的方式與EGA不同，點與線成為基本元素，可以直接拿來做四則運算，或是做內積與外積運算。除此之外，PGA有許多優於EGA的地方。例如幾何元素可離開原點，旋轉與平移運算被整合在一起等等。

PGA的發明相當晚，其概念可以追溯到2000年的這篇論文，之後得等到2017年才有人替此概念取名為Projective Geometric Algebra。經過幾年推廣，現在改稱作Plane-based Geometric Algebra，而原來的名稱又被用於另一個概念。

本文會介紹如何表示點、線、消失點與消失線，和一些基本運算的幾何意義。但是在那之前，我們需要幾種特別的數字。

我們需要的數都不是實數，而這些數隱藏在下面這條方程式裡：
$$
x^2+1=0
$$
相信讀者能馬上找到其中一個平方為-1的數，我們先把它記作$\mathbf{e}_{-}^2=-1$。若使用幾何代數計算相對論會需要這個$\mathbf{e}_{-}$，但PGA不會用到它。

第二個數其實從第一篇開始就不斷出現，只是之前都把這個數解讀成單位向量，當作基底來使用。它不是實數1，但它的平方為1。我們把此數寫成$\mathbf{e}_{+}^2=1$，PGA也會繼續用它。

看到這裡讀者應該已經發現，這條方程式裡的數字都可以視為非實數的平方。第三個數平方為$0$，PGA的平移運算需要這個數。
$$
\mathbf{e}_{-}^{2}+\mathbf{e}_{+}^{2}=\mathbf{e}_{0}^{2}
$$
以往用符號來表示二維空間會用$\mathbb{R}^2$，若用幾何代數的方式來表示，PGA2D會表示為$\mathbb{R}_{2,0,1}$。下標的數字代表geometric number的數量，意思是使用2個平方為1的數，0個平方為-1的數，1個平方為0的數。早期的PGA文章會表示成$\mathbb{R}_{2,0,1}^*$，這是由於下節提到的解讀方式，但是後來社群決定去掉星號。

Geometric number之間的乘法有反交換律，即左右交換會使正負相反。可以將它們當成彼此垂直的基底向量，彼此內積為0，然後用幾何積和外積的定義來解釋它們的乘法反交換律。

接下來介紹如何將這些數解讀為幾何元素。

在EGA中，任意維度中的1-blade都解釋為向量，2-blade都視為平面。但是PGA會隨著維度不同，對blade有不同解釋。最基本的1-blade在PGA2D中被視為線，在PGA3D中則視為平面。這麼做使所有幾何元素都得到homogeneous性質，意思是非零實數乘以一個幾何元素，產生的結果仍然代表原本的元素。熟悉圖學的讀者對此性質應不陌生，因為這個性質和齊次座標中的點一樣。

設一個單位向量$\mathbf{n}$，PGA2D會將之解釋為法向量為$\mathbf{n}$的線。若這條線與原點的距離為$\delta$(希臘字母小寫的delta)，則線可表示為：
$$
L=\mathbf{n}-\delta e_{0}
$$
若法向量$\mathbf{n}$的長度不為$1$，線要經過正規化才能從$-e_0$的係數取得正確的距離資訊，正規化的方法是將線$L$除以法向量$\mathbf{n}$的長度。

$-e_0$解讀為消失線，即位於無窮遠的線。不管往哪個方向走無窮遠的距離，都會到達到這條線。由幾何積的定義可以推導出$e_0\cdot e_0=0$，意味著消失線與自身成正交。又因$e_0$與其他基底向量的內積為0，意即消失線與所有方向的線都成正交。

納悶為什麼$e_0$前面要加一個負號嗎？複習一下高中時學的線方程式：
$$
a \mathbf{x}+b \mathbf{y} - c =0
$$
$(a,\ b)$是線的法向量，$c$是與原點的距離，兩者分別對應$\mathbf{n}$與$\delta$。

在EGA中，2-blade為平面，寫成兩個向量的外積。PGA2D中，2-blade被解釋為點，可寫成兩條線的外積，此時外積就如同相交的運算。設兩條彼此正交且正規化的線$L_1$與$L_2$，交點為$X$且位於$(x_1,\ x_2)$處，則點可表示為（注意基底順序）：
$$
\begin{aligned}
X &= L_{1}\wedge L_{2}\\
&= x_1 \mathbf{e}_{20} + x_2 \mathbf{e}_{01} + \mathbf{e}_{12}
\end{aligned}
$$
若$L_1$與$L_2$沒正規化或彼此沒正交，點需經過正規化才能直接從係數讀出點的位置，方法是點$X$除以$\mathbf{e}_{12}$的係數，因此可用$\mathbf{e}_{12}$的係數是否為$1$來辨別是否為正規化的點。

若兩線彼此平行，或是其中一條線是消失線，則兩線的交點會位於無窮遠處的消失線上，稱作消失點。此時$\mathbf{e}_{12}$係數為$0$，$(x_1,\ x_2)$代表的不是消失點的位置，而是消失點所在的方向。舉例來說，可藉由求消失線與線$L$的交點而得到線$L$的方向：
$$
\begin{aligned}
D_L &=-\mathbf{e}_{0}\wedge L\\
&= - \mathbf{e}_{0}L
\end{aligned}
$$
大部分情況中外積可視為交集運算，不過考慮到外積的性質，和真正的交集還是不太一樣。因為若兩幾何元素重合，用外積計算會得到$0$，而不是得到重合的元素。

以往方向和點都用向量處理，現在PGA用消失點代表方向，分開方向和點的概念。點加上消失點會移動點的位置，兩點相加會得到兩點間中央的點，兩點相減會得到消失點，如下圖：


線的加減運算和點的性質有些類似，尤其是兩線平行的時候。

兩線相加所產生的線會通過兩線交點，且平分兩線之間的空間。兩線平行時產生的線剛好就在兩線中央，此時交點為消失點。

兩線相減產生的線也會通過兩線交點，且與兩線相加的結果呈正交。見下圖，兩線越是接近平行，兩線交點越接近無窮遠，兩線相減產生的線也越遠，兩線平行時相減會產生消失線。

兩點相乘或兩線相乘會產生motor，可用來移動或旋轉幾何元素。回想第二篇提到旋轉是由偶數次鏡射運算組成，因此我們先來看PGA如何做鏡射。

相較於EGA，PGA解讀此類算式變得更直接。若要將幾何元素$A$對點$X$做鏡射，可寫成$XAX^{-1}$，例如下圖，將線$L$和點$X_1$對著$X_2$鏡射：
將幾何物體對著線鏡射也可如法炮製。若用PGA的觀點來解讀傳統的鏡射公式，可看成將幾何元素對通過原點的線做鏡射。

對兩條線做鏡射會變成繞著兩線交點旋轉，不需要繞著原點才能旋轉。若兩條線平行，兩次鏡射等同於平移，此時也可把平移看成是繞著消失點旋轉。見下圖，設$T$為三角形任一頂點：
兩條線彼此平行時，幾何元素平移的距離會是兩線距離的兩倍。若兩線不平行，幾何元素旋轉的角度會是兩線夾角的兩倍。

同理，對兩個點鏡射會是平移，移動距離是兩點間距離的兩倍。

若要計算兩線之間的角度$\theta$，可使用內積：
$$
L_{1}\cdot L_{2}=\lVert L_{1}\rVert \lVert L_{2} \rVert\cos \theta
$$
若已知點$X$與線$L$，想求通過點$X$且垂直於$L$的線，也可使用內積，結果為$L\cdot X$。若想將點$X$投影到線$L$上，可以利用第三篇提到的投影公式，此公式也可以讓線投影到點上，如下圖：
幾何代數有一個與外積$\wedge$成對的乘法，稱作regressive product，符號為$\vee$。此運算會用到外積與對偶，和第三篇的正交補餘概念類似，但計算方式不同，礙於篇幅暫且不多做說明。

相對於外積用來求兩線交點，regressive product可用來求通過兩點$X_{1}$與$X_{2}$的線$L$，寫作$L=X_{1}\vee X_{2}$。若想求點到線的距離也可用這個乘法，公式為$X \vee L$。

需要上述性質證明的讀者可上bivector.net下載PGA教學文件，讀者需熟悉第三篇提到的數學性質才能看懂，不過只靠本系列文不足以了解整篇教學文件。PGA的公式雖然看起來簡單，但學習無法一步登天，就如同學習線性代數時不會只讀幾篇文章。

本篇所介紹的許多公式或概念能直接套用在3D的情況下，但有仍有一部分不行。例如PGA2D中兩條不重合的線會有交點，在3D中卻不一定。續篇PGA3D會介紹此類異同。