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【閒聊】弓箭手悖論

愛天使亞夜 | 2021-07-23 18:30:01 | 巴幣 170 | 人氣 268

這裡是迷上射箭的亞夜。

「弓箭手悖論」(Archer's Paradox)這個名詞也許一般人不熟悉,
大概要真的有研究弓箭的才會有相關知識,
其實這個悖論內容並不困難,
那就是:

 弓跟弦可以構成一個平面,
 而箭搭在弦上的部份自然在平面上,
 但搭在弓上的部分必然在弓身的兩側,
 也就是說箭矢搭載弓上的時候並不是完全貼合在這個平面上的。
 那麼為什麼箭矢依然可以朝著瞄準的方向飛去而不是沿著箭矢搭載的方向飛走呢?

如果文字敘述看不懂,
那麼可以看下圖:


如圖所示,
黑色部分代表弓身。
箭矢必須要搭載弓身的兩側而不能直接貫穿弓身,
因此箭矢搭載弓上的狀態其實是歪的。
但為什麼箭矢射出後卻依然是直線飛而不是歪的飛呢?
這個問題就是「弓箭手悖論」的內容。

【箭矢的受力過程】

在研究力學問題的時候呢,
我們習慣上都會忽略掉「變形」的問題。
但這個問題恰巧不對,
如果我們將箭矢視為一個「剛體」(rigid body),
那麼就會得出與事實完全不同的結論。
這是因為,
箭之所以不會射偏,
就是因為箭矢是「柔軟的」的緣故。

我們先考慮箭矢的受力:
注意我們這裡不考慮重力作用,
理由是我們假設弓面與重力同方向,
因此重力不會導致箭矢歪斜。


箭矢撒放的瞬間,
弓弦會沿著弓面快速回彈,
這個動作會帶動箭矢沿著弓面方向前進。
在預備狀態下,
雖然箭矢是搭在弓身側面的,
但其實與弓身並沒有彼此的力學關係;
但當箭矢被弦往前推的時候,
這時箭矢的側面就會與弓身發生碰撞,
於是弓身就會沿著碰撞的方向給予作用力,
而這個作用力是會與箭矢的方向垂直的正向力,
如上圖所示。


隨著箭尾越發靠近弓身,
箭矢歪斜的角度也就越大,
箭頭也就距離弓面越遠。
並且因為整個箭矢加速的過程中始終沒有任何一個力可以來平衡弓身給予箭矢的垂直方向分力,
因此箭矢最後就會朝著側邊的方向飛去。

換句話說,
如果我們假設箭矢是「剛體」,
那麼這箭矢在射出後就確實會歪向一邊。

但如果箭矢是柔軟的呢?

如果箭矢是柔軟的,
它就會像彈簧一樣,
受到一個力產生變形之後,
它內部會同時產生一個抵抗變形的應力,
並試圖把自己給變回來。


當然,
紅色的力是「應力」,
「應力」只能產生物體變形而不能改變運動方向,
因此紅色的應力無法跟藍色的作用力抵銷,
最終來說,
它起到的作用只是「改變箭頭的方向」而已,
並不能做到「改變飛行方向」這件事,
因此最終箭矢還是會射歪。

好嘛!
說了這麼多,
得到的結論都與事實不符啊!

且慢,
咱還有一個外力來源沒有考慮到,
那就是「空氣阻力」。

空氣阻力的來源是,
當物體在空氣中運動時,
因為朝著運動方向擠壓空氣分子進而形成壓力差,
而這個壓力差就是阻力的來源。
換句話說,
空氣阻力會與運動方向以及形狀有關。


先用這個示意圖來解釋空氣阻力的影響:
假設粉紅色箭頭是箭矢的飛行方向,
那麼箭矢就會擠壓這兩個方向的空氣,
而空氣就會對箭矢做出阻力。
因為箭頭方向截面積小,
因此整體受到的阻力就比較小;
反之垂直箭矢方向的截面積大,
受到的空氣阻力就比較大,
所以箭矢可以順利的朝著箭頭方向飛行,
但相對來說就比較難以朝著側向飛行。
(不會說完全不能動,因為沒有位移就沒有阻力,因此還是會側移,只是相對於行徑方向來說很小)

那麼回到前面彎曲箭矢的狀態就是,
因為弓身的影響確實導致箭矢側移了,
但也因此強大的空氣阻力會讓箭矢難以朝側向移動太多。
此外,
又因為箭矢的內應力導致箭頭轉了方向,
因此箭矢最容易飛往的方向就變了。

剛才說了,
內應力是「阻止自己發生變形所產生的內部應力」,
因此箭矢發生彎曲後,
它緊接著就會產生反向的應力試圖讓自己彎回來。
接著,
它一樣會彎過頭所以又會想要彎回去,
於是箭矢就會反覆進行著彎過去彎回來彎過去彎回來的過程。

然後我們剛才解釋了空氣阻力對箭矢的影響,
就是空氣阻力限制了箭矢幾乎只能朝著箭頭所指的方向運動,
於是箭矢扭動的軌跡可以視為箭矢的實際飛行路徑。
換句話說,
箭矢射出之後呢,
一開始他會偏向一側,
但之後就會因為彈性的關係扭回來偏向另一側,
接著又因為彈性的關係扭回去又偏一側。
而偏移的大小跟箭矢的彈性有關,
剛剛說了,
完全不會扭的剛體箭矢會直接歪走不會扭回來,
反之,
彈性太大的箭矢就會因為對變形太敏感而扭過頭導致扭不回來而偏到另外一邊去,
因此只有彈性適中的箭矢可以準確地射中瞄準的方向。

【結論】

只有彈性適中的箭矢可以朝著瞄準的方向前進,
太硬的箭矢會朝架箭的方向飛,
反之太軟的箭矢會朝架箭的反方向飛。
而所謂的太硬、太軟,
又要根據弓身給予箭矢的側向力的大小決定,
因此呢,
最適合的箭矢彈性取決於弓的張力大小,
並且當然也跟箭矢的長度(弓身完全伸展時的長度)有關係,
換句話說,
每一把弓所對應的最適合的箭矢彈性是不一樣的,
這就意味著,
不同設計的弓所適合的箭矢規格不一致,
因此這點跟槍一樣,
箭矢基本是不能在不同設計規格的弓之間混用的。

另外就是,
在宇宙空間之類的真空環境下射箭,
因為沒有空氣阻力的關係,
所以箭矢雖然還是會扭動,
但因為無從抵銷弓身給予箭矢的側向力,
導致箭矢就絕對會射歪。


封面圖片:pixiv id = 49993805
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留言

創作回應

ソケノ‧諾
謝謝亞夜的詳細解釋 話說箭矢上的羽毛應該也是不可或缺的吧,對於射擊方向的移動也很有幫助
2021-07-23 20:20:29
愛天使亞夜
箭羽就像飛機的尾翼是一樣的功能,可以幫助箭矢穩定。甚至,螺旋箭羽可以讓箭矢旋轉,變得像子彈一樣
2021-07-23 21:06:27
商筱靈
問一下,你參加過烈焰嗎?
2021-07-23 21:14:53
愛天使亞夜
那是什麼?
2021-07-23 22:38:45
商筱靈
沒事,沒事,確認一些事情而已
2021-07-23 22:42:00
嵐影格調
傳統手拉弓是以箭矢為中心去秒準吧,雖然精準度有限就是了
2021-07-24 05:08:32
愛天使亞夜
以弓面以箭矢這無所謂,因為弦還是照著弓面方向移動的。
這個悖論就是在講,為什麼明明是歪的射出去卻是直的。
2021-07-24 07:29:08
小元
我記得有YT有影片做詳細解說
2021-09-13 19:30:32
愛天使亞夜
肯定有的
2021-09-13 19:40:53

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