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題目大意：
給定Ｋ（１ ≦ Ｋ ≦ １０ ^ ９）。求滿足（Ｎ ^ ２－ＮＭ－Ｍ ^ ２）^ ２＝１的數對中，Ｎ ^ ２＋Ｍ ^ ２的值最大的那一對（Ｎ, Ｍ）。
解題思維：
題目的方程式，是一個有關於費波納契數列的恆等式（Ｉｄｅｎｔｉｔｙ）。任一組相鄰的費氏數列項次都會滿足該式，而也只有費氏數列會滿足此恆等式。
因此題目的所求即是小於等於Ｋ的，最接近的相鄰兩項費氏數列項的值。
至於關係式的來由，就讓我們回顧之前的文章出現過推算下一項費氏數列的矩陣，如下圖的左邊的陣列：
因為０和１剛好是費氏數列的第零項、第一項（或第二項）的值，因此我們可以發現此陣列如果自乘ｎ次（ｎ＞０），會有以下關係：
接下來我們將此陣列稱為Ｍ，並將其當作行列式，得行列式值為－１。因此Ｍ ^ ｎ的行列式值為（－１）^ ｎ。（行列式的詳細資訊可以參照ＷＩＫＩ的條目）
所以我們便得以下關係式：
根據費氏數列的定義展開ｎ＋１的那一項，並化簡關係式：
然後將等號兩邊平方，即獲得了我們這次題目的方程式。（事實上左式跟題目差一個負號，但是平方可以抵銷負號，所以等價）
此次分享到此為止，如有任何更加簡潔的想法或是有說明不清楚之地方，也煩請各位大大撥冗討論。
達人