題目如下 :
一半徑R的非導體性球體 (Non-conductive sphere) 帶有總電荷Q均勻分佈於全體積，
試求出 : 離球心r處的電位 (electric potential) V(r)。
對於這類型題目而言，通常都是先求此球體產生之電場，再利用電場與電位之積分關
係求得答案。須注意的是，解題需分球內與球外兩情形考慮。
關鍵知識複習 :
一、電場高斯定律 : 先定義電通量Φ為空間中之電場E對任意封閉曲面A之積分，即 :
Φ = ∮ E．dA
可以想像成，單位面積上有多少電場通過。物理上，我們稱此封閉曲面為「高斯面」。
而高斯定律為「於電場中，通過任一封閉曲面之淨電通量Φ必與該封閉曲面內所圍之
淨電荷量Q成正比。於真空中，此比例常數為真空電容率ε之倒數。」
即 : Φ = Q/ε 或 Q = ε ∮ E．dA
二、電場與電位之關係 :
在電場中，A點與B點之電位能差可視為將一參考電荷從一點移至另一點所做的功。
電荷所受之庫侖靜電力為qE；電位能差為q．ΔV，除去電荷即可發現兩點間之電位
差為兩點間之電場對單一路徑之積分的結果，即Δ V = ∫ E．ds 。
回到這題，我們的第一步是求出電場。
(1) 當 r > R 時 (球外) ，E(r)．4π(r^2) = Q/ε → E(r) = Q/(4πεr^2)
(2) 當 r < R 時 (球內) ，E(r)．4π(r^2) = (Q/ε)*(r/R)^3→ E(r) = (Qr)/(4πεR^3)
我們的第二步是由求出的電場來計算電位，由∫ [ i,f ] E．ds = V(f) - V(i)
(1) 當 r > R 時 (球外) ，V(r) - 0 = ∫ [ r,∞ ] Q/(4πεr^2) dr = Q/(4πεr)
(2) 當 r < R 時 (球內) ，V(r) - Q/(4πεR) = ∫ [ r,R ] (Qr)/(4πεR^3) dr =
(Q(3R^2 - r^2))/(8πεR^3)
因此答為
Q/(4πεr)，r > R
(Q(3R^2 - r^2))/(8πεR^3)，r < R
參考資料 : 【大學物理學精要】(第四版，劉宗儒 / 2016)
達人
