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以數量級估計大魔法師惠惠爆裂魔法的能量

想爬溫迪的苦茶子 | 2021-08-24 10:50:42 | 巴幣 1248 | 人氣 518

撰文者：關旭佑

發文日期：2018-05-08

傳說以前大科學家費米在原子彈試爆，氣流吹到的時候，隨手抓了把紙往天空一扔，又追著紙向前帥帥的跑了幾步，就估計出原子彈的爆炸能量。「為這個美好世界獻上祝福」這個動畫中，有個中二病[2]的大魔法師惠惠，很會(也只會)放爆裂魔法。這個爆裂魔法的能量有多大?跟原子彈比起來又是哪個威力強呢?

惠惠 : 只要出問題，C4炸藥爆裂魔法都能搞定。

惠惠的爆裂魔法說穿了也就只是個爆炸。不過從動畫中看來，惠惠在施放的時候有能量輸出大小的不同，而最大威力的那次發生在第一季動畫的結尾，她為了阻止機動要塞的自爆而放出的爆裂魔法(是的，你沒有看錯)。接下來我們先猜猜看費米所用的估算方法。費米在氣流來襲的時候，追著被吹走的紙片跑，可以推知風速，而這個風的動能是因為核爆產生的，因此可以概算出核爆能量。

但在動畫裡，沒有費米帥帥的一扔，那該怎麼辦? 幸好我們看到爆炸時白色的衝擊震波跑了一段距離後就消失(如圖二)，而這可能是超音速的衝擊波[4]，因此我們可以假定在衝擊波看不見的邊界上，氣流的速度就正好是音速340 m/s。然後我們要估計這個範圍有多大。圖中爆炸的衝擊波範圍的直徑與阿克賽爾新手村裡的河流寬度比約為75 : 1，而這條河流的寬度約為30 m [5]。

圖二紅色半球估計為超音速衝擊波的最後範圍，白色線段為河流的寬度。

因此衝擊波半球[6]的半徑大約是1100公尺。以空氣密度1.3 kg/m3來說，半球內的空氣質量是3.6 X 109 kg，而這半球內的空氣都至少應該有340 m/s的向外速率，不然衝擊波早已中斷了。所以這半球的空氣，向外的動能為

E=1/2mv2= 1/2 ×(3.6×109 kg)×(340 m/s)2=2.1×1014 焦耳

如果假設爆炸所生的熱能都轉換成這些動能[7]，那麼爆炸大概是五萬噸TNT當量[8]，比費米參加的”三位一體”核試驗還多了2.5倍的威力! 難怪惠惠每次放完爆裂魔法就直接倒地躺平了。

圖三惠惠的爆裂魔法與各種著名爆炸作比較。

話說關於核試驗的能量估計這件事其實是有學術論文討論的。1950年，G. Taylor 發表的論文便提到離爆炸很短的時間內[9]

其中R為爆炸火球半徑，t為爆炸後經過的時間，ρ為空氣密度，S是一個很接近1的參數，而E就是所求的爆炸能量。這個式子其實在核試爆前就已完成，只是因為怕被FBI查水表[10]所以一直沒公布。其想法大概是這樣 : E 必定是能量的因次，也就是ML2T-2 (質量*長度2*時間-2)，核試爆的時候，可以想見比較容易測得到的物理量是爆炸後經過的時間T和從照片中得到的火球半徑長度L。但這樣還缺少了具有質量M的物理量，這質量一定和氣體有關係，因為火球就是由加熱氣體而來。所以這裡就取用氣體的密度，因次為ML-3。再次試著湊出能量的因次，就得到R5ρt-2~E。

我們把

整個式子取對數，會得到

logR=2/5logt+1/5log E-1/5logρ+logS

所以將log R 對 log t 作圖，得到直線的截距就是1/5log E-1/5logρ+logS，再帶入log ρ 與 log S ，便可以求出E了。

圖四爆炸範圍隨時間的變化。兩兩並排的圖為同一時刻下的火球，其中左邊為原圖，而右邊有畫圓估算範圍。圖上的數字為估算出的時間與火球半徑。

圖五爆炸半徑對時間的關係圖。藍色圓圈是從圖四得到的數據，紅線為近似直線。

將動畫中爆炸半徑的變化對時間作圖，再求得近似直線，可得直線的截距為2.76，帶入1/5log ρ=0.029 與 log S=0.015，可以算出log E=13.87，所以 E=1013.87=7.4×1013 焦耳，這與前面的估算只差2/3 ! 所以說雖然本作的人物故意畫的有點崩壞，但在爆裂魔法的場景倒是處理得好認真啊XD