【我的勇者-攻略】 屬性堆疊與收益分析(上)

一、前言

繼上篇靈目推坑文，已經入坑靈目的小夥伴們，可能有些疑慮，如下：

     .....

因此，我將此篇分成上下兩篇來討論，上篇主要是一些理論和公式推導、解答部分上述問題，而下篇是利用簡化後的公式去做實際計算、解答剩下的問題等等。

<注意> 此篇文長，在文章結尾處有附上懶人包~~~~~

已知：(部分傷害公式) 屬攻係數 = 1 + x/700 ； 爆擊傷害係數 = 1.5 + y/100。

假設：初始機體之屬攻為 0、爆傷為 0 >> 屬攻係數 = 1、爆傷係數 = 1.5。

>>  若此時各系數翻倍，則屬功係數 = 2、爆傷係數為 = 3.0。我們反推傷害公式可知：屬攻 = 700 && 爆擊傷害 = 150，再取比值可得 700/150 = 4.6666....。

  明顯地，依目前環境和 4.66 的準則來看：屬攻 4900 && 爆傷 1050 根本無法達成... 所以我們需要引進更多的參考變數( Ex : 寵物、各類的輔助 buff)，才做出較適切的比值出來，不過屬攻 2100 && 爆傷 450 常作為畢業指標就是了。

三、屬性稀釋現象

  為了解釋屬性稀釋現象，我們同樣需要引用 (部分的) 傷害公式，並且以常見的攻擊強度和屬性攻擊作舉例。  首先，假設角色攻擊強度 && 屬攻為 0，且排除其他屬性增益的可能性。

  當攻擊強度從 0 → 700 時，此時攻強係數為 1 (1 + 0/700) → 2 (1 + 700/700) ，相當於角色的基礎傷害從 100% 提升至 200% >> 700點攻擊強度貢獻了 (200 - 100) / 100 * 100% = 100% 的增幅 >> 平均每 1 點攻擊強度貢獻了 100% / 700 ≈ 0.142% 的傷害收益。

  根據上述討論，我們一樣可以計算出角色攻強 700 → 1400 時，基礎傷害將從 200% 提升至 300% >> 700點攻強貢獻了 (300 - 200) / 200 *100% = 50% 的增幅 >> 平均每 1 點攻擊強度貢獻了 50% / 700 ≈ 0.071% 的傷害收益。

❖ 此處，或許我們有個疑問：

關於基礎傷害(200% → 300%)時，

Q1：基礎傷害的增幅為什麼不是(300-200)% = 100%？

⇒ 理由：當我們計算傷害公式時，是以各項增傷做相乘後，得出最終傷害數值。所以，我們在比較不同攻擊強度時，無法直接以相減的方式得出基礎傷害的增幅。

Q2：為何不是提供了 (300/200) * 100% = 150% 的增幅，而是 50% 的增幅呢？

⇒ 理由：傷害的增幅與傷害的放大係數是不同的概念，因此 (300/200) * 100% = 150% 意味著基礎傷害從原先的200% 提升1.5倍至 300%，放大係數為1.5，並且放大係數為 1 時為原先的基礎傷害，從而得出傷害的真實增幅為 (1.5 - 1) * 100% = 50%。

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  同理可得，1400~2100, 2100~2800, 2800~3500...各個區間裡，每 1 點攻擊強度所貢獻的 x% 傷害收益：

  ∆ 圖片(2) 、 圖片(3)

  

然而，我們可以將攻強 - 傷害收益的關係進行函數化，再藉由 Matlab 將函數圖形化：

  由上圖可以觀察到攻擊強度的收益函數 f(x) 呈現絕對遞減，為了更明顯看見遞減趨勢，我們將原閉區間 [700,6300] 擴大至 [0,15000]， 來查看整體函數的圖形走向：

  ∆ 圖片(5)

( 感謝 7yli7 的美編 ~~~)

  顯然，該函數曲線呈下滑態，若將曲線上每一點的切線畫出來，同樣可以發現該切線隨著攻強的增加，逐漸向 X 軸靠攏 >> 也就是說攻擊強度越高，平均獲得的收益就越少。

<推導>  假設初始攻強為 x > 0 && 後來攻強為 y > 0，不失一般性：我們讓 y > x

>> 初始攻強係數：1 + x/700 、後來攻強係數：1 + y/700

>> 基礎傷害增幅：(1 + y/700 - 1 + x/700) / (1 + x/700) *100% = (y - x) / (7 * (1 + x / 700) %

>> 每 1 點攻強的平均收益：f(x) = (y - x) / (7 * (1 + x / 700) % / (y - x) = 1 / (7+ x / 100) %

<驗證> 假設 f(x) = 1 / (7 + x / 100) 定義在閉區間 [ 0,15000 ] 上，因函數 f(x) 一次可導，且對所有的 x 都大於零，所以一次導函數 f'(x) = - 100 / (x + 700)^2  小於零。根據函數的遞增遞減定義，函數 f(x) 在閉區間 [0,15000] 中，屬於絕對遞減函數。

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  接著，也可比較每個區間裡，平均每 1 點攻強所占的傷害收益比，可知：提升10%的傷害收益，若角色攻強越高，所需提升的攻擊強度就越多！

<角色攻強>

2800~3500：10%傷害收益 ≈ 345點攻擊強度

3500~4200：10%傷害收益 ≈ 417點攻擊強度

4200~4900：10%傷害收益 ≈ 500點攻擊強度

4900~5600：10%傷害收益 ≈ 556點攻擊強度

5600~6300：10%傷害收益 ≈ 625點攻擊強度

...

  這邊下個小結論：隨著攻擊強度的提升，每點攻強所貢獻的傷害收益比逐步減少，也就是所謂的屬性稀釋，以經濟學角度來看，稱為邊際效用遞減。

P.S. 為了方便觀察屬性稀釋現象，此處採用平均的概念去計算出每一點屬性所賦予的增傷；不過套用在實際面，我們不常以臨界屬性(700倍數)作為基底下去計算，而是採用相對的計算方式找出最佳組合 >> 相對收益法。

四、平均收益 & 相對收益

  以平均收益來看，我們是以臨界屬性(700、1400、2100、2800、...) 作為初始值進行收益計算。不過，在實際情況下的機體，其面板屬性之數值並不會剛剛好落在臨界點上 >> 若採用平均收益計算方式，將產生巨大且未知的誤差，進而影響最終計算結果。

( >> 平均收益法的好處在於：1. 計算方便    2.  容易觀察屬性稀釋現象 )

  因此，我們無可避免地，必須捨棄臨界屬性，並且以實際的機體數值作基底，計算出真實效益，才能在有限的資源中，做出最佳的選擇。  而相對收益的計算方式是在平均收益的計算方式上，進行修改 ( 傷害 - 收益函數：f( y , x) = (y - x) / (7 * (1 + x / 700) % )，經公式比對，可以發現兩者其實只差在有沒有除以 (後屬性 y - 原屬性 x)，不過存在雙變數的情況下，進行計算時，相較於前者來的複雜些，在此不多做討論了。 ( >> 相對收益法的好處：詳情在下篇。)