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【數學】一元高次方程式求解:有理根定理

作者:愛天使亞夜│2020-10-28 10:23:20│贊助:510│人氣:705
各位好這裡是亞夜。

會想發表這個主題主要是因為最近看到了一個非常有趣的題目:

按照題目,
如果我們令年紀最小的那位為X(為什麼不照題意令最大的為X?因為不想出現負號)
我們能列出一個方程式:X(X+2)(X+4)(X+6)=3465
將這個方程式展開,
我們會得到這樣的多項式:
這是個一元四次方程式,
而求解這個方程式就會變成一個難題,
而這就是我們今天的主題:有理根定理。

有理根定理具體證明敝人就省略了,
這有點複雜。
不過結論相當簡單,
如果一個多項式存在「有理數根」
當中p、q為互質整數(這是有理數的定義:可以寫成兩個互質整數的比),
則p必為常數項的因數,
而q必為最高次項係數的因數。

證明很困難但推理很容易,
因為如果是多項式的根,
必然表示(qx-p)是這個多項式得其中一個因式。
對每一個形式的根來說,
多項式一定可以因式分解成(qx-p)互乘的形式,
那麼最高次項的係數就必然是所有x的係數q互乘,
而常數項也必然是不帶x的p互乘,
因此p必然是常數項的因數,
而q必然是最高次項係數的因數,
到這裡以中學數學的難度來說應該可以理解了吧?

這個結論很明確。
因為最高次項的係數是1,
因此q必然是1,
而p是常數項-3465的因數,
因此我們只需要把3465的因數列出來並一一帶入方程式中驗證,
如果當中存在有理數解就必然可以找得出來。
因為3465分解後=3×3×5×7×11,
因此它的因數包括:1、3、5、7、9、11、15、21、33、35、45、55、63、77、99、105、165、231、315、385、495、693、1155、3465等24個,
當然也包括負數,
所以總共有48個,
為此我們這裡要使用excel跑表格看看:
方程式是X(X+2)(X+4)(X+6)-3465=0,
因此代入的X值如果結果是0就代表找到真正的解,
因此5以及-11就是我們的根。

其實按照題目,
我們已經找到正確答案了。
X=5,
即代表年齡最小的為5歲,
那麼年齡最大的就是X+6=11歲。
請問郭小弟要被關幾年?www

這個題目的提示其實下得很好,
提示你使用質因數分解來找答案。
因為3465分解後=3×3×5×7×11,
當中3×3=9,
因此四個人分別是5歲、7歲、9歲、11歲,
完全符合題目各差2歲的要求且滿足相乘為3465。
雖然沒明說,
實際上你在質因數分解找答案的過程其實就是有理根定理的實際應用了。

當然,
這題雖然到這邊就結束了,
但對求知若渴的我們來說,
這方程式的根可不能就這樣完了。
根據上表我們找到了兩個根,
代表原多項是必然有(X-5)跟(X+11)兩個因式,
因此我們對這個多項式進行因式分解,
使用直式分解法(長除法應用):

得到:

代入一元二次方程式的公式解,
得到另外兩個虛根為:
當中i代表根號-1。

到此,
我們便得到這個方程式的所有解,
分別為:-11、5、-3+i3根號6、-3-i3根號6,
因此年紀最大的女朋友實際上有可能為:
11歲←標準答案
-5歲←在妳出生前5年就愛上妳了
3±i3根號6歲←i是虛數,也就是超越實數次元的限制,也就是所謂的跨次元戀愛嗎?www


本篇使用的方程式編輯素材來自:LaTeX公式編輯器
引用網址:https://home.gamer.com.tw/TrackBack.php?sn=4962789
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留言共 4 篇留言

點子-庫洛米庫洛米
所以郭小弟要關幾年

10-28 10:40

愛天使亞夜
Buzhidao10-28 10:48
魚雷
郭小弟也未成年就沒問題了吧(ゝ∀・)b

10-28 11:58

愛天使亞夜
現在的小學生都這麼狂的嗎?10-28 12:34
s20012797
虛數...沒看過人鬼情未了嗎(X

10-28 12:56

愛天使亞夜
還真沒看過OTZ10-28 16:01
眼鏡娘LOVE
不說你不知道
現在小學生上街身邊都跟整群女同學的...

10-28 14:20

愛天使亞夜
母湯!這真心母湯!10-28 16:02
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