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[達人專欄] 微分的微分是什麼？導函數還可以有什麼用？

作者：解凍豬腳│2020-10-20 07:24:13│巴幣：182│人氣：18360

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　　大家好，今天又是趕進度的一天。

　　看完了先前兩篇關於微積分的基本運算，你應該已經對「微分」已經有了下面這些觀念：
　　1. 所謂的微分就是求「一個點在函數圖形上極小變化時，各變數之間的變化量關係」
　　2. 函數圖形上的點的瞬間變化率，就是該點切線的斜率
　　3. 微分的對象要搞清楚，不能全部當成一樣的東西來看（如果 x ≠ u，那麼 y 對 x 的微分也不會等於 y 對 u 的微分）
　　4.「先兩者各自微分再相乘」不等於「先令兩者相乘再微分」，微分乘法律不是直接乘起來就好

　　先前我們也用位置-時間的圖表，搭配割線、切線的意義推論出：如果我把一個位置-時間的函數 x(t) 拿去對 t 微分，得到的 x'(t) 每一點都是 x(t) 的瞬間速率，那整個 x'(t) 也就會相當於該物體的速率函數 v(t)。

。微分了，然後呢？

　　一般來說，我們找到了導函數 f '(x) 以後，就等於抓到了它的原函數 f(x) 的變化趨勢。

　　我們知道 f '(x) 是 f(x) 的變化率，也就是說如果 f '(n) > 0，就代表 f(n) 的函數圖形正在往上爬（遞增）；f '(n) < 0，就代表 f(n) 的函數圖形正在往下掉（遞減）。

　　如果把這件事情拿一個函數圖形來舉例的話，我拿 y = x³-8x²+16x-13 作例：

　　我們觀察這個函數圖形，可以發現它主要能分成三段：

　　綠色的部分是 y 往上爬、紅色的部分是 y 往下掉。也就是說，綠色部分的

應該要是正的，所以 y 才能往上爬；紅色部分的

應該要是負的，所以 y 才會往下掉（廢話，你賺錢的速度是正的就代表你的錢越來越多，你賺錢的速度是負的就代表你的錢越來越少）。

　　除此之外還能注意到，這個函數從往上爬轉為往下掉的時候，切線的斜率必然也是由正轉負，所以在由正轉負的那一瞬間，切線一定是橫的，也就是斜率為 0 的直線（反過來說也一樣）：

　　所以，我們可以知道，這兩個點的導函數 f '(x) = 0。

　　像這種局部的高點或低點，我們就稱為「相對極值」。像我們看到這個函數圖中的 (4, 13)，雖然它不見得是整個函數的最小值，但至少對於它在它那一段附近還可以算是低點。

　　怎麼求得這些相對極值呢？我們把它微分，得到 f '(x) = 3x²-16x+16，然後假定它 = 0。

　　接著解一元二次方程式 3x²-16x+16 = 0，得到「x =

或 4 的時候，f '(x) = 0」的結論。那我們只要把

和 4 分別拿去代入 f(x)，就可以得到這兩個點的 y 座標了，得知當 x =

的時候 f(x) 會有相對極大值

（~~嗯……9527~~）；當 x = 4 的時候 f(x) 會有相對極小值 -13。

　　但也不是每個函數都這麼乖。也許函數會有切線斜率 = 0 的時候，但不見得是由正轉負或由負轉正的狀況，像是 y = x³ 我們能夠一眼看出它在正中間剛好有一條橫的切線，但這個地方沒有出現相對極值，因為這個點的左半邊和右半邊，切線斜率都是正的，只是剛好切線斜率有那麼一瞬間為 0 而已：

　　所以我們在使用導函數分析一個函數圖形的時候，首先考量 f '(x) = 0 有哪些點（所有可能的分界線），把它們列出來，然後切成好幾段來判斷就可以了。像是剛才舉例到的函數 y = x³-8x²+16x-13，在我們找到了 x =

或 4 會導致 f '(x) = 0 之後，可以利用這兩個分界點把函數切成 (-∞,

)、(

, 4), (4, ∞) 三個區間，接著檢查這三個區間的 f '(x) 是不是有由正轉負或由負轉正的情況：

　　可以想像，如果你把一顆球從 3 樓往地下 4 樓丟，那這顆球必然會有某一瞬間剛好在地平面上（畢竟你的球不會瞬間移動），而假設你知道這顆球在第 2 秒的時候剛好在地平面的高度，那你就可以推測這顆球在第 0~2 秒的這段時間都在地平面之上，第 2 秒以後就都在地平面之下。

　　同理，如果一個連續的 f '(x) 在某個區間裡面從來沒有經過 0，那就代表這個 f '(x) 在這個區間裡面同號（一直都是正的，或一直都是負的），因此我們可以得出結論：

　　f '(x) 在 (-∞,

) 區間同號
　　f '(x) 在 (

, 4) 區間同號
　　f '(x) 在 (4, ∞) 區間同號

　　如果想要知道這個區間的 f '(x) 是正的還是負的，只要隨便找區間裡的任一個點代進去就好了，反正該區間內都是同號的。比如我們依照 f '(x) = 3x²-16x+16 計算：

　　求 f '(0) 得到 f '(0) = 16，得知 f '(x) 在 (-∞,

) 區間都是正的
　　求 f '(2) 得到 f '(2) = -4，得知 f '(x) 在 (

, 4) 區間都是負的
　　求 f '(5) 得到 f '(5) = 11，得知 f '(x) 在 (4, ∞) 區間都是正的

　　就可以依照旁邊的區間來確定：
　　f(

) 的切線斜率剛好由正轉負，所以 f(

) 是相對極大值
　　f(4) 的切線斜率剛好由負轉正，所以 f(4) 是相對極小值

　　而剛才說的 y = x³，我們用同樣的方法會發現函數會被切成 (-∞, 0) 和 (0, ∞) 兩個區間，但這兩個區間的 f '(x) 都是正的，所以必然沒辦法形成一個小高峰或小低谷，也因此即使它的 f '(0) = 0，我們也不能說它在 f(0) 有相對極值了。

。微分的微分，那是什麼東西？

　　既然我們有了「微分就是瞬間變化率」的觀念，那我們也可以把透過微分得到的導函數再微分一次，這樣我們就可以得到「變化率的變化率」。就拿開頭提到的來說：

　　把位置-時間關係函數 x(t) 微分後的 x'(t) 相當於「速率-時間」關係函數 v(t)
　　把速率-時間關係函數 v(t) 微分後的 v'(t) 相當於「加速度-時間」關係函數 a(t)

　　畢竟，物理的「加速度」（每個時間單位會增加多少速率）的意義，本來就是速率的變化率。

　　所以，假如我們已知一個物體在第 t 秒的時候在 x(t) = 2t³-t²+3t-4 公尺的位置，我們可以得知：

　　它在第 t 秒的速率是 v(t) = x'(t) = 6t²-2t+3（m/s）
　　它在第 t 秒的加速度是 a(t) = x''(t) = 12t-2（m/s²）

　　像這種微分了兩次而得到的導函數，就稱為「二階導函數」。f(x) 的二階導函數可以記作

、

（如果你用 y 來表示 f(x) 的話，當然也可以把它的二階導數直接寫作 y''）。

　　如果把 f(x) 的二階導函數 f ''(x) 拿到函數圖形上面看，其實就是原本的函數 f(x) 在圖形上的「切線斜率的變化率」，我們可以發現，在 f ''(x) > 0 的區間，因為切線斜率一直往上升，所以這些變化會導致 f(x) 圖形在這個曲線呈現上凹：

　　反過來說，我們如果知道切線斜率 f '(x) 一直往下減，那在那一段的 f(x) 圖形就是下凹：

　　所以我們用 f ''(x) 來判斷這個 f '(x) 正在上升或正在下降，那也就等於得到了 f(x) 應該會呈現上凹還是下凹的樣子了。

　　因為 f ''(x) > 0，表示 f '(x) 正在上升，所以逐漸上升的切線斜率會導致 f(x) 往上凹，反之同理——這就是函數的凹向性。

。反曲點

　　一般來說，上凹和下凹之間的交界點，我們就稱為「反曲點」。既然剛才說了反曲點是上凹和下凹的交界，那意思也就是 f ''(x) > 0 和 f ''(x) < 0 的交界。

　　這個概念跟剛才前面說的找高峰、找低谷很像，其實我們只要找到 f ''(x) = 0 的地方，就可以找到可能的反曲點，因為剛才說過了，要找到正負交界就必須先找到有 0 的地方。

　　我們一樣用前面講找相對極值的 f(x) = x³-8x²+16x-13 為例：

　　我們透過一次微分得到了 f '(x) = 3x²-16x+16
　　再微分一次得到了 f ''(x) = 6x-16

　　設 f ''(x) = 0，得到「當 x =

的時候， f ''(x) 可能變號」的結論。

　　接著我們只要比較 x >

時和 x <

時是不是有真的變號，就能確定 x =

是不是真的反曲點了。

　　剛剛的例子只要畫成圖就可以很明白。紅色的部分是下凹、綠色的部分是上凹，而我們找到的 f ''(x) = 0（也就是 x =

）的地方，正是所謂的反曲點：

　　這個過程和找相對極值的原理一樣，只是因為多了一次的微分，所以從找極值升級成找反曲點。

　　簡單來說，微分的微分，意思就是變化率的變化率；微分的微分的微分，意思就是變化率的變化率的變化率。在物理上，我們可以把加速度函數拿去微分得到加加速度（加速度的變化率）；如果這個物體的移動速度關係真的很複雜，我們還可以把加加速度拿去微分得到加加加速度（加加速度的變化率）。

　　高階導函數其實也不過只是相對的觀念而已：y'' 是 y' 的微分、y' 是 y 的微分，就像你阿公是你老爸的老爸、你老爸是你的老爸一樣。總而言之，有了這樣的工具和方法，我們便可以很快速地去判斷一個函數的變化趨勢和值得注意的點了。

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留言共 15 篇留言

1：
優質文推

10-20 07:28

腔棘魚：
∠( ᐛ 」∠)＿

10-20 07:31

是時候該睡覺了：
推個

10-20 07:36

樂小呈：
看不懂
但推

10-20 07:37

Honson：
推

10-20 07:43

可i：
佬

10-20 07:53

壞米亞：
有沒有什麼更淺白的解釋關於微分

10-20 08:05

解凍豬腳：
　
微分就是「當其中一個變數發生極小的變化的時候，其他變數跟著變動的量」

比如說某個函數的 (dy/dx) = 3，意思就是當 x 沿著這函數稍微變動一點點的時候，y 跟著變動的量是 x 變動的量的三倍，所以這個 dy/dx 也是瞬間變化率

詳細可以看我小屋前面幾篇關於微積分的文
　10-20 08:08

：
讚讚讚，剛好在學

10-20 08:26

技巧第一aka.飢餓Hunger：
讚讚，我不好的回憶又回來了

10-20 08:29

七星劍：
早安解凍豬腳大哥哥我以前就讀學校是四年制的四技我畢業以後以前抄的微積分的筆記跟課本都搞丟了我是曾經在四技考過微積分0分的人不過我延後畢業2年有順利取得學士學位證明書我就直白地說好了每一題數學題目打自國中的一元二次方程式到大學微積分，其實我發覺到題目要學生求出解答來說，已經不是國小的時候要學生求出的 "距離多遠當中的距離" 與較有難度的"單位換算"，有的是"斜率" "變化率" "微分"，這一些離開學校就沒在討論的導致像是看到需要繪出函數圖型的題目的時候只懂怎麼畫出座標圖，然後後來只上課學習到像是這一篇冷凍豬腳大哥哥寫出來的文章提出來的 "微分了，然後呢" 以下的舉例，我就看到這些文章就想打打字。

10-20 08:39