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先前花了兩篇的篇幅，總算把前置作業完成了。
今天來講講「極限」吧。
如果你有追求經驗的話，你是否曾經有過「和對方曖昧到某個程度，你很確信你可以再和對方變得更親密，但在表白（或確認關係）之前，你並沒有真的和對方正式交往」的情形呢？
現實世界裡，假設我們把人際關係量化，用 80 分來代表兩人正式交往。在曖昧階段的時候，你的分數可能本來是 79 分，你們約會了、彼此靠得更近了，你的分數變成了 79.9 分，之後又可能因為你做了什麼貼心小舉動，變成了 79.99 分……你很確信，你們的親密度確實正在持續往上升，但你始終不是對方的正式伴侶。
如果讓你想起了什麼不好的回憶，先趕緊把眼淚擦乾吧。之前講函數圖形的時候，我們順帶提到了實數具有稠密性。就好像上面提到的例子一樣，你在 79 和 80 之間總是可以找得到一個實數，而這個實數和 80 之間又可以找到另一個實數。
。世界上最接近 80 卻又小於 80 的數是什麼？
畫出一條數線，然後隨意標出 79 和 80：
你很確信 79 不是答案，因為 79 和 80 之間仍然有距離。試著把圖放大，標出 79.9：
答案還是沒出現，79.9 和 80 之間仍然有距離。試著把圖放大，標出 79.99：
還是找不到，79.99 和 80 之間仍然有距離。試著再把圖放大，標出 79.999：
你終於發現它是個無止盡的徒勞——沒有這樣的數。
。極限與趨勢
「如果兩個人就一直這樣曖昧下去但死都不交往，他們之間的關係會隨著親密度持續上升而呈現什麼樣的變化？」為了解決這類問題，我們必須把現有的觀念推展到「無限」，因為它本身就不是個可以用有限的概念去處理的事情。
看到這裡，你應該可以稍微感受到了，既然我們沒有辦法找到那個最接近的固定的數，那麼我們就只能試圖從「趨勢」的角度來描述它。
先從簡單的來舉例吧！
操場上有 7 個男性、2 個女性，男女比為 3.5。倘若每次從操場外安排 1 位男性、2 位女性進入操場，我們可以知道，經過 n 次的安排，男性數量會是 7+n、女性數量會是 2+2n，得到操場上的男女比：
我們知道：
經過第一次安排，男女比會從 3.5 變成 2（男 8 女 4）
經過第二次安排，男女比會從 2 變成 1.5（男 9 女 6）
經過第三次安排，男女比會從 1.5 變成 1.25（男 10 女 8）
經過第四次安排，男女比會從 1.25 變成 1.1（男 11 女 10）
經過第五次安排，男女比會從 1.1 變成 1（男 12 女 12）
……
但如果我們想要知道「操場上的男女比隨著安排次數越來越多，最後會往哪裡靠近？」這樣的問題，那該怎麼辦呢？直覺來說，我們需要假定這個 n 趨近於無限。
第二個問題來了：無限大有多大？
事實上，這個問題沒有意義。既然都叫做無限大了，那當然是沒有限制、越大越好！就跟剛才前面舉例的很像，你問 999 算不算無限大？不算，因為它還可以更大；你問 9999 算不算無限大？不算，因為它還是可以更大……
所以，與其說它是個很大的數，不如說它是一個抽象的概念。以剛才寫的式子來說，經過了無限多次的安排，我們可以這樣表示：
這個 lim 就是 limit（極限），而 ∞ 則是無限大、無窮的意思。
不過，既然是抽象概念，我們要想計算這個極限的值，就只能從原理層面下手。把這分數拆成兩項來看：
先從第一項算起：我們可以想像一下，如果我們把 n 一直放大，那分子的 7 就變得微不足道了。一旦把 7 除以一個無限大的 2+2n，那第一項的值就會無限靠近 0（因為太小了）。
再來是第二項：我們可以想像，如果我們把 n 放大，那麼 n 的影響力就會越來越大，分母的常數 2 變得微不足道，而分子是 n、分母是 2n 的狀態下，這一項就會越來越靠近 ![]()
——畢竟 2n 永遠是 n 的兩倍，無論它多大。
一項是 0、一項是 ![]()
，這兩項加起來自然就會是 ![]()
了。我們可以記作：
因為在這個案例當中，操場上的男女比持續往一個固定的常數靠近，所以我們可以說這個數列是收斂的（convergent），收斂於 ![]()
。
當然也有不收斂的情況。倘若今天的問題改成：「如果你每天往存錢筒投入 100 元，經過無限多天以後，不考慮你能活多久也不考慮存錢筒空間的情況下，你可以存到多少錢？」
我們計算下來發現，隨著時日，存錢筒裡的錢只會越來越多，多到不可計算：
這種最後變成 ∞ 或 -∞ 的情形，我們就會說它是發散的（divergent）。
。左極限與右極限
有的函數情況比較尷尬，它不是每個地方都接在一起。
比如說，如果把 ![]()
畫成函數圖形：
可以發現，在 x=0 的左右兩側，y 的值瞬間從 -∞ 跳到 ∞，這兩種情況我們可以分別表示成：
在 0 的右上角放上一個「+」表示是從右邊逼近，稱為「右極限」；反之，用「-」代表是從左邊逼近，稱為「左極限」。
左極限和右極限不相等的時候，我們就可以說這個函數 x→0 的極限值不存在，畢竟左邊和右邊根本不一樣，那就沒辦法用一個數概括。
講完了，極限就是這樣。其實大部分的極限問題，不外乎就是要思考該點附近的函數值如何變化，而要是遇上了「無限」的狀況，只要考慮誰大誰小、誰是誰的幾倍，再把那些影響極小的東西拿掉，答案就出來了。
。函數的連續性
講完極限，不免要提到函數的連續性，而這也是微積分很重要的前備知識。
所謂的連續正如其名——用白話來說，就是函數的值不能有任何一點斷掉。剛才我們前面已經講了左極限和右極限，那連續就好辦了。
我們只要確保該點存在，然後它的左右兩邊都沒有斷掉，那就可以說它連續。比較神奇的地方是，既然是在微觀尺度下去看，一個連續函數在該點、該點的左極限、該點的右極限的值都會是相等的。
舉個例，假設今天有 f(x) = 2x，我們想檢查 f(3) 是不是連續，那我們只要記得：
1. 檢查 f(3) 是否存在（有定義）：存在
2. 檢查 ![]()
是否存在：存在（左極限和右極限相等）
3. 檢查 f(3) 和 ![]()
是否相等：相等
那我們就可以說 f(x) 在 x=3 處連續。
上面的每一步驟，缺一不可！因為如果我們今天遇到的是這種奇怪的函數：
就會遇上在特定一瞬間函數值跳到別邊去的情況，那我們當然就不能說它連續了。這種道理不難懂，只要正中間、左右邊都存在也都相等的話就是連續，不需要死背。
注意喔，這種函數就是極限值和函數值不同的情況：你可以注意到，當我們把 x 無限趨近於 1 的時候，f(x) 的極限值會非常靠近 1，但 f(1) 的函數值卻是 3，所以千萬不要覺得所謂的極限就是直接把數字代進去，你得弄懂這個函數的性質才能找到答案。
微積分大部分就是根基於「極限」觀念的。瞭解了這些以後，微積分的基礎就會變得非常簡單。如果你發現你一看到微分的定義就開始感到頭痛的話，不要猶豫，趕緊回頭來把極限的觀念補足吧。
創作內容
豬腳生活 (1)
——畢竟 2n 永遠是 n 的兩倍，無論它多大。
畫成函數圖形：
是否存在：存在（左極限和右極限相等）
