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[達人專欄] 數學的極限:友達以上,戀人未滿

作者:解凍豬腳│2020-10-10 13:36:04│巴幣:252│人氣:2486
 
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  先前花了兩篇的篇幅,總算把前置作業完成了。

  今天來講講「極限」吧。

  如果你有追求經驗的話,你是否曾經有過「和對方曖昧到某個程度,你很確信你可以再和對方變得更親密,但在表白(或確認關係)之前,你並沒有真的和對方正式交往」的情形呢?

  現實世界裡,假設我們把人際關係量化,用 80 分來代表兩人正式交往。在曖昧階段的時候,你的分數可能本來是 79 分,你們約會了、彼此靠得更近了,你的分數變成了 79.9 分,之後又可能因為你做了什麼貼心小舉動,變成了 79.99 分……你很確信,你們的親密度確實正在持續往上升,但你始終不是對方的正式伴侶。

  如果讓你想起了什麼不好的回憶,先趕緊把眼淚擦乾吧。之前講函數圖形的時候,我們順帶提到了實數具有稠密性。就好像上面提到的例子一樣,你在 79 和 80 之間總是可以找得到一個實數,而這個實數和 80 之間又可以找到另一個實數。



。世界上最接近 80 卻又小於 80 的數是什麼?

  畫出一條數線,然後隨意標出 79 和 80:


  你很確信 79 不是答案,因為 79 和 80 之間仍然有距離。試著把圖放大,標出 79.9:


  答案還是沒出現,79.9 和 80 之間仍然有距離。試著把圖放大,標出 79.99:


  還是找不到,79.99 和 80 之間仍然有距離。試著再把圖放大,標出 79.999:


  你終於發現它是個無止盡的徒勞——沒有這樣的數。



。極限與趨勢

  「如果兩個人就一直這樣曖昧下去但死都不交往,他們之間的關係會隨著親密度持續上升而呈現什麼樣的變化?」為了解決這類問題,我們必須把現有的觀念推展到「無限」,因為它本身就不是個可以用有限的概念去處理的事情。

  看到這裡,你應該可以稍微感受到了,既然我們沒有辦法找到那個最接近的固定的數,那麼我們就只能試圖從「趨勢」的角度來描述它。

  先從簡單的來舉例吧!

  操場上有 7 個男性、2 個女性,男女比為 3.5。倘若每次從操場外安排 1 位男性、2 位女性進入操場,我們可以知道,經過 n 次的安排,男性數量會是 7+n、女性數量會是 2+2n,得到操場上的男女比:


  我們知道:
  經過第一次安排,男女比會從 3.5 變成 2(男 8 女 4)
  經過第二次安排,男女比會從 2 變成 1.5(男 9 女 6)
  經過第三次安排,男女比會從 1.5 變成 1.25(男 10 女 8)
  經過第四次安排,男女比會從 1.25 變成 1.1(男 11 女 10)
  經過第五次安排,男女比會從 1.1 變成 1(男 12 女 12)
  ……

  但如果我們想要知道「操場上的男女比隨著安排次數越來越多,最後會往哪裡靠近?」這樣的問題,那該怎麼辦呢?直覺來說,我們需要假定這個 n 趨近於無限。

  第二個問題來了:無限大有多大?

  事實上,這個問題沒有意義。既然都叫做無限大了,那當然是沒有限制、越大越好!就跟剛才前面舉例的很像,你問 999 算不算無限大?不算,因為它還可以更大;你問 9999 算不算無限大?不算,因為它還是可以更大……

  所以,與其說它是個很大的數,不如說它是一個抽象的概念。以剛才寫的式子來說,經過了無限多次的安排,我們可以這樣表示:


  這個 lim 就是 limit(極限),而 ∞ 則是無限大、無窮的意思。

  不過,既然是抽象概念,我們要想計算這個極限的值,就只能從原理層面下手。把這分數拆成兩項來看:


  先從第一項算起:我們可以想像一下,如果我們把 n 一直放大,那分子的 7 就變得微不足道了。一旦把 7 除以一個無限大的 2+2n,那第一項的值就會無限靠近 0(因為太小了)。

  再來是第二項:我們可以想像,如果我們把 n 放大,那麼 n 的影響力就會越來越大,分母的常數 2 變得微不足道,而分子是 n、分母是 2n 的狀態下,這一項就會越來越靠近
——畢竟 2n 永遠是 n 的兩倍,無論它多大。

  一項是 0、一項是
,這兩項加起來自然就會是 了。我們可以記作:


  因為在這個案例當中,操場上的男女比持續往一個固定的常數靠近,所以我們可以說這個數列是收斂的(convergent),收斂於


  當然也有不收斂的情況。倘若今天的問題改成:「如果你每天往存錢筒投入 100 元,經過無限多天以後,不考慮你能活多久也不考慮存錢筒空間的情況下,你可以存到多少錢?」

  我們計算下來發現,隨著時日,存錢筒裡的錢只會越來越多,多到不可計算:


  這種最後變成 ∞ 或 -∞ 的情形,我們就會說它是發散的(divergent)。



。左極限與右極限

  有的函數情況比較尷尬,它不是每個地方都接在一起。

  比如說,如果把
畫成函數圖形:


  可以發現,在 x=0 的左右兩側,y 的值瞬間從 -∞ 跳到 ∞,這兩種情況我們可以分別表示成:



  在 0 的右上角放上一個「+」表示是從右邊逼近,稱為「右極限」;反之,用「-」代表是從左邊逼近,稱為「左極限」。

  左極限和右極限不相等的時候,我們就可以說這個函數 x→0 的極限值不存在,畢竟左邊和右邊根本不一樣,那就沒辦法用一個數概括。

  講完了,極限就是這樣。其實大部分的極限問題,不外乎就是要思考該點附近的函數值如何變化,而要是遇上了「無限」的狀況,只要考慮誰大誰小、誰是誰的幾倍,再把那些影響極小的東西拿掉,答案就出來了。



。函數的連續性

  講完極限,不免要提到函數的連續性,而這也是微積分很重要的前備知識。

  所謂的連續正如其名——用白話來說,就是函數的值不能有任何一點斷掉。剛才我們前面已經講了左極限和右極限,那連續就好辦了。

  我們只要確保該點存在,然後它的左右兩邊都沒有斷掉,那就可以說它連續。比較神奇的地方是,既然是在微觀尺度下去看,一個連續函數在該點、該點的左極限、該點的右極限的值都會是相等的。

  舉個例,假設今天有 f(x) = 2x,我們想檢查 f(3) 是不是連續,那我們只要記得:

  1. 檢查 f(3) 是否存在(有定義):存在

  2. 檢查
是否存在:存在(左極限和右極限相等)

  3. 檢查 f(3) 和 是否相等:相等

  那我們就可以說 f(x) 在 x=3 處連續。

  上面的每一步驟,缺一不可!因為如果我們今天遇到的是這種奇怪的函數:



  就會遇上在特定一瞬間函數值跳到別邊去的情況,那我們當然就不能說它連續了。這種道理不難懂,只要正中間、左右邊都存在也都相等的話就是連續,不需要死背。

  注意喔,這種函數就是極限值和函數值不同的情況:你可以注意到,當我們把 x 無限趨近於 1 的時候,f(x) 的極限值會非常靠近 1,但 f(1) 的函數值卻是 3,所以千萬不要覺得所謂的極限就是直接把數字代進去,你得弄懂這個函數的性質才能找到答案。

  微積分大部分就是根基於「極限」觀念的。瞭解了這些以後,微積分的基礎就會變得非常簡單。如果你發現你一看到微分的定義就開始感到頭痛的話,不要猶豫,趕緊回頭來把極限的觀念補足吧。
 

引用網址:https://home.gamer.com.tw/TrackBack.php?sn=4943864
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留言共 19 篇留言

雪之王女‧F‧巧可奈
居然挑此時發文

10-10 13:37

小丑
優質文推

10-10 13:38

閔光
結論:你沒有女朋友

10-10 13:38

你在搞什麼
我看我需要豬腳微積分文了...

10-10 13:38

解凍豬腳
沒錯 學生快期中考了 我得趕進度10-10 13:40
起來
數字是有極限的 可是愛沒有

10-10 13:39

解凍豬腳
不要講那麼多廢話 來喇舌ㄅ10-10 13:40
洨豆腐
豬腳也加入ㄌ數學小圈圈ㄌㄅ...

10-10 14:00

解凍豬腳
我們喇舌ㄉ時候互相用舌頭繞圈圈10-10 14:00
Swat-豹豹模式
讓我們用肛交繞一個圈

10-10 14:07

解凍豬腳
你很噁心10-10 14:08

超越人類

10-10 14:11

洨豆腐
那極限剛教是指塊放進去蛋是又沒真的放進去嗎

10-10 14:14

解凍豬腳
快要 24 歲了但還沒達到 24 歲10-10 14:16
樸實無華ㄌㄓㄓ
請數學小圈圈放過...

10-10 14:15

瞬殺
豬腳當數學家教也不錯(?
超好用的啦!

10-10 14:17

fallsnow小翔

就這樣嗎
我以為會有噁男元素.....好失望.....

10-10 14:32

雞塊
那看極限會頭痛得回去看什麼

10-10 14:36

千古江川鐘樓夜傳聲蕭
真是太棒了 剛好這禮拜要微積分會考

10-10 15:04

璃魂
哈哈哈,如果說讓有些人覺得不過只是個交往要做到這樣,
心裡的os應該很深很深吧。

10-10 15:55

阿銀z
這學期剛好有選修微積分
上課都有點看不懂 還好有豬腳老師的課後小筆記
感覺更加理解惹><
謝謝豬腳老師 <3

10-10 16:09

Reamer
被當兩學期微積分表示頭痛

10-10 19:40

SixDays
老師,我想學微積分 [e3]

10-10 23:35

柳舟&Disoulchaos
我終於能弄清楚Zeno's Paradoxes了 謝謝豬腳

豬腳的排版超讚,講解也很清楚。

10-20 10:50

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