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[達人專欄] 讓我們好好認識「函數」吧

作者:解凍豬腳│2020-09-29 21:30:37│贊助:215│人氣:1973
 
  哈囉大家好,為了因應文章必須用不同字體和排版方式發表在各個平台上,以及配合之後要分享的一系列微積分觀念,所以換個方式把這些文章更完整地重新再寫一次。這次希望可以連同「零基礎」的族群也考慮進去,並且盡量在「嚴謹」和「淺顯易懂」之間取得平衡。

  在台灣的國中數學課程裡,我們學到:「函數是兩個集合之間的對應關係。」當你試圖想了解這句話的時候,也許一不留神,就會在數學課本的下一行突然看到長得像這樣的式子:

f(x) = 3x+7

  「What?在我的理解中,x 不是未知數嗎?我只會解一元一次方程式啊大哥!為什麼 f(x) 會等於 3x+7?」我相信國中時期就開始放棄數學的人,多數人都是在這關被打敗,從此不再踏入數理之門一步。

  記得國中的時候我也因為函數而受挫。那段日子正逢叛逆期(或許吧?但似乎比較像是單純愛玩),所以上課老是睡覺、發呆,我的情況可以說是根本不知作業為何物。當我段考前兩天回過頭來要惡補進度的時候,才發現我已經看不懂了。後來也許是老媽以手上的衣架作為明燈,指引我的方向,我才終於弄懂函數是怎麼一回事。

  在我解釋函數是什麼之前,讓我先考考你以下幾個問題:

  一、1 月一共有幾天?
  二、2 月一共有幾天?
  三、「有 31 天」的月份是幾月?
  四、「有 31 天」的月份有幾個?
  五、攝氏 30 度必定等於華氏 86 度嗎?

  是的,相信你心裡一定很快就會浮現出一些答案,但是其中更加聰明(奸詐?)的讀者應該又會隨後補充答案。

  正確來說的話,答案是:

  一、31 天
  二、平年 28 天,閏年 29 天
  三、1 月、3 月、5 月、7 月、8 月、10 月、12 月
  四、7 個
  五、是

  沒錯,不要懷疑,我舉例的這五個問題都跟「函數」的性質有很大的關係。

  函數這個東西呢,就好像一台一般的自動販賣機一樣,當你按了特定的按鈕,它就應該要滾出一罐特定的飲料,而且只要你每次都按一樣的按鈕,那它每次滾出來的東西必定相同,這就是函數。

  譬如,以月分來說,我們每次問:「平年的時候,一月有幾天?」的時候,一定都會得到 31 天的答案,沒有例外;當我們問:「平年的時候,二月有幾天?」的時候,一定都會得到 28 天的答案,仍然沒有例外;其他月份亦然。

  所以我們可以說:「因為天數受到月分而定,所以同樣都是平年的時候,天數是『月分的函數』;同樣都是閏年的時候,天數也是『月分的函數』。」

  但是,當我們沒有在事先說好是平年或閏年的情況下,直接問你二月有幾天呢?這時候你就沒辦法乾脆地回答了。因為你不知道是平年還是閏年,所以二月可能有 28 天,也可能有 29 天——世界上豈有按了按鈕卻隨機掉出兩種飲料的自動販賣機呢?那不就是詐騙了嗎?所以,這時候天數就不是月分的函數了,因為當我遇到二月的時候,對應的天數不是唯一的。

  因此,一旦牽扯了平年閏年,問題就會變得有點複雜。我們先姑且當作每年都是平年吧!這樣也比較易於解說。

  因為「函數」的英文叫做 function,直譯過來也可以稱作是一個「方法」(在程式設計的領域裡,會有人這樣說),所以一般習慣上我們在隨意假設一個函數的時候,習慣把它的名字取為 f。用數學式來表達的話,我們可以列出:

  f(1) = 31
  f(2) = 28
  f(3) = 31
  f(4) = 30
  f(5) = 31
  f(6) = 30
  f(7) = 31
  f(8) = 31
  f(9) = 30
  f(10) = 31
  f(11) = 30
  f(12) = 31

  月分是 1 的時候,經過了 f 函數的轉換,得到了 31 天的結果;月分是 2 的時候,經過了 f 函數的轉換,得到了 28 天的結果……。

  沒錯,這就是函數的核心觀念:「對應」。

  有常識的我們也知道,一年 12 個月當中,如果以平年計算的話,「有 28 天」的月分有 1 個、「有 30 天」的月分有 4 個,「有 31 天」的月分有 7 個。無論你怎麼重新計算,只有 28 天的月分一定只有 1 個、只有 30 天的月分一定只有 4 個、總共有 31 天的月份一定有 7 個。同樣地,我們也可以把這樣的對應關係寫成數學式(假設這個函數叫做 g):

  g(28) = 1
  g(30) = 4
  g(31) = 7

  至於「有 31 天的月分」是「幾月」,可就沒有必定的答案了。因為它可能是 1 月、可能是 3 月、可能是 5 月、……(中間省略)、可能是 12 月,我們總不可能寫得像這樣:

  h(31) = 1
  h(31) = 3
  h(31) = 5
  h(31) = 7
  h(31) = 8
  h(31) = 10
  h(31) = 12

  如果這麼寫的話,那你說從今以後遇到 h(31) 的時候,我們到底要計為多少才是正確的呢?所以,只要這之間出現了「一對多」的關係,我們就不能說它是函數。因此,月分並不是「天數的函數」(注意語序!「A 是 B 的函數」跟「B 是 A 的函數」並不同)。

  綜合以上的說明,我們就可以知道「1 月一共有幾天」可以是函數關係(因為一定都是 31 天),「『有 31 天』的月份有幾個」也可以成為函數關係(因為一定是 7 個),但是「2 月一共有幾天」或是「『有 31 天』的月分是幾月」都會出現不一定的答案,所以不能成為函數關係。

  是的,簡單來說,函數就好像一個特定服務的窗口,當你想要查詢資料的時候,只要給這個服務台的人員相關資訊,他就會告訴你一個特定的答案,而「從輸入的值轉變為輸出的值」的規則,就是這個函數的定義。

  我們剛才定義的函數 f(x),這個 x 只能是 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12 的其中一個,我們就可以說 f 的「定義域」是「1 ≦ x ≦ 12,  x ∈ Z」(x 不小於 1 也不大於 12,且 x 為整數),而 f(x) 可能是 28、可能是 30、可能是 31,我們就可以說 {28, 30, 31} 這個集合是 f 的「值域」。

  剛才我們就順手把定義好的 f(x) 寫成定義的式子了:
  f(x) = x 月的天數, 1 ≦ x ≦ 12, x ∈ Z

  那上面剛才定義的 g(x) 怎麼寫成數學式呢?我們可以這麼寫:

  

  而這個 f(x),我們可以讀作「f of x」,g(x) 可以讀作「g of x」,以此類推。

  這兩個例子的定義看來是很人為的,都是從特定的數字對應到特定的數字。倘若今天某個函數有規律可循,輸入的數值可以有無限多種可能,我們總不可能逐一列出,對吧?

  而在我們剛才的五個小問題當中,就有一個可以很單純用一個數學式來表達的函數——攝氏溫度與華氏溫度之間的關係。我們都知道,攝氏溫度乘以 ,然後再加上 32,就可以轉換成華氏溫度的數字,譬如攝氏 50 度,我們只要把 50 乘以 (變成了 90),再加上 32,就可以知道攝氏 50 度等於華氏 122 度,以這個函數來說,用數學式來表示可以寫作 f(50) = 122。

  所以,我們可以定義一個叫做 f 的函數,只要輸入了攝氏溫度 x,就會轉換出華氏溫度 f(x),它們的數學關係式如下:


  是的,這行就是整個 f(x) 函數的定義了。它代表的是,如果今天我想計算 x 的函數 f(x),那我就必須把這個 x 乘以 ,然後再加上 32,就是 f(x) 的值,而這個 x 可以任你填(此處不探討實數域以外的問題)。在數學上,我們輸進去的值 x 叫做「自變數」,輸出來的值 f(x) 叫做「應變數」。

  有了「函數」的觀念以後,各領域的人士在分析數據的時候,就更能明確地了解數值之間的關係,而因為多數情況下這些關係被簡化成了代數的操作,所以也就變得更利於計算。
 
引用網址:https://home.gamer.com.tw/TrackBack.php?sn=4932709
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留言共 38 篇留言

台灣嘻哈酷老頭
才華洋溢

09-29 21:33

☆=寂星=★
數學霸佬

09-29 21:34

alph
豬腳也要分享數學了嗎 [e12]

09-29 21:34

解凍豬腳
以前就有,但當時文章寫得有點亂,就先隱藏起來了09-29 21:35
你在搞什麼
我滑巴哈是為了降低智商不是來學數學的

09-29 21:39

清廉正直の記者
才華洋溢的豬腳

09-29 21:43

更新的人格
簡略如下:
Input number or something

(丟進鎔爐裡翻騰好一陣子)

Output Anser

09-29 21:54

現在沒有那幾時分的呢
星爆氣流斬=雙刀x桐人+科巴茲送往

09-29 21:59

@@
例題:
132
Σ(k)=
k=6

09-29 21:59

yoyohung
微積分、線代跟離散也會有ㄇ

09-29 22:01

我喜歡吃飯

09-29 22:01

鄭曉麥
寫程式的時候函數也是灰常重要

09-29 22:02

洨豆腐
謝謝 豬腳,我成功寫出導引飛彈的程式了

09-29 22:08

Swat-豹豹模式
比起函數 我更想好好認識你

09-29 22:10

遙▪Iao
謝謝豬腳 我覺得我可以考上臺大了

09-29 22:17

Iandmyself
數學佬

09-29 22:26

我只是路過的蘿莉控
豆腐大大 記得往某個地方發射哦w

我們老師之前是直接說把F(x)當成另一個未知數來理解w


我記得豬腳好像寫過微積分的教學?沒記錯的話我好像是因為這樣知道你的www

09-29 22:30

空氣感日音醬♪
教c++函式ㄇ

09-29 22:33

路過的一隻山姆
在學函數以前就已經學過程式了
所以學函數時完全沒有疑惑

09-29 22:35

Gary Liang
謝謝豬腳 我更了解ㄌ

09-29 22:53

快要崩潰的人
下一次來個量子力學吧

09-29 23:24

通知達人
看完的瞬間我茅塞頓開 輸O管都通暢了不少 謝謝豬腳 謝謝...

09-29 23:25

人生的容錯率其實很低
靠......我還以為你要講她們。
https://www.youtube.com/watch?v=xnku4o3tRB4

09-29 23:55

餘數
你怎麼會這麼多東西...
之前看你會繪圖 日文和程式語言
我看哪天癌症無痛特效藥都被你給研發出來了

09-29 23:56

熊貓
希望可以介紹微積分學中的拉格朗日乘數

09-29 23:59

熊貓
函數介紹得非常清楚!

09-30 00:00


f*ck(dark deep)= tofutm ass

09-30 00:06

雞塊
曾經有函數卡過
不過某天突然就通了 然後學程式遇到也就沒阻礙了

09-30 02:28

台灣藍鵲 Magpijuana
來謝恩

09-30 08:17

雪之王女‧F‧巧可奈
純推

09-30 08:45

玥蝶
推…(*¯︶¯*)

09-30 12:58

Huii
樓上說線代的 那東西說真的 講了也很多人不懂 別誤會 我不是說在座的各位都不懂 但是線代是真的太抽象了

09-30 19:17

flas
函數怎麼定義阿?[e12]

09-30 19:19

しろ
f(1919)=114514

09-30 20:00

peacexlove
身為數學系水深火熱出身的人,我會看著你們笑,線性代數只是大一塞牙縫的,有一門現代數學學科,範疇論,其證明足以讓數學系的人笑著說,哇,好一個抽象廢話。縱使你懂函數,一但函數代數化可以讓你再一次懂不了

09-30 20:12

alice
五分之九 一直圖超大 笑死 (重點。重點。重點)所以要超大×3 的意思

10-01 13:52

我整個跳起來
才華洋溢

10-04 09:41

宅‧無言
能開系列課程嗎?

10-16 09:25

隨波逐流的廢物
先存起來==

10-16 09:52

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