令I是環R上的理想，則這個理想的根(radical)定義為集合{a ∈ R | a^n ∈ I for some integer n}記為Rad(I)。
它是理想。因為你任取根內的元素r(假設他自乘n次後會落在I內)，乘上隨意a，ra的n次等於r的n次乘上a的n次，因為r^n位於理想I內，所以他乘a^n會落在I內，也就是ra是Rad(I)的元素。
根理想：Rad(I)總會包含I，如果Rad(I)=I，稱理想I是根理想。
極大理想：一個環R上的理想I如果不被任何其他理想(除了R)包含，就稱為極大理想。
例如，3Z是極大理想但9Z不是，11Z是極大理想但33Z不是。你可以發現Z內的理想nZ是極大理想若且唯若n是質數。
真理想:環R上的理想I稱為真理想若且唯若I不等於R。也就是確實比R還小的理想都稱為真理想啦。
質理想：一個環(R,+,*)上的真理想P是質理想若且唯若對於任意兩個R內的理想A跟B，如果AB在P內，則A在P內或B在P內。
交換環有比較簡單的等價描述版本，一個交換環(R,+,*)上的真理想P是質理想若且唯若任意兩個R內的元素a跟b，如果a*b在P內，則a在P內或b在P內。
例如，3Z是Z內的一個質理想，因為如果有任何東西相乘是3的倍數，那麼一定至少其中一個是三的倍數。但6Z就不是Z內的質理想，因為4*9=36，36是6Z內的元素，但4跟9都不是。
整數內的理想nZ是質理想若且唯若n是質數。
事實上，極大理想都是質理想，但反之不成立。這個證明沒有很容易想到。我們需要定義新的環，然後下期在解釋。
整環:一個環是整環若且唯若它滿足三件事:(1)它是交換環、(2)它有乘法單位元、(3)不會有兩個非零的東西相乘得到零。(3)也可以等價地說:非零的東西有消去律。
創作內容
其他類型的理想
世界的惡，代數幾何 (25)