當我回顧當初讀的電子學，很多視為理所當然的東西，一旦仔細探討就會感覺非常奇怪。這才發現，原來這就是學術上存在的悖論。
我們以最簡單的電容充電為例。
假設有一個理想電壓源，其電壓為V，對一理想電容，其電容值為C，進行充電。透過積分可導出，此電容最終獲得的能量為0.5*C*(V²)。由於充電完成後，電容上儲存了電荷量為Q，根據另一式子C=Q/V，能量也可以寫成0.5*Q*V。
這時出現一個問題，我們知道這個理想電壓源，實際上對於這整個電路供給了能量，其值為 Q*V。但為何最後電容只吸收了 0.5*Q*V ，也就是一半呢？剩下的一半跑哪去了？
我們來看幾種網友的回答：
- 說法1：剩下一半能量消耗在電阻、或是電線的電阻上了
- 反駁：整個電路只有理想電壓源、理想導線跟理想電容。哪來的電阻可以消耗能量？
- 說法2：轉變為電磁波，以另一種形態儲存著(displacement current?)
- 雖然我有學過電磁學但還是請大神來解答
- 說法3：反正就是會耗一半能量，因為是數學導出來的，就跟複數不存在但大家還是在用啊
- 完全放棄直覺觀念理解，理論推導派
非常湊巧，維基百科出現了同樣的條目，雖然維基百科並非完全正確，但我覺得這篇的分析很有條理。這篇是把理想電壓源換成電容，變成充好電的電容A，對整個電路中的電容A跟B充電，概念跟電壓源對電容充電差不多。以下翻譯：
這是一個在很多電子學相關文獻中探討的老問題。跟其他科學上的悖論不同，這個悖論並不來自於基礎物理學，而是來自電路理論中對於「理想電路」定義的侷限。假定電路是由理想的電路元件構成，則上述的描述在物理上是無法實現的，在電路理論中這種現象很常見。
如果連接兩個電容的導線、開關跟電容自身都被視為理想，也就是不存在電阻或電感特性，則關閉開關瞬間，會將兩個不同電壓值的點連接在一起，造成一「 無限大 」的電流在電路中流動。 「無限大」的現象將造成一個沒有被假設的狀況出現，因此解決方法需要放寬幾個電路元件的特性。為了解決這個問題，將根據我們想要哪種電路元件的特性「被放棄」來決定：
簡單來講，問題出在導線
白話一點就是說，為了理想化電路，我們經常會假設導線沒電阻也沒電感特性，但這樣假設就會出現「無限大電流」這樣不符合電路理論的現象。為了避免電路理論出現意料之外的特性，我們 不能假設導線既沒有電阻也沒有電感成分 ，一定要保留某個非理想的特性
狀況0(理想導線)：大多數人都是卡在這裡。假設導線沒有電感特性、也沒有電阻特性，根據I=V/R，因為R=0所以該電路的電流為無限大。因為電路理論中不允許無限大電流的存在，因此此種情形下無解，後續能量跑哪兒去的討論也沒有意義。
狀況1：假設導線只有電感特性、沒有電阻特性 ，電流就不會是無限大，電路也不會消耗能量，最後也不會達到穩定狀態，而是會持續震盪。此時整個電路就是一個LC電路，電荷會在兩個電容間來回震盪，電容上的電壓和電流會成弦波震盪。沒有任何能量會消耗，此時總能量=兩個電容儲存的能量+導線造成的磁場儲存的能量。
狀況2：假設導線只有電感特性、沒有電阻特性、而且有非0的長度，這個震盪電路將會作為一個天線，並且會藉著輻射電磁波而損失能量。 整個電路其實就等同於RLC電路。電流的變化將呈現指數衰減弦波的形式。此時兩個電容儲存的只剩原本提供能量的一半，剩下消失的一半能量是以電磁波的形式輻射出去。
狀況3：假設導線只有電阻特性，則等效於RC電路，且電流會以指數形式衰減至0。此時兩個電容儲存的只剩原本提供能量的一半，剩下消失的一半能量是以熱的形式在導線上消耗掉，且不管導線電阻值為何，能量都會消耗掉一半。導線電阻值決定的是消耗能量的速度快慢，也就是所謂的RC時間常數。
狀況4：假設導線有電阻、電感特性、而且有非0的長度作為天線，消耗的能量依然是一半，只是消耗的能量同時包含了輻射出去的電磁波以及電阻消耗的熱。
下面還提到一個更極端的例子，能量不只消失一半，而是完全消失了？
假設一個電容被充電到V，另一個電容被充電到-V，並將V跟-V對接起來。因為最後電壓被抵銷為0，最終兩個電容儲存的能量為0。代表原本儲存的能量完全消失了。
最後附上表格整理：
| 導線具備的非理想特性 | 狀況0 | 狀況1 | 狀況2 | 狀況3 | 狀況4 |
| 電阻特性R | x | x | x | o | o |
| 電感特性L | x | o | o | x | o |
| 長度非0 | x | x | o | x | o |
| 剩下能量跑去哪 | 違反電路理論 探討無意義 |
儲存在導線 產生的磁場上 |
在導線上以電磁波 形式輻射出去 |
在導線上以熱 形式消耗掉 |
電磁波輻射 +熱消耗 |
| 備註 | 理想導線下 此題無解 |
LC (能量永遠保持 在電路上) |
RLC | RC | 實際導線 |
