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這篇來講一下基本的積分技巧——對，真的很基本的那種。
。積分的本質
在講積分技巧之前，我們先來討論「積分」這件事情的本質吧。
有了前面幾篇相關文章的背景知識之後，我們知道要想微分大部分的函數是不困難的，這是因為我們在求取導函數的時候通常都有固定的規則可循，例如 f(x) 的導函數就是在 Δx 趨近於 0 的情況下，把 Δf 和 Δx 兩者相除得之。光是基於這點，我們就可以得到冪函數 
的微分結果了。
的微分結果了。 除此之外，我們還透過最基本的 
延伸出微分乘法律、除法律、連鎖律這堆微分工具，甚至再基於前面這些和等量公理綜合起來得到了對數函數、指數函數的微分結果。有了這些工具，只要不是長得太奇怪的函數，我們都能夠輕易地用標準的流程找到它的導函數。
延伸出微分乘法律、除法律、連鎖律這堆微分工具，甚至再基於前面這些和等量公理綜合起來得到了對數函數、指數函數的微分結果。有了這些工具，只要不是長得太奇怪的函數，我們都能夠輕易地用標準的流程找到它的導函數。 ——那積分呢？
回顧上次講的積分，其實積分的概念就是：如果我們能找到「誰」微分以後會得到 f(x) 的結果，那我們就可以說它是 f(x) 的反導函數（或是不定積分）。
實際上，微分的過程很簡單，但反過來就會變得很困難。
為什麼困難？想像一下現在你面前有一個人。要是你知道他的名字，那麼我們若想求得他的姓名筆畫總數，這是很簡單的：只要拿出筆來一筆一筆寫下就有答案了。
可是倘若情況反過來，假設今天你不知道他叫什麼名字，只知道他的姓名總筆畫數是 27，那麼即使你知道筆畫是怎麼計算的，也無法只憑這個 27 找到這個人的名字。
微分跟積分的差別就像這樣。
。積分的技巧
就算是碰運氣也好，我們還是可以努力看看。
積分的技巧，如果要用最簡單的方向來概括的話，那就是「利用既有的微分規律，試圖拼湊出符合要求的積分結果」。比如說，如果遇到了 
這種積分式，要是傻傻地套入冪函數的公式，就會出現分母為 0 的詭異情況，使得我們求不出結果。不過，因為我們曾經把 ln x 微分得到 
，所以也同時藉此知道了 的結果應該要等於 ln |x| + C。
這種積分式，要是傻傻地套入冪函數的公式，就會出現分母為 0 的詭異情況，使得我們求不出結果。不過，因為我們曾經把 ln x 微分得到 ，所以也同時藉此知道了 的結果應該要等於 ln |x| + C。 下面就來講講代換積分法。
。代換積分法
代換積分法是最基本的一種，也有人會稱它為「變數變換法」或「換元積分法」。
它的核心概念就跟微分連鎖律類似：透過變數的代換，把積分的對象換成更簡單的方式，最後再代換回來，就得到了積分的結果。
舉個例子：
按照以前學的，你應該很清楚把 
對 x 微分後會得到 ，換句話說如果把 對 x 積分就會得到 
。
對 x 微分後會得到 ，換句話說如果把 對 x 積分就會得到 。 不過現在的情況可就不同了，因為今天題目中 e 的指數是 2x，但我們卻是對 x 積分，這樣積下來的結果肯定不會是 
這麼簡單——是的，
才會得到 ，這概念跟我以前一再強調的「微分的時候要搞清楚微分的對象是誰」一樣，積分的時候同樣要注意積分的對象是誰，因為每個變數的微小變化量比例都不同。
這麼簡單——是的， 才會得到 ，這概念跟我以前一再強調的「微分的時候要搞清楚微分的對象是誰」一樣，積分的時候同樣要注意積分的對象是誰，因為每個變數的微小變化量比例都不同。 為了把 2x 處理掉，我們可以令 u = 2x，使得原式變成：
不過問題來了，我們沒辦法把 
直接對 x 積分，所以我們必須要弄清楚一件事：「在微小變動的那瞬間，『u 的變化量 du』是『x 的變化量 dx』的幾倍？」
直接對 x 積分，所以我們必須要弄清楚一件事：「在微小變動的那瞬間，『u 的變化量 du』是『x 的變化量 dx』的幾倍？」 既然牽扯到微小變化量，那當然就要再使用到微分的運算，我們知道：
經由移項，我們得到 du = 2dx。既然有了 dx 和 du 之間的關係，我們自然就可以把原式的 dx 給換掉了：
確認原式只有和 u 相關的 ，也確實是對 u 積分（du），那麼我們就能夠順利地把它積出來了。
，也確實是對 u 積分（du），那麼我們就能夠順利地把它積出來了。 再舉一個稍微複雜一點點的例子：
我們可以預想得到，把 3x² - 7 微分以後會得到 6x，也就是 d(3x²-7) = 6xdx，剛好原式分子也有 2xdx 可以搭配，接下來 6xdx 和 2xdx 這種只差在係數上的都可以提出來解決：
因為 du = 6xdx，所以 2xdx 當然就是 
個 du。
個 du。 這麼做我們就能把跟 x 有關的部分都先處理掉，把整個積分式變成只跟 u 有關，等到積完再換回來就好了。仔細觀察上面的過程，會發現這個拿來代換的媒介 u 微分後剛好也要可以和原式配合才行。倘若今天換成：
那就不會是單純的代換積分法能夠解決的事情了，而這也正是積分做起來通常比微分還要困難的原因。凡事不總是完美的，我們只能在特定的情況下求取積分——簡單來講，這個函數必須長得剛剛好——因此，積分題目一般都是盡可能以「已知的微分規則」反過來判斷一個函數的反導函數應該長什麼樣子。
。當代換法遇上定積分
定積分的範圍在代換的時候也很重要。就拿剛才前面的範例來說，倘若今天我們要求的是這樣的定積分：
你首先要注意的是：「這裡的 [2, 5] 範圍是對誰而言？」
回想一下我們當初開始瞭解「積分」的時候，這裡的 [2, 5] 是指在 x ∈ [2, 5] 的範圍。既然今天把積分的對象從 x 換成 3x² - 7 了，那麼倘若我們真的就直接計算：
那麼積出來的東西就有問題了。因為實際上它就等同於：
只是變數名稱不一樣而已。用眼睛看都知道， 和 顯然是不同的東西，所以當我們把 x 換成 3x² - 7 之後，定積分的範圍也應該要循著相同的關係代換，結果才會正確。
和 顯然是不同的東西，所以當我們把 x 換成 3x² - 7 之後，定積分的範圍也應該要循著相同的關係代換，結果才會正確。 把積分範圍的上下界代入，由於我們是令 u = 3x² - 7，因此 x ∈ [2, 5] 就會照著這樣的關係對應到 u ∈ [5, 68]，也就是說這題代換以後，整個題目就應該要被簡化成這樣：
在計算定積分的時候，既然已經把所有跟 x 有關的東西都處理完，那麼我們之後就再也不需要管原先的 x 和 u 之間是什麼關係，因為我們已經知道這兩個積分結果相等了：
沒錯，我們不需要再把 u 換回來！因為我們計算定積分的時候在乎的是積出來的值。
代換積分法的核心觀念就是「在能夠知道新變數和舊變數之間的關係的前提」之下，把舊的變數換成新的變數，再直接從新的變數積出結果來。只是，什麼樣的積分可以用代換法、什麼樣的積分不行，這就需要憑靠經驗——當然，既然文章開頭已經提過積分不是容易的事，那世界上當然也會有「即使使用各種常規的積分技巧也無法直接積出來的式子」，例如：
代換積分法可以解決的種類並不少，甚至也有利用三角函數的特性來處理特定積分式的例子。積分的題型實在不太可能單純用一篇文就列舉完，如果真要列舉起來的話，這篇文大概就變成講義文了吧，所以講個核心概念就好。
積分的技巧實際上也不只代換法一種，之後再來聊聊別的技巧吧。
