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在微分的基本技巧當中，對數微分法可以算是一系列方法裡的最後一種。其實關於微分的應用還有很多東西可以講（譬如全微分、線性近似），不過並不是每個科系的學生都會需要用到，等講完對數微分法以後就直接講積分吧，剩下的東西之後再說。
上次說明對數（log、ln）的時候，我們提到過：凡是不好處理的指數，只要使用對數函數就可以把指數提到函數外面，成為係數：
在處理複雜的微分問題的時候，我們一樣可以利用對數來簡化它。上次介紹過「e」這個常數的特殊性質，所以在微積分領域當中，最好用的應該會是 ln 而不是 log。
可以想像，既然今天使用對數來簡化算式裡的項目，那麼總會有很大的機率遇上「需要把 ln x 對 x 微分」的情況。為了先準備好未來可能會用到的工具，我們試著求求看 
吧！
吧！。ln x 的微分
學到對數函數微分的時候，我們會很常需要用到這兩個公式：
（上次講對數函數的時候提過）
ln x 算是一個比較特殊的函數。我們想證明 ，要是直接套用定義的話：
，要是直接套用定義的話：
你會發現最後出來的東西很複雜。雖然繼續做下去確實可以直接利用 e 的定義來得到結果，但我相信你不會想這麼做的。
我們可以利用 ln 函數的本質 
拐個角來嘗試：
拐個角來嘗試：
成功了！這就是利用微分連鎖律來證明 的過程。使用微分連鎖律的時候一定要注意分母標示的微分對象是誰，不然你會看不懂這個過程怎麼來的，這個當時再三強調過，千萬不可以搞混。
的過程。使用微分連鎖律的時候一定要注意分母標示的微分對象是誰，不然你會看不懂這個過程怎麼來的，這個當時再三強調過，千萬不可以搞混。。有了這樣的工具，就能用來應付複雜的函數
假設今天有一個函數：
直接利用除法律和乘法律的話，雖然也不是無法達成目的，但肯定比較麻煩。我們直接利用對數可以「化指數為乘法、化乘除為加減」的特性，把它拆下來，然後經過微分連鎖律拆成該拆的項目，再移項一下就可以得到結果：
這個看起來稍微複雜一點。實際上，我們只是把先前曾經提過的各種規律混合起來做而已，遇到什麼就使用什麼：
log(AB) = log A + log B
看不懂過程的話，我們拿 
對 x 的微分過程來分解動作，可以注意到我們只不過是運用了上面的幾種規律而已，其他都是比照辦理：
對 x 的微分過程來分解動作，可以注意到我們只不過是運用了上面的幾種規律而已，其他都是比照辦理：
ln y 對 x 微分也同理，因為我們知道 ln y 對 y 微分的結果是 
，套用到微分連鎖律就可以得到：
，套用到微分連鎖律就可以得到：
它的主要原理就是因為使用對數、套用連鎖律的時候恰好會多一個 
出來，所以我們只要經過整理，就可以得到我們想要的 ，同時又具備把指數化簡運算的功能。
出來，所以我們只要經過整理，就可以得到我們想要的 ，同時又具備把指數化簡運算的功能。。x 的 x 次方，怎麼微分？
這也是個經典題。我們剛開始在學微分的時候學過最基本的規律：
但這僅限於指數是常數的情況下。你可以想像一下，當 x 在變動的時候，
無論是底數還是指數都在跟著移動，想當然爾，這就跟 
（C 為常數）完全不可比擬。即使直接使用微分的基本定義（令 Δx → 0）來求取導函數，你也不會得到 
這樣的結果。
無論是底數還是指數都在跟著移動，想當然爾，這就跟 （C 為常數）完全不可比擬。即使直接使用微分的基本定義（令 Δx → 0）來求取導函數，你也不會得到 這樣的結果。 簡單來說：如果你認為 的話，那你就太天真了，因為這樣的想法從根本上來看就已經有問題，自然不能通用。
的話，那你就太天真了，因為這樣的想法從根本上來看就已經有問題，自然不能通用。 這種情況下，我們一樣使用對數微分法來處理：
還是一樣老概念，遇到嵌套兩層的項，就使用連鎖律；遇到相乘的組合項，就使用乘法律，只要整理一下把 整理到一邊，就得到我們想要的了。
整理到一邊，就得到我們想要的了。 我們甚至可以在「知道 」的前提下，利用對數微分法推出 ：
」的前提下，利用對數微分法推出 ：
因為「常數」的英文是 constant，所以習慣上我們會用它的字首 C 來表示一個常數。
當然，只要想法是對的，無論你是用正規的做法還是對數微分法，得到的結論都會是相同的，只是我們使用了不同的方法去達成目的而已。總而言之，只要遇到麻煩的指數問題，用對數就可以去解決它。
如果還要嚴謹一點的話，可以把 ln 裡面的真數加上絕對值（比如把 ln x 記為 ln |x|），規避真數小於 0 而導致 ln 無意義的情況。
對數微分法大概就是這樣了，接下來的期中考就請大家好好加油吧。
