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希羅(海龍)如何證明海龍公式

作者:他是誰ehsiohw│2018-09-14 23:24:02│贊助:16│人氣:83
記得以前國中老師有教一些三角形面積速算法,海龍公式是其中一個,老師沒有解釋為什麼。
結果寫考卷時題目有誤,導致海龍公式沒用後來學到用餘弦定理證明海龍公式。
不過,海龍公式的發現者--希羅並不是用餘弦定理證明的,而是用眼看,用腦想出來的。

希羅是怎麼想出海龍公式的呢?首先先任意畫出一個三角形

然後做出內接圓和內心(三角平分線交點)

令內接圓圓心為I,交三邊於D、E、F
根據角平分線性質,可得下圖:

2x+2y+2z=三角形周長
所以x+y+z=s(周長的一半)
再令線段
AB=c=x+y
AC=b=x+z
BC=a=y+z
可以得到下圖:


1.
作IC垂直IL,AC垂直AL,如下圖:

連接CL,如下圖:

因為角CIL和角CAL=90度,所以AILC四點共圓

2.
根據內心性質,角度平分,可得下圖:

2x+2y+2z=360度
x+y+z=180度

因為AILC四點共圓,所以角AIC+角ALC=180度
又因為角AIC=x+z
所以角ALC=y


根據1.和2.
角CAL=角BFI=90度
角ALC=角BIF
所以三角形BFI和三角形CAL相似,如下圖:

後面就用相似形邊長化簡,但還有不少步驟
(AC交IL於K,三角形ALK相似三角形KEI……)
我累了……之後有機會再更吧

引用網址:https://home.gamer.com.tw/TrackBack.php?sn=4130123
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留言共 9 篇留言

闇魂赤眼真王之platypus
我只會用餘弦證
https://truth.bahamut.com.tw/s01/201710/8927b5b9cca1c6a5dc388ecfebc711e4.JPG

09-14 23:27

他是誰ehsiohw
https://truth.bahamut.com.tw/s01/201809/b53a25f6a275f89fe5e75e302bb1b728.JPG 09-14 23:45
他是誰ehsiohw
我的手稿,可是要轉成文字解釋好難還有用小畫家畫圖好累[e18]09-14 23:46
鈴鈴
我都在睡覺

09-14 23:34

他是誰ehsiohw
周公Online隨時隨地登入09-14 23:47
Crab
下拉

09-14 23:36

他是誰ehsiohw
正確09-14 23:48
夜貓Nightcats
趕快給個GP讓別人以為我看得懂

09-14 23:48

他是誰ehsiohw
我還沒寫完欸w09-14 23:51
ㄈㄈ✿
也太認真 話說海龍公式不是高中教的嗎??

09-15 01:03

他是誰ehsiohw
忘記了[e18]09-15 23:21
蝸蝸牛(๑•ㅂ•)
靠北 我只知道海龍公式不知道怎麼證明= = 國中補習班先偷教了

09-15 01:55

他是誰ehsiohw
我覺得把公視背起來比較簡單,證明太麻煩了而且用不到09-15 23:22
他是誰ehsiohw
式啦幹09-15 23:23
黑兔
國二知道這個東西,補血班證明有聽沒有懂

09-15 07:20

他是誰ehsiohw
背起來就對了09-15 23:22
棉花糖肛門吞噬者
國中老師有教
但我什麼都聽不懂

09-15 11:17

他是誰ehsiohw
+1[e27]09-15 23:23
瑄瑄瑄—統測模式
又是數學ヽ(ˊ Дˋ )ノ

09-15 23:10

他是誰ehsiohw
(再次溺水[e26]09-15 23:21
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