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[達人專欄] 淺談教改:別再誤會「建構式數學」了!

作者:解凍豬腳│2018-06-18 22:40:25│贊助:1,541│人氣:13408

【前言】

  如果正在閱覽本文的你是個成年人的話,你應該已經經歷過 9 至 12 年的數學教育了。在談建構式數學之前,請先思考一下這三個問題:

  1. 你喜歡數學嗎?
  2. 如果不喜歡的話,為什麼你不喜歡數學?
  3. 你在求學階段遇到的所有數學老師,在你心中的評價如何?

  相信提及這三個問題,很多人就會開始聯想到以前曾經背過的那些公式:2a 分之負 b 加減根號 b 平方減 4ac、a 平方減 b 平方等於 a+b 乘以 a-b……

  哇靠,那真的是惡夢。

  數學題目拐了幾個彎還不打緊,要是碰上了看來複雜的公式,不少人就卻步了。2018 年的大學學科能力測驗,甚至有高達 42.11% 的該屆考生數學成績不超過五級分!(註:大學學科能力測驗,臺灣的升大學主流考試管道。國文、英文、數學、社會、自然各採 15 級分計分制度。)

  相對於其他科目可想而知,數學是許多臺灣學生不願面對(或是找不到方法攻克)的大魔王,而其中常見的理由便是:「公式太多了!我背不起來。」


【建構式數學】

  實際上,上述的理由已經足以看穿臺灣的數學教育問題——數學究竟為何要依賴死背的方法?這不是很弔詭的事情嗎?

  從小到大,無論是家長、老師、同學,他們總是告訴你:「數學,不要死背,要理解。」但是完全沒告訴你,怎麼樣才叫做「理解」,所以無論是誰,聽來只會覺得這是一連串的幹話,到最後還是淪於以背公式來解題的下場。

  為了解決這個問題,部分的教育家提出了「建構式數學」的概念。不管你有沒有聽過所謂的建構式數學,我這就從頭開始講起。

  倘若要探究它的歷史,我們就得要回歸到約 30 年前的美國來談了。1989 年,美國的數學教師委員會提出了一種重視「演算過程及背後原理」的教學方式。

  這樣的教學方式,強調的是解題的過程、想法,即使沒有算得標準答案,仍然依照計算過程斟酌給分,而不是你到底有沒有算出正確答案。


【引進建構式數學的臺灣】

  這類的教學方式在推出後不到十年就被引進臺灣了,並且在沒有完善配套措施的情況下硬是拿來推動教育改革。

  結果產生了什麼奇怪的現象呢?題目問:「一個盒子有三顆蘋果,那請問五個盒子有幾顆蘋果?」學生將 3×5 = 15 這條算式寫在考卷上面,結果被某些老師打了一個大大的叉叉,然後寫上了:3+3+3+3+3 = 15。

  你一定會問:「我到底看了三小?」

  沒錯,無論是你、是我,還是那些主導教改的教授和官員們,全都不知道這老師到底在幹三小。然而,這樣的現象在當時卻是到處發生的。

  那些老師的理由是:「錯了!不准用背的,因為你用 3×5 憑空生出 15 這個答案,這樣就違背了建構式數學的原則。」

  從那之後(一直到 2003 年),再也沒有人去背九九乘法表。即使不背九九乘法表,也沒有人知道為何要拆成 3+3+3+3+3,只覺得教育部搞了多此一舉的事情。

  基於家長的反彈聲浪,加上媒體的渲染,不出幾年,教育部(2003 年)就宣布「不再獨尊建構式數學」,而舊有的九九乘法表也回歸到教材內容當中。


【所以建構式數學是垃圾嗎?】

  既然我標題都這麼寫了,那我當然不是來抨擊的呀!若你想看那些抨擊建構式數學的評論,快把這網頁關掉,去翻翻那幾年的新聞報紙就可以了嘛(時至今日,仍然有一群媒體怪獸在無腦批評建構式數學)。

  這時候要回過頭來看看問題的根本:為什麼建構式數學會推行失敗?這要根據以下幾點來談了:

  1. 建構式數學的精神推行不易
  2. 教師沒有理解什麼是建構式數學
  3. 推行方式過於極端

  為何建構式數學的精神推行不易?廢話!剛才跟你講了這麼多,你只能知道建構式數學是「重視演算過程的精神」,這不就跟「數學,不要死背,要理解」一樣幹話嗎?

  這樣的精神,雖然推行不易卻又很重要,是因為這關係到了「我們的腦袋如何『理解』數學」,為了讓你更瞭解「重視演算過程」是怎麼個重視法,就舉剛剛談到的例子:

  Q:「一個盒子有三顆蘋果,那請問五個盒子有幾顆蘋果?」

  一般人會直覺地做了 3×5 = 15 這條式子,然後得出答案是 15 顆蘋果。實際上,建構式數學想要表達的是,當你遇到這類問題的時候,你應該要在腦袋裡建起一個基本的結構,像這樣:



▲ 這是一個裝了三顆蘋果的盒子(不是紅綠燈!請你體諒我不擅長作圖)。

  當我有五個一樣的盒子,那麼蘋果的總數就會變成 5 個 3 的總和,那用這樣的圖片,也就可以同時解釋「3×5 = 15」跟「3+3+3+3+3 = 15」的概念了:



▲ 五個個別裝了三顆蘋果的紅綠……咳咳,盒子。

  是的,這樣的觀念如果單純想要從主導教育的那群人以文字來表達,必是難以傳達的,於是為何會從「3×5 = 15」變成「3+3+3+3+3 = 15」,也就沒辦法被眾人(包括教師)理解。

  這個觀念的好處在哪裡?實際上,每個人在剛開始接觸數學的時候,只能依照老師給的有限的東西來試圖理解它們——也就是說,要是你知道 3×5 的答案是 15,卻沒有習得背後的原理,那就無法完善地建構出 3×5 的觀念,只知道 3 和 5 乘起來就是 15。如此,往後就會有很多數學題目,你會習慣依賴使用公式來解開題目,而不是優先考慮「為何這麼做可以解決問題」了。

  畢竟建構式數學的概念很抽象,這點我想也可以用個位數的加法心算來作例。

  你可以實驗看看,去問問身邊的人 7+6 等於多少,然後觀察他的行為。倘若你發現他嘴裡念念有詞:「7……8、9、10、11、12、13,答案是 13。」甚至伸出手指一個一個數,那他的心算能力應該很差,而且你只要用二位數加法來考他,他就得要拿出紙來算才行。利用這樣的方法,就可以稍微探得出他的腦袋裡是怎麼理解加法的了。

  那麼,不死背的人,又該如何計算 7+6 = 13 呢?以我的習慣作例:



▲ 我會習慣把 7 先排好,然後把 6 砍半變成兩個 3。



▲ 接著,把其中的一組 3 移到 7 那邊,剛好組成一個 2×5 的圖形矩陣。



▲ 變成 10+3 了,答案顯而易見,就是 13。

  當然這不是唯一方法,你想怎麼拆就怎麼拆,端看你自己的習慣。我會有這樣的習慣,也許要感謝幼稚園的老師了吧,她時常會強調:「1 的好朋友是 9,2 的好朋友是 8,3 的好朋友是 7……」並且輔以類似的圖形來幫助我們學會「怎麼樣才能找到規律,組成一個 10」,久而久之,它就成了我心算流程的一部分了。

  這樣的過程,如果寫成數學式子就會變成:

  7+6 = 7+(3+3) = (7+3)+3 = 10+3 = 13

  那麼,像上面這樣單純依照文字來表達的話,當然就會變得很像做了一堆多此一舉的事情(正因為是被寫在紙上),不是嗎?

  因此,在教師還沒有受過足夠的建構式數學訓練,多數的老師也就只會覺得「教育部規定我要這樣教學生」,根本不知道為什麼看起來會變得這麼複雜,這也就成了各界群起撻伐建構式數學的原因。而那些只針對「建構式數學」這個議題撻伐(而不是針對「是否有足夠的配套措施」這件事)的人,通常都不太懂建構式數學,簡單來講就是跟著媒體和家長一起跟風的一群罷了。


【太過極端的建構式數學導致的問題】

  然而,起初談到的其中一個問題還沒有解決,那就是:「到底該不該背九九乘法表?」

  我的答案是「應該」。看到這裡,你一定會覺得很矛盾,我剛才談了這麼多,卻是支持九九乘法表的人,這不是很奇怪嗎?

  這個問題應該要分成兩個層面來看,一個是背誦,一個是理解。實際上,我覺得這兩者並沒有衝突。感覺就好像你可以輕鬆唸出「三輪車,跑得快,上面坐個老太太」,同時你的腦袋裡面也能夠有一個老太太坐在三輪車上面飆車甩尾的畫面一樣,而不是單純死死的一行字。

  畢竟,九九乘法表有數十種組合,而乘法的設計本身也是可以畫成圖形來看的(如同剛剛的圖形矩陣),倘若能夠在「為何乘法是乘法」的基礎上做好觀念的教育,那在這樣的情形下才把口訣傳授給學生,讓學生能夠把這樣的基本運算速度加快,往後遇上其他章節的時候也找到方法把基礎打好,那學生就不會再單純覺得數學是一堆公式組成的 boss 了。

  所以,我想當時配套措施沒做好是一回事,但如果因為這樣就去批評建構式數學,終究只會變成害死臺灣學生的其中一員而已。

  倘若要走極端式的建構式數學,那臺灣的數學教育結構勢必得要整個打掉重來,因為不可能在不依賴「某些口訣」的情況下去應付現在臺灣學生普遍需要面對的題目難度。

  以現在的教育環境來說,折衷的方法就只能是傳統數學與建構式數學兩者並行了,最重要的是在入門的階段,千萬不能夠把背後的思考過程省略掉。倘若能做好基礎教育的話,依照臺灣人那麼喜歡在 Facebook 上面解益智題目的個性,才不可能會搞得四成的人考不到六級分的下場呢。

  未來這個地方也會盡量用追根究底的方式,來把一些數學的解題思維跟原理寫成文章分享給大家,不要永遠只是「我該用什麼步驟解題」,如果賞臉的話可以稍微關注一下。
 
引用網址:https://home.gamer.com.tw/TrackBack.php?sn=4028113
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留言共 76 篇留言

ryugami
以前我兩位數的乘法e.g. 23*34 我不會算 就把它變成23*30+23*4
幸好有熬過那段日子 不然每天看老師和我爸那張臭臉真的很煩......
不會就是不會,就算用吼的也沒有用
自己找到方法來解釋問題也是不錯的一種方法

06-18 22:46

時洽
有些東西真的是背起來比較快,但我會先推導並理解出公式的內涵,懂了公式的內涵就很好記了。當然,有些真的是一長串的證明,雖然可以理解步驟,也推的出來,但這時我就選擇背起來

06-18 22:51

福田まんじゅう
打那麼長.jpg

06-18 22:52

解凍豬腳
一萬字06-18 22:53
福田まんじゅう
然後講個實際一點的
考試就是這樣考
老師講歸講 真的拼升學率還是用老方法
題目不跟著改 學習態度不跟著改 教改再怎麼會轉彎 建構再怎麼容易理解 都還是一個鳥樣

06-18 22:54

月色頭上無刀
7+6的問題……我以為大家都是這麼算的耶?
湊10不是很方便計算嗎?難道會有人不是這麼做的?[e4]

06-18 22:58

解凍豬腳
絕對會喔,這點也可以解釋為何你看來覺得很簡單的題目,某些人怎麼絞盡腦汁就是無法理解06-18 23:02
時洽
想當初我不會雙位數乘法老師還把我當ㄓㄓ看

06-18 23:00

瓢@靜默不語
獲益良多

06-18 23:01

孩子,這世界不夠良善
以前背詩背到滿腦子都字,倒著念都行,但要我解釋一遍詩在講什麼,沒想個五分鐘還解釋不出來

06-18 23:04

豆豆牛奶
真的覺得不會這樣想的人很奇怪 998+998這種只要後面扣2再+1000之類的
雖然我就算會這樣想數學還是很爛啦 ㄏㄏ==

06-18 23:12

辰逸
現在台灣的教育方式還是一樣阿,甚至更慘,什麼多元化,孩子畢業後都略懂略懂,教台灣教育真的不能只靠學習了,父母也要有對策

06-18 23:42

NewYorkCunt
我已經是這個形狀了

06-18 23:49

楊上慧
現在教育,
就是要你死背「要理解」這句話

06-18 23:56

正油拉麵
那時環境還不知啥是建構式數學~(暴露年齡!?
但多少小時候有用到這觀念~
那時還被國小老師罵的說 你怎麼這樣算數學阿!!

06-19 00:13

蜥蜴
先把畫答案卡改了吧,只知道1.2.3.4,答案是4,算式那裡看的到,讀卡機讀完分數就出來了,誰管你列的式子對不對,反正答案錯就是全錯

06-19 00:16


他們總是告訴你:「數學,不要死背,要理解。」但是完全沒告訴你,怎麼樣才叫做「理解」

恩,對的
不是每個人都很會解釋東西
你去問他還不一定能給你個好的回覆

06-19 00:20

kururuj
硬性要求答案只能寫3+3+3+3+3的做法本身就和建構式數學的願景衝突了吧,3*5只要補上單位讀一次誰還不懂。我有次遇到一個親戚的國中小孩數學題目做不出來,讓他講哪邊不會,結果他竟然是看不懂題目內容的單位有什麼意義,也不知道公式內每個符號和運算式的定義,我就叫他把公式的每一個單位都補上去了解後再自己去思考如何計算。基本的資訊認知沒辦法達成,一昧硬套規定的步驟只會有反效果,這就是教育失敗的地方,一堆大人和學生不知道如何正確的讀取吸收獲得的數據資料,他們只看到一堆數字,不懂腦去想那些數字是幹嘛用的,所以才有一堆網路上到處傳的標題農場根本沒意義的"文組"數學題目。

06-19 00:21

阿魯巴
說也好笑,我國中時的數學,老師怎教我就是無法理解只能死背公式,當然考試還是不及格。到高中時,老師教的高等數學我一樣聽不懂,但卻忽然間發現自己會了國中的數學,覺得國中數學沒那麼難。是因為我是晚開竅?

06-19 00:22


我很慶幸我當初數學,學不好!!現在我教我的小朋友,教的方法就跟現在的建構式數學很像。

我教小朋友一定會盡我所能的讓他理解怎麼來或這樣做會怎麼發生危險,而不是只告訴他答案或直接禁止他怎麼做。

我的大女兒背99乘法也不是跟我以前一樣,用死背的。他是用理解的,也自己跟我得意的說2的倍數是不是一直+2得出來的。

這是我跟他同年紀時想不出來的,每天看到老師就跟看到鬼一樣,當時的我所有的科目根本都學不好,想想真的是台灣教育失敗!!!

唯有美術跟設計是我的強項,因為只有這個我可以隨心所欲的畫,就像建構式數學一樣沒有一定的解題方法,當然我這樣說太誇張了。

但也有可能早期教育對美術跟設計沒有很重視,讓我可以開心的自學。

台灣的教育只有對跟錯、黑跟白,小朋友很難發展.....

就像台灣的政治人物,永遠只會說對方錯了,而不是幫忙找出問題的點,來解決問題,只是挖更大的洞給對方。

真的,台灣因為這樣從教育到政治,若不改善只會越來越糟!!!

如果台灣的教育可以開放、寬廣,相信小朋友可以發展的更多元。

感謝版主,關心台灣教育~覺得你真的很用心!!!

06-19 00:24

咻咻
現在還是有小學這樣,教育部沒救

06-19 00:28

TF超級鮪魚
文中的例子考慮到乘數與被乘數的話是5*3=15才對,3*5=15是三盒五顆裝的蘋果

06-19 00:36

解凍豬腳
謝了,這點我會再參考跟修正06-19 01:10
Dr.派大星@爆氣模式
到考場上為了不和分數過不去 也只能硬套看看
今天用公式得前提就是要懂公式的邏輯和來源啊
但到最後也只好自己騙自己 雖然已經脫離高中 但現在想想 還蠻可悲的
該死的牛頓插值法

06-19 00:38

棉被不離身的米蟲
建構式數學是沒有問題的 但過度強調建構式數學會變成很多人連基礎運算都沒辦法馬上算出來 較適合給初學者建立觀念時使用

06-19 00:50

非洲戰力哈酷納馬踏踏
欸那個紅綠燈(被扁

7+6的例子我還真的是用拆得來算欸....
純粹只是想先湊個10出來感覺方便點這樣XD

06-19 00:57


看到前幾樓說數學要理解真的心有悽悽焉 數學老師上課丟了一個公式 叫我們背起來 我數學超爛 我背超久才背起來 結果老師後來上課抽考的時候考那條公式的來源 還說我們沒理解

06-19 01:25

狐鈴最高
你的7+6算法和我一樣!不過我就有點好奇你在三位數的算法是怎樣算的呢?

06-19 01:37

狐鈴最高
公式就是一個工具 看到題目就開始想怎麼解開(解謎遊戲的感覺,找到一個東西可以觸發下一個事件,這樣循環直到破關/解開答案為止) 我對數學一直都是這樣的態度
快一半的人數學考不到5級分是真的嗎,難以置信

06-19 01:43

可辛
公式不一定要死背 全部都是可以推導出來的 只是老師有沒有能力教 學生有沒有能力懂罷了 台灣教育一直都做半套 覺得這個好就學 那個好也學 最後四不像 搞得師生都累 也沒有進步...

06-19 02:14

你提我改嘛
數學到最後不可能不背 我不信一個大學生能推出拉普拉斯或傅立葉轉換…當然這是以後的事就是, 不過就算是開方根公式或三角函數變換 能理解的學生也不多啦 都是背起來的(四塊三減三塊之類)

06-19 02:29

BBN
我覺得數學最大的問題,不是理解,也不是公式,是"習慣不去應用"。明明會算,公式沒忘,但是在日常生活中,凡事都仰賴"想當然爾"的直覺,確沒有使用數學找答案的習慣。

06-19 02:45

BBN
我的意思是 ...老師幫學生出題,題目中會列出計算答案的基本條件設定,那些條件數據就是提示。但是日常生活中,要用什麼公式,要量哪些東西,怎麼量,怎麼算,都是要從目標身上,自己去反向思考的。

06-19 02:54

摩卡(ゝω・)
建構式數學就是應用於電腦之類的吧 畢竟電腦只會做加法和移位運算

06-19 02:56

T.M
我自認我是數學好的那邊
不過對於建構式教學我的看法是它比較像是“證明”
至於考試要怎麼寫 我認為除非要求過程方式 不然答案對都該給對
拿微積分來說好了 我們知道x的微分是1積分是1/2*x^2
當然我們可以背結果 也可以利用證明(建構式)去導出同樣的結果
但是要是過於注重過程就是一種錯誤了
建構式教學的重點是要理解為什麼我們能這麼做 而不是要求學生計算時該這麼做

06-19 04:01

T.M
再講得詳細一點 建構式教學應該這樣教:
乘法的例子就是將前面的3*5=3+3+3+3+3=15是一樣的結果讓學生理解乘法的用意
那當題目改為3*50時我們就不需要加50次而是直接使用乘法得到150了
至於要背九九乘法表的理由在這邊
我們需要快速的得到一個結果而不是每次去證明這些無聊而且大家都該知道的結果
應該重視的其他運算反而被忽略
所謂建構式教學是讓學生培養舉一反三的能力 但是看來編寫課本還有教學的老師都沒有理解

06-19 04:13

青青草原的小貓
這就讓我想到了高中往事
我不喜歡死記 所以理科段考的時候我都是現場推導的那種
然後朋友把公式背起來 解題比我快又比較少計算錯誤
然而他根本沒有理解本身公式的含義
不過就是背一串英文而已
後來學測見真章 他用死背也背不完所有公式
我靠觀念推導出答案 後來數理都頂標吊打他

06-19 04:33

赤月
我學珠算的 6位數以內習慣以算盤腦來計算

06-19 05:39

蘋果世界的海洋生物
優質
108學測路過QQ

06-19 10:54

踏雲烏龍
你建構式膩 我們當時都在嘴

06-19 11:13

風羽
好險我剛好是開始建構式數學的前一屆沒有被荼毒到…
看完屋主的說法,我完全覺得是國中、小數學老師的【中文】邏輯不好,當然也有可能當初教育部在宣導的時候沒做好。光何謂「依照計算過程斟酌給分」,這句話本身就表示計算的方式不限制任何一種形式,那位什麼還要去強調執行建構式?

再者建構式數學本身倡導的是一種教學理論,是希望老師們在教導數學時不去單單著重於公式,而著重於讓學生明白公式如何來、他的背後原理是什麼。

譬如樓主的蘋果題目,老師應該去教導學生乘法的累積,為什麼 3 X 5 = 15?
這講解過程才會說明到原來是因為 3+3+3+3+3 = 15,而因為同樣的數字加了5次所以用3 X 5來代表3加了5次,這種說明教學法才是正確的數學教學,也是建構式數學的精神所在

至於學不學九九更跟建構式數學扯不上關係,九九乘法表本身只是把最基本的九個數字相乘結果透過表格模式列印出來。背它只是為因為它是最基本的數字去相乘,所以在未來遇到十位百位千位甚至更高位數時,都能透過最基本的數字去快速計算每個位數得到的結果。這東西的根本作用只是加快計算,跟理解公式、建構式數學根本扯不上關係!!

建構式數學會演變成這種情況我唯一的想法就是過去的老師學習方式都只是靠著單純大量背頌,從來沒有去真正理解數學背後的涵義,才導致搞得如此奇魔怪樣。

06-19 11:13

雷.阿爾迪亞
簡單來講就是當初學半套就強推
導致失敗
臺灣太多東西這樣了
看看那個美好的綜合高中

06-19 11:42

炎粵
你讓我腦袋裡跑出來的是三輪車上面ㄧ個老太太然後上演了頭文字D的畫面(`・ω・)ゞ

06-19 13:16

雪之王女‧F‧巧可奈
別說學生時期,就連直到現在已接近不惑之年,姐自己看到數學題目依舊還是感到很頭大,有點擔心未來要是姪女問自己數學題目如何解,到那時恐怕真的一問三不知>///<

06-19 13:28

ㄣ 94醬
其實3*5和5*3在物理上是沒差的
3的單位是 顆/盒
5的單位是 盒
所以不管被乘數擺哪個出來的單位都是顆

06-19 14:22

兇殘的小兔子
在我看來你這段才是漂白建構式數學的幹話
就跟對岸文革大躍進失敗之後再來辯解當時的共產主義不是真正馬克斯的共產主義
鄧小平改革根本就是走回頭路全照抄KMT台灣那套舊制,然後辯解我們不是資本主義是中國式資本主義
完全一樣

建構式數學就是後現代主義教育眾多改革其中之一
而後現代主義的主旨就是反權威
就跟中二病的國中生一樣,以前學了什麼他就反對什麼

這個後現代主義教育改革的風潮不只在台灣
全世界各地都有,而現今全世界各地都陸續出現後現代主義教育改革失敗的抱怨聲

沒有一個地方是成功的,讓這些教育改革站得住腳的只有政治正確罷了
從藝術到政治到教育(主要是政治),各種後現代主義團體在社會上的影響力太大了

06-19 15:26

Odin
其實不是配套沒做好,是小教這塊出了問題(要去探究師範體系),
例如國文系出來修了小教教程,實習拿到教師證考上老師,就可以教小學教育,但是當年選國文就是不喜歡數學阿!?
更不用說數學系到最後出來把數學講得太複雜,還會說這明明很簡單,你們怎麼都不會。(以上皆指小學教育)
所以建構式數學教得好的老師沒幾人是真的
(除了當初推廣的老師,是個真正名師喔,在學校的班級到現在仍是家長擠破頭的)。

06-19 16:35

白巧喵
小時候數學很爛,有一天誤打誤撞答對了一題全班只有我對的加分題,老師說我很6很猛,被誇讚的我自此之後數學一路披荊斬棘,不強,也好歹學測在最前頭
老師的鼓勵也真的很重要
不會的一會,跟進度有跟到,就會一路會下去,就會分數一路666下去
但是現今教育體制關係,跟不上進度就得死,這樣很糟,有人不是不會,是當初沒跟上進度落下來,就會一直惡性循環中滴滴溜溜的打轉,最終跑進“數學很爛”的結局

06-19 17:21

白巧喵
建構式教學的精髓在於與以往不同對數學意義的詮釋
這樣的解釋能對跟不上的人有更好的幫助
但是還是缺乏針對每一個人的教學改良

06-19 17:25

manrice
7+6只有我是這樣算嗎?7x2-1

06-19 19:00

朽灰
字U點小 但我還是犧牲一隻眼睛作為祭品看完了[e1]

06-19 19:54

解凍豬腳
[Ctrl] + [+]06-19 19:56
矣凜
天啊...頭好痛QQ

06-19 19:56

朽灰
度的 用150%看的 [e2]

06-19 20:04

自由鋼彈
其實一樓的方法很好啊 也不見的會比較慢

06-19 20:06

蒼白黑夜
可惜台式建構式數學就是垃圾,其他像:五權分立、女權自助餐,
什麼東西都非要學外國但不思考背後成因,最後都成垃圾...

06-19 20:47

null
1 的好朋友是 9,
2 的好朋友是 8,
3 的好朋友是 7,
4 的好朋友是 6,
5 的好朋友是......我沒有朋友



06-19 21:06

安提骷髏馬過敏首席
前面那一項是被乘數,後面那一項才是乘數,如果題目敘述是一個盒子有三個蘋果,共有五個盒子,那應該會寫成 3*5 = 15
但如果是有五個盒子,一個盒子有三個蘋果,那就會寫成 5*3 = 15 了

06-19 21:54

啦啦哩
國高中數學只要一點生活上的想像就好啦…倒是大學 嘔

06-19 22:46

Otaku
自己當了父母。我想反對建構式數學的最大原因是因為他很重視運算過程,自己無法教小孩。完全只能依賴補習班或安親班教。

06-20 00:02

虎嘯狂風
一言九鼎
二八法則、二八定律
三七仔
四六分帐
二一添作五

管他三七二十一
還要七七四十九天

06-20 01:53

秘密影
我覺得你舉例,可以用梯型公式,梯型公式的推導,就像是建構式理解,最後推導完的公式,就像是你說的99乘法表。

06-20 11:45

Nic Li
九九乘法真的很好用
到現在出了社會還是受用無窮
要慶幸我不是出生在被賤媾式數學荼毒的年代嗎

06-20 16:47

梗仔
6+7=7+3+3=6+4+3=6+1+3+3=3+3+3+3+1=3*4+1

建構式數學真是太好玩了

每一個等號都是一個境界
是自己在國小一年級到三年級的過程

當時剛接觸99覺得爆幹難懂
最後都是直接拆開硬加找答案
出錯一定只是點點畫錯或算錯

06-20 21:42

梗仔
樓上那位當父母的
我這種算法就是我父母啟發的

講一講我又想起來我漏了一個階段
也是我的第一階段
6+7=5+1+5+2(剛開始對5特別著迷)

06-20 21:46

明皇
雖然文裡說到2003年為止沒有人去背九九乘法表,但實際上沒有人不敢不背,
我1995出生,到了國小問過每一位同學,沒有背九九乘法表的只有2位。

至少我幼稚園的時候,每家幼稚園絕對逼著學生背九九乘法表。

06-20 23:06

漓星
我爸是心算可以代替計算機的那種
所以我小時候過得很慘,各種硬逼豬心算
數學這狗東西我考試能算出答案不就夠了,快一點能多活一天嗎

06-21 01:25

藍貓
廣義來說就是解題背後的運作思維流程跟運作邏輯,而這不僅限於建構式數學
有些老師並沒有真正意識到,這背後的思維運作模式的重要性大於解出題目的答案或所謂的解題技巧
應該說,解題方法是每一題都不同的
但"建構解題方法的解題方法"卻可以讓各式各樣特殊得題目、問題都如魚得水
以至於學生學到了解題方法,卻沒有一個背後建立解題方法的那個根基,導致碰到固定題型都答得很厲害,變成答題機器
但需要思考、探尋高深數理的領域的時後,或沒有現成的快速解法能用時沒辦法自己思考、推理出解法,只能固守城池
簡單來說,效率跟正確性或許最優良,但創造性拙劣

構式數學,簡而言之,真正重要的不是紙上看得到的計算過程,而是腦袋的思維流程有沒有得到本質上的改變、進步,在我看來硬要學生用形式化的方式表現3+3+3+3+3,這種行為本身就證明這是被公式跟正解僵化的思考方式。

九九乘法表,跟3-7,4-6朋友理論,7+6=5+2+5+1,都是在教學生如何將計算拆解,讓計算本身既能好理解也能被簡單化、更有效率的方式處理,對於某些特殊的數字,或許這樣處理比較快,或許那樣處理比較快,偏頗於哪種方式都不好,不應該去否認任何方法存在的價值,不管是否定九九乘法,還是否定用解構的方式去計算答案,都是不可取的,如果真的理解建構式數學,就會知道,嚴格來說他不單是3+3+3+3+3,而是建構並理解"計算過程"的思考方式,也就是,計算過程是解出問題的答案,而建構或理解計算過程的思考方式,則是找出解出答案的許多方法,並且能從理解的層次建立對這個方法想像,如果是這樣的話,這些方法對於我們的意義就不只是符號或表格的組合。

如果真得懂了建構式數學的精隨,那便是在理解、創造所有可能的心算法則的層次上進行運算,而不是只懂單一一套運算邏輯那麼簡單。

也就是說,如果九九乘法是計算的基石,那這種思維方式便是可以創造出無限種可能組合性的基石的基石,碰到甚麼計算都會如魚得水。

06-21 10:41

藍貓
不過,對於很多人來說小時後其實是沒有被教導過思考方法的。
尤其是計算,都是用背公式或對數字處理的直覺來應對。
以至於,當他們要教導學生思考的方法時,他們其實根本不知道怎麼教,所以只好把以前老師在學校教過得那一套再照樣搬過來給學生。
但其實每個小孩對數字持有的直覺是多元的,同一套方法,對於某一群人可以理解。
但另一群人如果不從另一條路走,就可能會一直因為理解不能而挫折陷入對於數字的恐懼,進而逃避數字。
而逃避數字的下場是,隨著難度層級上升,就越加不能面對,進而更增加對數字的厭惡。

06-21 10:51

藍貓
我的解釋不是很親民,我再發一個懶人包好了:
層次一:解題方法
層次二:數字本身的運算方法
層次三:得出這些運算的拆解方法並對這些數字運算方法產生了理解感、熟悉感,進而讓其成為運算直覺的方法,比方說:只教你九九乘法表是直接給你現成的運算方法,建構式數學則是可以讓你得出6+7=5+1+5+2,或是3+7=10等各種方法,而且不僅僅是免強死記,而是先對其有熟悉感親切感因而直覺上的把他們記住,而且可以用來培養許許多多(而不是單一一種)對數字的直覺,更進一步增加對數字本身的親切跟喜愛,對往後的學習有間接的正面影響。

06-21 11:13

藍貓
再來,直觀上,很多人都會以為,數學之所以學不好,是因為到了某某階段卡住了,某些情況或許是這樣。
但微觀上,可能不一定是單一因素,也可能是因為,我從小學對於數字計算就很不在行,所以再計算的時後常常在很笨的地方算錯數,進而分數成績都不好,分數成績不好,對數學產生恐懼、自卑,進而對上課內容無法產生興趣,漏了重要觀念沒學到,後面的就有理解上的漏洞,上課聽不懂跟不上進度,更恍惚、更沒興趣,接著進度更跟不上,就更不想聽課。

06-21 11:21

初阿兔
建構式數學是一個很棒的概念
但是配套不完善,老師很重要

06-24 01:27

想當年英雄打趴天堂
1.理解數學的人無法向不能理解數學的人解釋如何真正理解數學的方法 2.以後10的100次方我就要必須寫成10*10*10…………?

07-02 01:12

想當年英雄打趴天堂
樓上藍貓說的很好

07-02 01:13

ccpop
這個最近才知道 我們大學教授的小孩就是受害者之一上課人他靠北超久

這種87教法國外已經沒在用ㄌ
真不知道他們是怎樣搞出來ㄉㄏㄏ

07-04 23:08

祭司
拆不拆開變成另一種的算法根本沒有所謂 有些人比如我 你給我基本加法我根本不用想答案自然就在腦海浮出來了 不是什麼變成1000 100比較容易算才是比較聰明的方法 有些人本來直覺就是對數學非常敏銳 根本不用這些方法 比如數字平方根的值我也有方法算出來(小數位後四個五個都行) 我記得是六歲的時候自行發現 強行套用這些方法給他們用才是真正扼殺他們天份 本來每個孩子對知識吸收的方法就不同 這種教育方法當然是失敗啦 因為扼殺了那些不用方法就能算出數的天才

07-28 21:55

祭司
只能說 這種教育方法其實是應該給孩子一個概念 就是數學是靈活的 不限於一種算法才能得到答案
而不是讓他們認為自己學了這些表面上"聰明"實際上是機械化方法之後認為自己可以屌打所有數學題目

07-28 22:00

哆啦的逆襲
我覺得對數字敏感(也就是數學天分)好的人,自己不用教腦中都有屬於自己的建構式數學。
建構式數學的教法感覺就是讓人們照著聰明人的想法去解數學。
問題是簡單一點加減乘除還能理解,銜接到國高中的數學反而為求簡單快速,又變回背公式的教法,變得有點虎頭蛇尾。

09-03 19:39

threemen
其實根本不是這樣阿
純粹是老師懶阿
在還沒硬推建構式數學時
我遇到的數學老師就都是講解清楚
每個公式也是完整推倒一遍
讓我了解公式怎麼來及應用
只是太多老師及家長為了快速得分
教學時都只教看到題目要帶什麼公式
才會有建構式數學出來強調要教過程
結果很多老師又不探求真義
只想說上面規定這樣教
這才是問題

09-03 21:37

海苔糙米捲
希望大大有空的話可以講解一下關於log e ln 的知識,感謝!!

11-12 20:10

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