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自己的推導筆記 - 複數指數、歐拉公式和常數e

作者：侵略！花枝丸│2018-01-25 23:08:17│巴幣：1,576│人氣：34563

先此聲明，本人不是數學系，所以數學推導不會很有邏輯，也可能見解錯誤，不能接受者請見諒，有錯誤請指正。

參考推薦書籍：毛爾-《毛起來說e》（博客來網頁連結）

以下主要推導其實只是大一微積分的一小段，究竟如何推導對於正常使用者（物理或工程學系）其實不是非常重要，只是我在當初聽到這推導法覺得很漂亮自然也很合理，所以想要在這裡記下來。其實這推導後來我發現在維基上也有。

複數被我們寫成a+bi，其實這可以說是我們規定的。複數這種數字一開始是不被大多數數學家接受的，因為它對於原有的數學而言非常不自然，它們不能比大小，不能畫函數圖，不知道放在指數是什麼，也不知道把它開根號是什麼。但是數學家還是會做他們最會做的事：從假設出發一步步研究發展。我們假設除了i平方是-1之外，虛數的運算規則符合原本的實數規則，因此可以加減乘除，而棣美弗(Abraham de Moivre)發現棣美弗公式之後，它們可以被開根號，但是複數放在指數的結果是什麼？

我們在指數律上做的事情其實很像這段複數的進展，當初國中時我就想過究竟0.5次方是什麼意義，後來到高一時才知道意義非常簡單。我們有整數次方的指數律，而且知道開根號，然後就發現其實0.5次方和二次根號有相同的等式，所以我們把0.5次方定義成開二次根號，而開n次根號也同理。但是我們發現在負數底數上有一些動作不能做，否則會導致矛盾的結果，所以有理數次方不能用在負數底數，有時在推廣的過程中會需要捨棄某些好用的性質，就像是複數推廣到四元數時一樣（不知道四元數的人請看我以前的向量篇和矩陣篇）。

歐拉（Leonhard Euler，Eu在德文發Oi）在1748年提出了一個等式，至此大家才知道虛數指數是什麼，以及其實所有複數都是指數函數，還有棣美弗公式其實只是指數律的展現。歐拉當時用的推導法是用無窮級數重新排列得到，但是我認為無窮級數在基礎概念上反而更複雜，不及下面推導法直接。

但首先還是要有些先入知識，這些事前推導都是在複數還沒被放進函數時數學家們就知道的事情，那時候的函數定義域和值域都只有實數，而在實數時確定有這些性質，但是沒有人知道放進複數會是什麼結果。

有一個常數在高中沒有提到，因為這一直到大學有微分方程式之後才會有用，就是e。（歐拉是第一個以e代表它的人，而在歐拉之前就已經有人研究過這個常數。我們會叫它歐拉數，但科學史上一般認為歐拉不是以自己姓氏首字母取名，原因一直不明）

e的原始定義是：

這個式子若是採用錯誤的趨近法，分別會得到1或無限大的極限。若把

當成趨近於0，整個式子會是1的n次方就是1；另一方面，因為括號裡永遠大於1，所以無限大次方會趨近於無限大。

真正的趨近法應該先把括號去掉，也就是用二項式展開變成無窮級數

最後把

丟掉得出

這個數大概是2.718281828，不過重要的不是這個數值多大，而是它的指數函數微積分性質。

先看一般的指數函數微分的結果，以微分定義計算會是

會是一個和自己成正比的微分值，但是前面多了一個和a有關的常數，這個常數在之後可以推導，這裡先給出它的極限

ln是Natural Logarithm的簡寫，叫作自然對數，是e為底數的對數，和一般的log一樣，它是

的反函數。（念法可以是LN、Natural log、log E或直接念log，就是不要唸成long、log N或甚至是 I N）

所以說，若是a=e，那麼就可以得出微分是

意思是，一個以e為底數的指數函數，它的微分，也就是每個點的斜率就是它的函數值。它是數學中所有函數裡唯一擁有這性質的函數，至於為什麼這性質很重要，之後會再說。

自然對數其實比

還要早被發現，它是從某個函數的積分，也就是求面積而來的，後來才知道它的底是e。

對數有個換底公式，可以把所有對數函數轉換成某個特定的底，相似的，指數函數也有個換底的方法，可以把所有指數函數轉換成以e為底。

設

，兩邊取自然對數得

這表示

所有指數函數都可以表示成e的指數函數，而因為

是最特別的指數函數，ln(x)是最特別的對數函數(原因之後會講)，所以我們可以直接稱它們為指數函數(exponential)和對數函數(log)，顯現它們的代表意義。

其實

也可以寫成無窮級數，從e的定義開始

因為

趨近於0，不管x是多大都無法把它加大，因此可以捨去得

如果x前面有常數a，我們可以用這展開式得出微分是

這裡的dx表示無窮小量，而dx的二次方以上項都趨近於0因此捨去。

所以結果是，如果有個常數a，微分就像是把常數拉下來放在前面一樣，其實先前一般指數函數微分的結果在換底之後就很明顯

還有另一個簡單的性質是

，這裡C和a都是任意常數。

整理一下關於

的性質：

1. 微分等於自己、

微分之後a會拉到函數前、

3. 整個函數乘以常數C不影響微分性質。

之後想要知道虛數指數是什麼意義，這些性質就是關鍵。

不過在這裡提一下微分方程式。微分方程式最主要的目的是要解出（或是猜出）符合此方程式的所有函數，像是

的解是

，C不管是什麼常數都符合方程式，這時需要針對函數的另一個條件，像是要求f(0)=0，這時C才會是0。那麼像是

的解當然就是

。解更複雜的微分方程式常常需要經驗或特殊方法才能解出，有幾類甚至是數學上的難題，只要研究有任何進步都是大消息。物理上面幾乎所有計算都需要微分方程式，牛頓更是為了力學發明了微分，力學、電磁學、量子力學、廣義相對論，都是由一點的微分解出整個函數，而其中很多微分值都和該點函數值有關。

例如牛頓冷卻律：物體升降溫速度和周圍溫差成正比

T是溫度隨時間t的函數，Q是周圍溫度，k是影響變溫速度的係數，和物體散熱吸熱能力有關，負號是因為在溫度比周圍高時會降溫、比周圍低會升溫。它的解是

若是設定物體在時間0時，T(0)溫度是T0，則完整答案為

在這個答案裡，一開始溫差大時溫度變化會很大，到後面溫差越來越小而漸漸變慢。

微分和自己有關的函數裡，一部分是指數函數，是會趨近某個結果的函數；一部分是震盪函數（週期函數），是離平衡點越遠往回的力量越大的函數，像是sin,cos，這出現在描述波動的方程式裡，波動在物理上很廣用，但是除了sin,cos之外其實還有其他震盪的函數，若是座標不是直角座標就會出現，不過直角座標還是最常用的，後面我們也會知道其實sin,cos可以被歸納進指數函數。

現在就要用前面的東西來推導出複數指數，實際推導非常快。

我們想知道

的x代入複數會是什麼結果，而複數是a+bi，因此實際上我們只需要知道

是什麼。而既然帶有虛數，我們就假設函數值可能是複數值函數

= u(x)+v(x)i，u和v都是實數值函數。再來，i是一個常數，x是任意實數，我們希望在推廣到虛數時保留有實數函數的性質，也就是微分會拉下一個i，於是我們要求

兩邊實部和虛部互相對應得到兩個方程式

這表示u,v這兩個函數互相相關，彼此是對方的微分，而且其中只有一個微分會是負的另一個，這種性質在所有實數值函數裡面，只能找到兩個擁有這性質，就是sin(x)和cos(x)。

所以u(x)=cos(x)，v(x)=sin(x)，不過其實就算它們都乘上一個任意實數C，還是符合這兩個方程式，因此我們猜測答案會是

我們當然不會停在這裡，因為虛數i再怎麼樣還是常數，任何數字乘以0必定是0，而我們再怎麼不確定函數值是多少，都能確定的就是x=0的時候，

必定是1，否則連實數指數的基礎都會被撼動，於是我們將0代進x得

最後就得到有名的歐拉公式

得出這個公式看似是一個收尾，但其實由它延伸出來的更多推論都值得一看。

首先，這個公式右邊和複數極式一模一樣，這表示所有複數都是指數函數

這也解釋了為什麼兩個複數相乘會是長度相乘角度相加，是指數律的結果。

棣美弗公式也是指數律

還有，它重新定義了sin和cos

這兩個式子保留了原本實數的性質，更推廣定義域和值域到了虛數，例如可以算cos(i)和sin(i)

對於

本身來說，歐拉把一個特別的數字π代入公式得到

這個式子可以說是一個定理，有人認為它十分奇妙，它是我們在將指數推廣到虛數時出現的必然結果，是一個特例，實際上它沒有什麼實用性，不過某方面而言確實可以說是一個藝術品。

而對於物理而言，因為原本的sin,cos是震盪函數，連帶

也變成一種震盪函數，這在物理上已經非常通用，最明顯的是量子力學的薛丁格方程式，一個在空間中自由前進的粒子波函數（正式應該叫狀態函數）就是

的形式，直接一點說，其實

算是薛丁格方程式的一個解。

而其他物理或工程上的很多問題也是，若先轉成

就變得容易做，像是在電磁學或電路學時，電磁波或是交流電都是sin,cos波動的問題，轉換成指數函數對於繁複的計算都有很大的簡化作用。

更有趣的是歐拉公式將對數函數推廣到了虛數，不過這時和實數時候的對數有點不同。實數時的對數函數是指數函數的反函數，因為指數函數是一對一的，給一個x只有一個y，而且每個x的y都不同，這時才能反過來從y找出唯一x。但是在虛數指數時，可以想見，若是

的x多轉了角度2π，其實會對應到同一個y，這時若是給定一個y，會找出無限多個x，不過這時候我們就把條件放寬了一點，還是叫它為反函數。虛數對數做的事情，就是找出哪些x會產生給定的y

例如

n是所有的整數。這表示任意n的時候代入

答案都會是i，不過通常把n=0的時候叫作「主值」。若是給的是一般複數時，就要先換成極式再計算

其實不只是虛數對數有無限多個答案，推廣到複數之後，連正實數答案都有無限多個

，除了主值之外其他都是複數。

更甚，原本不該有對數值的負實數其實在複數域可以計算對數

可以看到負實數在實數域裡沒有對數值

可以算對數的話，就可以算一個看起來很特別的數字：i的i次方

其實實際算出來也不是很特別，它的主值大約是0.20787957635，而且是實數。

對數問題其實實用性不大，而對我個人來說，實用性最大的是關於sin,cos的相關問題

像是推導和角公式

其實在概念上這只是把複數乘法反過來做，但是臨時想不起來時倒是可以一次迅速推導兩個。

最後提一下為什麼前面說ln(x)是最特別的對數函數，這大概也是高中時候沒有教e的一個原因，更是高中時候算不出

積分的原因，同時也是

在微分方程式常用的另一個原因。

我不知道怎麼從積分算出答案，只能從微分反過來推導，直接計算ln(x)的微分

dx本身是無窮小量，不過為了更容易看，把它設成變數h

，再設

，就可以得出

實際上的積分，x需要考慮正負問題，所以公式是

或許有人會覺得我前後矛盾，為什麼前面說不用無窮級數，但是在推導

性質卻用了一堆的無窮級數。其實對於e的性質來說，不管是保持原始定義，或是從微積分性質反向定義，得到的都是同一個東西，因為數學上就是只有它擁有這些性質，只是從原始定義才會有推導脈絡，不然其實大可跳過推導直接定義「有這些性質的就是

」。

歐拉當時把i直接代入

的無窮級數，其實用級數展開的概念來說，因為無窮級數同時保持了微分性質和f(0)=1，才可以一步驟推導。但是再更深入一點的話，在無窮級數裡放入虛數，以及無窮級數重新排列，是不是會影響收斂性質，這些都應該要討論，而這些思考當初歐拉都直接跳過了，雖然後人證明這些動作沒有問題，不過我個人還是不太喜歡這推導法。

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