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【機率】擲幣的連續機率計算，擲幣數據的真偽判斷

作者：靜~靜│2018-01-11 23:55:02│巴幣：6│人氣：2958
費氏數列：第0項為0，第1項為1，之後的各項等於之前2項的和
0﹐1﹐1﹐2﹐3﹐5﹐8﹐13﹐21﹐34﹐55﹐89﹐144﹐233﹐…
「前幾項的和」的數列可用來計算二分之一的擲幣出現連續幾次以上相同的機率

前1項的和(m=1)：0﹐1﹐1﹐1﹐1﹐1﹐1﹐1﹐1﹐1﹐1﹐1﹐1﹐…
前2項的和(m=2)：0﹐1﹐1﹐2﹐3﹐5﹐8﹐13﹐21﹐34﹐55﹐89﹐144﹐…
前3項的和(m=3)：0﹐1﹐1﹐2﹐4﹐7﹐13﹐24﹐44﹐81﹐149﹐274﹐504﹐…
前4項的和(m=4)：0﹐1﹐1﹐2﹐4﹐8﹐15﹐29﹐56﹐108﹐208﹐401﹐773﹐…
…
我做了一張圖表可供查詢m=1~15，第0~52項的表格



擲幣6次，出現連續3次以上正面的機率：1-F(m,n+2)/2^n
1-F(3,6+2)/2^6　※m=3，第8項為44
1-44/64= 20/64= 31.25%
如果不相信的話，可以試著排排看，看看是否真的有20組
【OOO---】8組、【XOOO--】4組、【-XOOO-】4組、【--XOOO】4組

一定次數內出現連續正面的機率（單位％）
連3
連4
連5
連6
連7
連8
連9
連10
3次
12.50
4次
18.75
6.25
5次
25.00
9.38
3.13
6次
31.25
12.50
4.69
1.56
7次
36.72
15.63
6.25
2.34
0.78
8次
41.80
18.75
7.81
3.13
1.17
0.39
9次
46.48
21.68
9.38
3.91
1.56
0.59
0.20
10次
50.78
24.51
10.94
4.69
1.95
0.78
0.29
0.10
11次
54.74
27.25
12.45
5.47
2.34
0.98
0.39
0.15
12次
58.37
29.88
13.94
6.25
2.73
1.17
0.49
0.20
13次
61.72
32.42
15.41
7.02
3.13
1.37
0.59
0.24
14次
64.79
34.87
16.85
7.78
3.52
1.56
0.68
0.29
15次
67.62
37.23
18.26
8.54
4.29
1.76
0.78
0.34
16次
70.23
39.50
19.65
9.29
4.29
1.95
0.88
0.39
17次
72.62
41.69
21.02
10.03
4.67
2.15
0.98
0.44
18次
74.82
43.80
22.37
10.77
5.06
2.34
1.07
0.49
19次
76.84
45.84
23.69
11.51
5.44
2.54
1.17
0.54
20次
78.70
47.80
24.99
12.23
5.82
2.73
1.27
0.59
25次
85.99
56.59
31.16
15.78
7.70
3.69
1.75
0.83
30次
90.78
63.91
36.82
19.18
9.53
4.64
2.24
1.07
35次
93.94
69.99
42.02
22.44
11.34
5.58
2.72
1.32
40次
96.01
75.04
46.79
25.57
13.10
6.52
3.20
1.56
45次
97.38
79.25
51.17
28.58
14.84
7.44
3.67
1.80
50次
98.27
82.74
55.19
31.46
16.53
8.36
4.15
2.04
60次
99.25
88.07
62.26
36.88
19.83
10.16
5.09
2.52
70次
99.68
91.75
68.21
41.88
22.99
11.93
6.02
3.00
80次
99.86
94.29
73.23
46.47
26.03
13.66
6.94
3.47
90次
99.94
96.05
77.45
50.71
28.95
15.36
7.85
3.94
100次
99.97
97.27
81.01
54.61
31.75
17.02
8.76
4.41

如果是想求出擲幣6次，剛好連續3次正面的機率
只要把「連續3次以上的機率」減掉「連續4次以上的機率」即可
機率：31.25%-12.50%= 18.75%
或是：(F(4,8)-F(3,8))/2^6= (56-44)/64= 12/64


擲幣6次，出現連續3次以上正面的機率是31.25%，連續3次以上反面當然也是31.25%
所以擲幣6次，出現連續3次以上相同的機率是？

絕對不是31.25%＋31.25%這麼直接，因為會有兩者同時存在的情況
例：【ＯＯＯＸＸＸ】和【ＸＸＸＯＯＯ】
把公式中的所有變數都減1即可

擲幣6次，出現連續3次以上相同的機率：1-F(m-1,n+1)/2^(n-1)
1-F(3-1,6+1)/2^(6-1)　※m=2，第7項為13
1-13/32= 19/32= 59.38%

一定次數內出現連續相同的機率（單位％）
連3
連4
連5
連6
連7
連8
連9
連10
3次
25.00
4次
37.50
12.5
5次
50.00
18.75
6.25
6次
59.38
25.00
9.38
3.13
7次
67.19
31.25
12.50
4.69
1.56
8次
73.44
36.72
15.63
6.25
2.34
0.78
9次
78.52
41.80
18.75
7.81
3.13
1.17
0.39
10次
82.62
46.48
21.68
9.38
3.91
1.56
0.59
0.20
11次
85.94
50.78
24.51
10.94
4.69
1.95
0.78
0.29
12次
88.62
54.74
27.25
12.45
5.47
2.34
0.98
0.39
13次
90.80
58.37
29.88
13.94
6.25
2.73
1.17
0.49
14次
92.55
61.72
32.42
15.41
7.02
3.13
1.37
0.59
15次
93.98
64.79
34.87
16.85
7.78
3.52
1.56
0.68
16次
95.13
67.62
37.23
18.26
8.54
3.90
1.76
0.78
17次
96.06
70.23
39.50
19.65
9.29
4.29
1.95
0.88
18次
96.81
72.62
41.69
21.02
10.03
4.67
2.15
0.98
19次
97.42
74.82
43.80
22.37
10.77
5.06
2.34
1.07
20次
97.91
76.84
45.84
23.69
11.51
5.44
2.54
1.17
25次
99.28
84.77
54.96
29.97
15.08
7.32
3.50
1.66
30次
99.75
89.98
62.55
35.73
18.51
9.17
4.45
2.14
35次
99.91
93.41
68.86
41.02
21.80
10.98
5.40
2.62
40次
99.97
95.66
74.10
45.87
24.95
12.75
6.33
3.10
45次
99.99
97.15
78.47
50.32
27.98
14.49
7.26
3.58
50次
99.99
98.12
82.09
54.41
30.89
16.20
8.17
4.05
60次
99.99
99.19
87.62
61.60
36.36
19.50
9.98
4.99
70次
99.99
99.65
91.44
67.66
41.39
22.68
11.75
5.92
80次
99.99
99.85
94.08
72.77
46.03
25.73
13.49
6.85
90次
99.99
99.93
95.91
77.06
50.30
28.66
15.19
7.76
100次
99.99
99.97
97.17
80.68
54.23
31.48
16.86
8.67

如果想求出擲幣6次，正面和反面同時出現連續3次以上的機率
把「連續3次以上正面的機率」乘2，再減掉「連續3次以上相同的機率」即可
機率：31.25%*2-59.38%= 3.12%
或是：1+2*(F(2,7)-F(3,8))/2^6= 1+2*(13-44)/64= 2/64


美國心理學教授吉洛維奇(Thomas Gilovich)，會在課堂上安排一項實驗
要學生們寫下心中所想像的擲幣20次的序列，Ｏ代表正面，Ｘ代表反面
由學生們自行指派一人真的擲幣20次，在實驗開始前，教授會先離開教室
所以教授無法知道實際擲幣的是誰，等學生們把數據全繳交完後再回教室
教授總是能找出哪一張數據是實際擲幣所產生的，究竟是怎麼辦到的呢？

小明和地馬都自稱有實際擲幣20次，但兩人之中只有一個人說實話
小明的數據【ＸＯＸＸＸ ＸＯＸＸＯ ＯＯＸＯＸ ＸＯＸＸＯ】
地馬的數據【ＸＸＯＯＯ ＸＯＸＯＸ ＯＸＯＸＯ ＸＯＸＯＯ】
請問，誰的數據最有可能是實際擲幣產生的？

當人們在心中想像時，會以自己主觀所認為的合理理論去構築假想的數據
愈是不想被他人發現破綻，就愈想去避免出現極端，反而過於追求平均
在二分之一機率的擲幣下，心態就是盡可能的避免出現連續相同的次數過多
好比寫下連續3次正面後，總會下意識避免寫下第4次正面，而選擇了反面
然而實際擲幣20次，出現連續4次以上相同的機率是76.84%

小明有連續4次以上相同 (第3~6項連續4次反面)
地馬頂多連續3次相同 (第3~5項連續3次正面)

謎之聲：
「萬一實際擲幣巧合沒有出現連續4次以上相同…，大家不就都一樣了嗎」
「萬一有人不小心寫錯或是有想法很特別的學生，填了連續4次以上相同的話…？」
「怎樣都有可能，這也是有可能發生的！」

雖然教授能以此判斷哪些是學生們所想像的，因而找出實際擲幣的那張
但…沒有出現連續4次以上相同的機率是剩下的23.16%，這機率其實並不算很低
所以教授肯定還留了一手，以降低誤判率


地馬的謊言被搓破後找了藉口：「我記得在第2次擲幣時是出現正面，我當時不小心寫錯了，現在已經修正了，所以我也算是有出現連續4次以上相同吧？」
小明和地馬都自稱有實際擲幣20次，但兩人之中只有一個人說實話
小明的數據【ＸＯＸＸＸ ＸＯＸＸＯ ＯＯＸＯＸ ＸＯＸＸＯ】
地馬的數據【ＸＯＯＯＯ ＸＯＸＯＸ ＯＸＯＸＯ ＸＯＸＯＯ】
請問，誰的數據最有可能是實際擲幣產生的？

單就連續4次以上相同來看，兩人都有發生
但從相反的角度來看，地馬的機率反而低到只有0.021%

先問個很基本，卻很多人答錯的問題
【ＸＯＯＯＸ】這是連續3次相同（正面）
請問【ＸＸＯＸＸ】是連續幾次相反？

擲幣1次，會出現正面「Ｏ」和反面「Ｘ」兩種情況

擲幣2次，會出現連續相同「ＯＯ﹐ＸＸ」和連續相反「ＯＸ﹐ＸＯ」

擲幣3次，會有以下8種組合
ＯＯＯ﹐ＯＯＸ﹐ＯＸＯ﹐ＯＸＸ
ＸＯＯ﹐ＸＯＸ﹐ＸＸＯ﹐ＸＸＸ
連續3次相同：2組。連續3次相反：2組
連續2次相同：4組。連續2次相反：4組

擲幣4次，會有以下16種組合
ＯＯＯＯ﹐ＯＯＯＸ﹐ＯＯＸＯ﹐ＯＯＸＸ
ＯＸＯＯ﹐ＯＸＯＸ﹐ＯＸＸＯ﹐ＯＸＸＸ
ＸＯＯＯ﹐ＸＯＯＸ﹐ＸＯＸＯ﹐ＸＯＸＸ
ＸＸＯＯ﹐ＸＸＯＸ﹐ＸＸＸＯ﹐ＸＸＸＸ
連續4次相同：2組。連續4次相反：2組
連續3次相同：4組。連續3次相反：4組
連續2次相同：8組。連續2次相反：8組
因此，連續相同的次數＝連續相反的次數，機率也跟著相同

相信教授不止是觀察連續相同的次數，理當還有考量到連續相反的次數。
人們很少會在意連續相反的次數，往往便無形中加大了連續相反的次數
愈是刻意避免連續相同的次數過多，就愈會過於做表面功夫而修飾得很平均
出現連續6次以上相反的機率只有23.69%，換言之，沒有的機率是76.31%

擲幣20次出現連續相同/相反的機率（單位％）
 連2
連3
連4
連5
連6
連7
連8
連9
 連10 連11 連12 連13 連14 連15
連…以上
 99.99
97.91
76.84
45.84
23.69
11.51
5.44
2.54
 1.17 0.54 0.24 0.11 0.05 0.02
最多連… 2.09 21.07 31.00 22.15 12.18 6.07 2.90 1.36 0.63 0.29 0.13 0.06 0.03 0.01

【ＸＯＸＸＸ ＸＯＸＸＯ ＯＯＸＯＸ ＸＯＸＸＯ】
小明頂多連續4次相反（第12~15項）
【ＸＯＯＯＯ ＸＯＸＯＸ ＯＸＯＸＯ ＸＯＸＯＯ】
地馬出現連續15次相反（第5~19項）

連續15次以上相反的機率＝連續15次以上相同的機率：
1-F(15-1,20+1)/2^(20-1)
※查圖表m=14，第21項為524176
1-524176/524288= 112/524288= 0.021%
人們在虛構時所呈現的數據總是連續相反的次數＞連續相同的次數

謎之聲：
「萬一實際擲幣沒有出現連續4次以上相同，剛好又出現連續6次以上相反的話…？」
「萬一有人不小心填了連續4次以上相同，湊巧又沒有連續6次以上相反的話…？」
「怎樣都有可能，誰敢保證不會出現！」
「機率很低不代表0，要不要回去問問你小學老師！」

當人們心虛時，總是提出極端的機率反駁，然後說自己的運氣就是這麼特別
但次數愈頻繁，愈背離事實
如同把自己當成了現實世界的東京雙煞一般，身邊總是發生命案，一點都不奇怪



最後算個簡單的比例機率

投擲1枚很公正的硬幣，正面和反面出現的機率都是50%
擲幣20次，兩者的比例為幾比幾時，出現的機率最大？
⑴ 10：10
⑵ 11：9
⑶ 12：8
⑷ 19：1

擲幣20次，會有 2^20= 1048576 種組合
「20： 0」正反2選1，位置20選20=　　　2
「19： 1」正反2選1，位置20選19= 　　40
「18： 2」正反2選1，位置20選18=　　380
「17： 3」正反2選1，位置20選17=　 2280
「16： 4」正反2選1，位置20選16=　 9690
「15： 5」正反2選1，位置20選15=　31008
「14： 6」正反2選1，位置20選14=　77520
「13： 7」正反2選1，位置20選13= 155040
「12： 8」正反2選1，位置20選12= 251940
「11： 9」正反2選1，位置20選11= 335920
「10：10」正反2選2，位置20選10= 184756
　　　　　　　　　　　　　合計 1048576

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留言共 4 篇留言

有夢有理想：
1-f(m,n+2)/2^6的2是指正反兩種結果嗎

04-02 19:18

靜~靜：
沒錯，分母的2就是指正面和反面兩種04-03 02:13
有夢有理想：
2^6的2

04-02 19:18

有夢有理想：
這只適用2分之1機率上嗎

04-02 20:04

靜~靜：
「前幾項的和」的數列可用來計算二分之一的擲幣出現連續幾次以上相同的機率
基本上只用於 1/2 的情況
如果要用於 1/4、1/8、1/16、1/32、1/64……的話，理論上也可以，但我不熟04-03 02:23
有夢有理想：
好的 謝謝您:>

04-03 16:26

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