國中來講算是偏進階類型的題目，但到了高中就成了基礎題，剛剛寫到了一個有趣的題目，講義的詳解寫得滿複雜的，但我有更直覺的速解法。
題目是這樣的：
f(x)是二次多項式，若f(121)=1，f(122)=4，f(123)=11，求f(125)=?
這是在學高一數學──牛頓插值法時的基本觀念題，稍有了解的人都會想到：只要設f(x)=a*(x-121)(x-122)+b*(x-121)+c，再把x=121、x=122、x=123代入函式中，就可以得到三個方程式，解出三個未知數就能得到答案了。也就是：
f(121)=c=1
f(122)=b+c=4
f(123)=2a+2b+c=11
解聯立得a=2、b=3、c=1，f(x)=2*(x-121)(x-122)+3*(x-121)+1
再將x=125代入得f(125)=37
這方法雖然看似巧妙運用了除法原理解題，但其實要解這種題目，根本不需要求出f(x)的方程式，只要運用一些簡單的小技巧就可以輕鬆解題。為了清楚說明，我先舉另一種常見的二次方程式為例：等加速度運動的v-t圖。假設物體質量為1(kg)，從高處自由落體，重力加速度為10(m*s^-2)，令向下為正，則可以畫出如圖一的一次函數圖形。
↓圖一
這時可以直觀地看出函數的關係，比如說當時間t=3，速度v=30；t=4時v=40；t=5時則v=50，很多人會簡單地把它理解成正比關係，但其實還可以更簡單──把30、40、50、60、70...看成等差數列。
這種想法在一次函數中，也許感覺不到有什麼差別，但如果今天題目問的是一定時間內的位移量呢？我們已經知道位移量就是v-t圖函式圖形的線下面積，如圖二。用三角形面積公式可以算出t=3時位移量x=45；t=4時x=80；t=5時x=125，若把各個時間t與其所對應的位移量x畫成x-t圖則可以畫出一個二次函數的圖形，如圖三。這時相對於一次函數，難以一眼就看出x與t的關係，但如果能知道45、80、125、180、245...的「差」是等差數列的話，就變得很好理解了。
↓圖二
各項的差會呈現等差數列，這個性質為所有的二次方程式所共有，可以用剛剛的v-t圖來簡單說明：如圖二，綠色面積代表t=5秒的位移量x值，綠色+黃色代表6秒的x，7秒則是綠色+黃色+紅色，因為固定時間間隔內的速度增加率是相同的，所以在一定時距間的位移量會以一定的比率遞增，可以輕易地在圖上觀察出來。這個概念可以推廣到三階、四階、乃至於N階函數，對於國高中生了解斜率、次方也非常有幫助。如果未來學到微積分的話，更會發現這是理解函式升階、降階的好方法。
↓圖三
回到剛剛的題目，f(121)=1，f(122)=4，f(123)=11，因為二次函數兩項的值之差是等差數列，因此可以把題目看成f(121)=1，f(122)=f(121)+3=4，f(123)=f(122)+7=11，推知f(124)=11+11=22，f(125)=22+15=37，非常直覺地就可以看出答案。
我個人認為，這個隨著次方數提高而逐漸提升的「階差」性質是理解多項式函數的基本功，但發現有許多人即使到了高三在準備大考時，仍然沒有意識到這個性質的存在，以至於思考多繞了別人好幾圈。好比有些學生在升上高中後，會覺得數學越來越依靠公式，常常用一大堆公式算完題目，卻覺得不明就理，不像以前的題目可以清楚理解自己到底在算什麼，這可能就是因為沒有去深入了解每條算是背後的涵義。
畢竟學而不思則殆。要知道，若是高中數學的話，每個單元都只有那幾個核心的觀念，課本把觀念化成公式，再把公式重新組合變成更多公式，只是為了方便以條列的方式講解那些觀念的性質，真正的目的是希望學生最後把性質融會貫通，自己掌握住那幾個核心觀念而已。
一條公式只要是正確的，那麼不論用什麼方式證明，它都是正確的，所以如果在學數學時，發現自己有在「疊高塔」的感覺：用一條公式證明另一條公式，再用它來證明更多公式，最後的結果連自己都覺得無法理解，那就表示你沒有做好基本功，無法把每一條公式都直接連結到核心觀念，才會出現這種不明就理的情況。我這次介紹的性質，雖然一般會用微積分來證明，但其實只要一點簡單的數學歸納法就可以證明完成，不妨提筆算算吧！
創作內容
[準備學測時的小記]02：N階函數與等差數列之間的關係
學校作文 (4)