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以STATISTICAL SNACKS所歸納出之公式,來估算單枚飛彈擊中最小起降帶之機率為何

作者:陰舞雩│2016-05-21 13:32:52│巴幣:32│人氣:708
首先,照例丟連結
(  這篇文章是摘路自STATISTICAL SNACKS之論文而來,僅提供計算公式,並無證明過程,小弟手上也沒有論文可以證明給大家看,如有興趣其公式推導過程的同好,麻煩請自行去尋找原文。 )


p = 1 – exp( -0.41 · R² / CEP² )
上為論文所歸納出的計算公式,容小弟先行解釋一下

P    飛彈擊中目標物之機率

1   全部的可能性,包含有擊中和沒擊中的機率,又可寫成 100 %

exp  以歐尤拉自然數 ( 符號表示為e,為無限小數2.7182...... ) 為底數的指數函數通常表示成表示成 exp ( x ) ,有些工程計算機上也會表示成 e^x

-0.41  →  STATISTICAL SNACKS提出的相關常數項

R   →  目標物之半徑長

CEP ( 圓週率誤差半徑 ) 為當代學者探究飛彈性能時,所參考到的重要性能指標之一 ( 另有為DRMS、2DRMS、R95 )。最簡單的理解為 : 假設飛彈CEP為 50m 且必定遵守高斯二維常態分布,代表 50 % 的飛彈會落入目標50公尺以內,而 43 % 之飛彈會落入 50~~100公尺之內,7 % 落入 100~~150公尺之中但,請注意,此公式 p = 1 – exp( -0.41 · R² / CEP² ) 還參雜了許多變數,故計算出的數值,和直觀用CEP去算的情況不同。




這裡就有眼尖的網友們會發現,此公式是以R為目標半徑長來計算,那如果目標不是圓形呢 ?

此文舉了個例子。假設有枚CEP為150公尺的飛彈,欲攻擊 100m x 100m 大小的正方形,那麼,將此正方形轉換成幾乎同等面積大小的一個圓形 ( 二者面積皆為 10000平方公尺 ) ,其半徑約為56公尺左右,再依照數據套入此公式內  :  1 – exp( - 0.41 · 56² / 150² ) = 5.6%
故我們可以得知,此飛彈之單枚擊中率 ( single shot kill probabilitySSKP ) 5.6%

原文舉例如下 ( 我英文不好,上面翻的不是很好,見諒 ) :
     Assume a small complex with the dimensions 100 m by 100 m is targeted with a missile having a CEP of 150 m. Converting the rectangular area into a circle of equal area gives us a radius of about 56 m. Thus the SSKP is:

p = 1 – exp( -0.41 · 56² / 150² ) = 0.056 = 5.6 %

但是,小弟對於他這個方法提出了一些新的看法如果目標物是跑道之類的極長長方形,論文中所提面積不變圖形轉圓形」的方法就不適用,會和真實狀況產生極大的誤差因此,小弟認為,先假設一個涵蓋目標物的大圓 ( 註 ) ,用此大圓之半徑 R 來帶入此公式,我們就可以求得飛彈落在大圓的機率為何 ( 假設其值為 P )再計算此目標物佔大圓的面積比例是多少 ( 假設其值為 A )  
最後,將 P  ( 飛彈落在大圓的機率 )  乘上  A ( 目標物佔大圓的面積比例  )  =  飛彈命中大圓中的目標物之機率

其數學式子寫為
               { 1 – exp( - 0.41 · R² / CEP² )  }   x    {  目標物之面積 ÷ ( R² x 3.14 )   }   = ? %


看不太懂小弟在寫甚麼 ? 沒關係,我們來以上面論文舉的例子來做計算 :

已知有枚CEP為150m的飛彈,欲攻擊面積為100m x 100m 的正方形目標物,試問其單一命中率為何 ?

下圖為計算過程 :




,有0.059%的的誤差直,勉強可以接受


: 注意,如果是計算跑道這種很長的長方形,千萬不要只用一個圓來算,一定要切割成好幾個圓,再來分開計算命中率,最後在統合起來,不然會發生很悲劇的數學矛盾 ( 經驗談,要在這裡解釋是甚麼矛盾有點難解釋 ,各位自己下去算就能了解 )



在計算前,我們先假設一些計算的前提和參數。




( 嘛,中共飛彈的CEP範圍真的很大,我在網路上爬文有的可以到15 m 有的到 700 m,我自己假設數字好了 )


1.來襲飛彈之 CEP=125 m

2. 假設某戰機所需之最小起降帶為長 600 m ,寬 30 m ,而飛彈的座標鎖定為此最小起降帶的正中心,本題目是探討其擊中此最小起降帶 ( 600m x 30m  ) 的機率,並非擊中整個機場的機率

3 本題目只計算飛彈擊中跑道的機率,不計算封鎖跑道的機率 ( 太複雜,要用蒙地卡羅程式去計算 ),故計算出來的數值僅供參考

4 飛彈之落點呈現二維正圓軌跡分布

5.石喜林、譚俊峰(2000)在飛機跑道失效率計算的統計詴驗法 一文中,提出了落在跑道外但距離小於彈坑半徑的彈頭會造成跑道相同的毀傷效果,稱為「座標毀傷」。為減輕運算難度此論點本題目亦不採計

6 不考慮彈頭種類,亦不考慮散撒環半徑



以下題目&算式 :
      

    假設有枚CEP125m的飛彈,欲擊中一條長600 m,寬30 m 的最小起降帶,試問其單枚命中率為何 ?


為了盡量計算正確,小弟將此跑道切割成4個圓4部分探討分開討論其命中率,最後再統合出4個數值,計算出總機率
下圖為示意圖,和運算規則







第一部份 : 飛彈擊中A圓區域上的跑道機率



由上所知────
飛彈擊中 A圓上的機率為 0.59%



第二部份 : 飛彈擊中B圓~~A圓區域上的跑道機率


由上所知────
1 飛彈落在B圓內的總機率為 23%

2 飛彈落在 B~~A圓中的機率為 22.41%

3 飛彈擊中 B~~A圓上的跑道機率為  4%



第三部份 : 飛彈擊中C圓~~B圓區域上的跑道機率




由上所知────
1 飛彈落在C圓內的總機率為 65%

2 飛彈落在 C~~B圓中的機率為 42%

3 飛彈擊中 C~~B圓上的跑道機率為  2.77%





第四部份 : 飛彈擊中D圓~~C圓區域上的跑道機率



由上所知────
1 飛彈落在D圓內的總機率為 90.6%

2 飛彈落在 D~~C圓中的機率為 25.6%

3 飛彈擊中 D~~C圓上的跑道機率為  0.91%





綜合上述所計算單枚飛彈擊中此最小起降帶的總機率為────
8.27%  ( 0.59% + 4% + 2.77% + 0.91%  = 8.27%   )






這裡可能有人會表示,敵人如果用CEP=50m以下的飛彈打怎麼辦 ? 不但命中率上升封鎖機率也會和命中率成正比的上升啊 !


沒錯,如果把上面的算法不變只把CEP 改成50m的話,其命中率大約是 18.4% 。 但小弟認為,CEP在50m以下的所有飛彈,會優先打擊像是衡山作戰指揮部這種需要正面貫穿,才有可能打穿的抗炸要塞堡壘,或是機動雷達站,這種跑很快又很欠打的目標 而CEP介於 50-100m的飛彈,會優先打擊油庫、防空陣地、大型雷達站等等次大的目標。除非這些飛彈有打剩,否則他們不會那麼奢侈,用CEP100以下的飛彈來打機場




飛彈萬能論 ( X )
飛彈牽制論 ( O )
引用網址:https://home.gamer.com.tw/TrackBack.php?sn=3196936
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留言共 6 篇留言

槭葉楓紅
上次蘭德是用CEP 5下去算w

05-21 13:38

陰舞雩
我不知道為啥他們會用的那麼小,那個已經接近用戰機炸射了 = =05-21 13:42
點子-庫洛米庫洛米
跑道被炸爛的派系表示不滿(?)其實我也覺得我們不要迷信VTOL戰機,但…

05-21 13:53

陰舞雩
無解的羅生門
Q_Q05-21 13:54
槭葉楓紅
啊,忘了給GP

CEP 5是美軍的優良傳統,冷戰時美國海軍就曾把蘇聯ICBM全以CEP 5下去算,以此攻擊空軍的發射井沒用

雖說我認為未來臺灣跑道最大威脅是由戰機投射的智慧型滑翔炸彈,中國戰機可於中國領空爬升並以高速投擲,而我軍完全拿他們沒辦法,一枚BM應該就夠丟幾十甚至幾百枚智慧型滑翔炸彈了

05-21 13:57

陰舞雩
真的,很多人以為飛彈如何如何的可怕,卻不知道50枚飛彈的戰果,可能還沒一台滿載精準空對地導引武器的戰機多....
05-21 14:14
紫雲夜銃
美國丟來的那批VTOL是垃圾無誤...

05-21 13:58

夏娜專用有呆毛薩克
蘭德的傳統是想像對方擁有外星人助拳,所以反艦彈道飛彈蘭德也很當一回事

05-21 15:06

陰舞雩
尼米茲航母最長也才340m 寬78m( 依位置而定 ) , 小弟稍微估算了一下 , 就算用cep50m下去算,有沒有15%都不知道
更何況.....船會動05-21 15:12
陰舞雩
原本以為DF-21這個笑話已經很好笑了,沒想到去年他們出了DF-26這個更好笑的笑話WWW
05-21 15:14
槭葉楓紅
DF-26那個射程可能要觀落陰請偉大不可質疑的毛主席指示帝國航艦位子了

05-21 17:57

陰舞雩
喔喔,這是傳說中更先進的陰間阿飄導引系統嗎?
那CEP一定就是0,百發百中ㄋㄟ
05-21 18:01
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