這篇是接續第一篇整理的主題，補充修正上一篇的一些段落。（同樣是自己的想法，敬請以放鬆心態閱讀，有異議就留言提出）
分點公式會出現應該是因為直角座標的使用，
在此之前的幾何沒有用座標來看，因此也沒有點座標，各種幾何物件從歐幾里德（Ευκλείδης，Euklidis）開始就透過測量和作圖完成，沒有曲線直線方程式、函數圖形。
直角座標出現後，結合代數和幾何的解析幾何才廣為發展，開始把原本建立在動手做做看的幾何圖形，化成未知數組成的方程式，而一些圖形有了新的定義，性質也因為代數而更好證明，也讓之後的微積分和向量有了發展的基礎。
而像是三角形五個心（到高二下只教了3個心）的座標計算公式和分點公式，我想依照數學家的能力，應該在向量還沒出現時就已經發明，
而考慮到直角座標大概是1630-40這段期間創立的，算到向量出現的1870年代，中間大概只有幾百年，
所以我先前寫
這就表示它肯定是一個在向量出現之前廣為人知的公式（我想可能早了好幾百年，甚至千年）。
這句話有錯，其實或許只早了不到250年。
在複數平面上，複數和複數相乘，代表一個複數（類似向量概念）相對於原點的旋轉和伸縮，
因此在推廣成四元數時，不只是想要可以加減，也要讓乘法可以和複數一樣完整代表旋轉和伸縮，同時也要有除法，所以捨棄掉 a+bi+cj 的形式，變成了四個「元」。
四元數因為 i j k 不符合交換律，所以四元數和四元數相乘也不適用交換律，這是因為，
在三次元空間中，並不像二次元，永遠自然以z軸方向為旋轉軸，
三次元中的旋轉，需要設定旋轉軸的方向，而如果對於兩個不平行旋轉軸 A B，
先對 A 旋轉之後對 B 旋轉；先對 B 旋轉再對A旋轉，兩者的結果是不一樣的，
而四元數也要表達旋轉角度（同時也表達了順逆時針方向）和伸縮程度，
因此需要四個數字，也不會有交換性。
之後也有人（這個人在下一篇整理是重要的人物）延伸四元數，得出八元數，同樣不適用交換律，連結合律也不適用，還出現了十六元數，不適用的性質也更多了，
像是8、16元數的發明，是否也有類似乘法代表旋轉的直覺化性質，不過十六次元的旋轉或向量的性質，已經超過我的理解範圍了，就不追究下去了。
四元數當初由漢彌爾頓極力推廣，他生命剩下的幾十年全部用在研究四元數，雖然漢彌爾頓在發明四元數之前，就已經在物理數學領域有很多貢獻，不過最終也是只有少數人跟隨發展四元數，現在的四元數，不但不在課堂上提及，甚至還被認為是一種叫做克里福代數（Clifford algebra，又叫幾何代數）的特例，
不過，四元數在現在的電腦3D計算上獲得應用，和矩陣結合之後（我下篇的整理主題），在物理上也有用到，而且在漢彌爾頓死後發展的向量，也是眾所週知，而「交換律」「結合律」被大家所研究，也是從四元數開始，先前沒有人想得到有種數字不符合這麼自然的事情
或許四元數並不是那麼熱門，但是由它造成的影響，是深入各個領域的。
創作內容
修正和補充-自己的數學整理 -1.1 - 直角座標、四元數
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